Bài học

Tổng và hiệu hai lập phương

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân tích được $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$ và $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$ thành nhân tử, và kiểm tra lại kết quả bằng cách nhân ngược.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này dùng lại phép nhân đa thức với đa thức, và công thức lập phương của một tổng, một hiệu ở bài trước sẽ được dùng để kiểm tra ngược kết quả phân tích. Khác với bốn hằng đẳng thức trước, hai công thức hôm nay đi thẳng vào chiều "phân tích": đề bài cho một tổng hoặc hiệu hai luỹ thừa bậc ba, và nhiệm vụ là viết nó thành tích của hai nhân tử — một nhân tử bậc nhất, một nhân tử bậc hai. Nhân tử bậc hai này trông giống bình phương của một tổng hoặc một hiệu nhưng thiếu mất hệ số $2$ trước $AB$ , nên người ta gọi nó là "bình phương thiếu".

Bài này dùng lại phép nhân đa thức với đa thức, và công thức lập phương của một tổng, một hiệu ở bài trước sẽ được dùng để kiểm tra ngược kết quả phân tích. Khác với bốn hằng đẳng thức trước, hai công thức hôm nay đi thẳng vào chiều "phân tích": đề bài cho một tổng hoặc hiệu hai luỹ thừa bậc ba, và nhiệm vụ là viết nó thành tích của hai nhân tử — một nhân tử bậc nhất, một nhân tử bậc hai. Nhân tử bậc hai này trông giống bình phương của một tổng hoặc một hiệu nhưng thiếu mất hệ số $2$ trước $AB$, nên người ta gọi nó là "bình phương thiếu".

Khởi động

Phân tích $x^3+8$ thành nhân tử — có cách nào đưa $8$ về dạng luỹ thừa bậc ba để nhận ra một hằng đẳng thức quen thuộc không? Khác với các số chính phương $4, 9, 16, 25$ đã quen mắt từ bài hiệu hai bình phương, các lập phương $1, 8, 27, 64, 125$ ít gặp hơn nên cần làm quen lại từ đầu.

Tổng hai lập phương

Với hai biểu thức $A, B$ , công thức $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$ được kiểm chứng bằng cách nhân ngược vế phải: nhân $A$ với cả ba hạng tử $A^2-AB+B^2$ được $A^3-A^2B+AB^2$ ; nhân $B$ với cả ba hạng tử đó được $A^2B-AB^2+B^3$ . Cộng hai kết quả: $A^3-A^2B+AB^2+A^2B-AB^2+B^3$ . Hai cặp số hạng $-A^2B+A^2B$ và $AB^2-AB^2$ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại $A^3+B^3$ , đúng bằng vế trái.

Với hai biểu thức $A, B$, công thức $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$ được kiểm chứng bằng cách nhân ngược vế phải: nhân $A$ với cả ba hạng tử $A^2-AB+B^2$ được $A^3-A^2B+AB^2$; nhân $B$ với cả ba hạng tử đó được $A^2B-AB^2+B^3$. Cộng hai kết quả: $A^3-A^2B+AB^2+A^2B-AB^2+B^3$. Hai cặp số hạng $-A^2B+A^2B$ và $AB^2-AB^2$ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại $A^3+B^3$, đúng bằng vế trái.

Quy trình phân tích tổng/hiệu hai lập phương

Quy trình năm bước này khép lại đúng bảy hằng đẳng thức của khoá học — ba bài trước dạy khai triển và phân tích các luỹ thừa bậc hai, hai công thức hôm nay hoàn thiện phần luỹ thừa bậc ba. Khác với bốn công thức trước, ở đây không có bước "khai triển" đối lập — $A^3+B^3$ và $A^3-B^3$ chỉ xuất hiện dưới dạng cần phân tích, chưa từng là kết quả của một phép nhân hai đa thức bậc nhất đơn giản như $(A+B)(A-B)$ .

Ví dụ

Phân tích tổng hai lập phương

1
Phân tích $x^3+8$ thành nhân tử.
Phân tích $x^3+8$ thành nhân tử.
2
$8=2^3$ , nên $x^3+8=x^3+2^3$ , đúng dạng $A^3+B^3$ với $A=x, B=2$ .
$8=2^3$, nên $x^3+8=x^3+2^3$, đúng dạng $A^3+B^3$ với $A=x, B=2$.
3
$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$ .
$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$.
4
Nhân ngược: $(x+2)(x^2-2x+4)=x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8=x^3+8$ , khớp với đề bài.
Nhân ngược: $(x+2)(x^2-2x+4)=x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8=x^3+8$, khớp với đề bài.

Hiệu hai lập phương

Tương tự, $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$ : nhân $A$ với cả ba hạng tử được $A^3+A^2B+AB^2$ ; nhân $-B$ với cả ba hạng tử được $-A^2B-AB^2-B^3$ . Cộng hai kết quả: $A^3+A^2B+AB^2-A^2B-AB^2-B^3=A^3-B^3$ , hai cặp số hạng giữa triệt tiêu nhau. So với công thức của tổng, chú ý nhân tử bậc nhất đổi dấu thành $A-B$ , còn nhân tử bậc hai lại đổi dấu ngược lại thành $A^2+AB+B^2$ — dấu ở giữa nhân tử bậc hai luôn trái với dấu của $A^3\pm B^3$ ban đầu.

Tương tự, $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$: nhân $A$ với cả ba hạng tử được $A^3+A^2B+AB^2$; nhân $-B$ với cả ba hạng tử được $-A^2B-AB^2-B^3$. Cộng hai kết quả: $A^3+A^2B+AB^2-A^2B-AB^2-B^3=A^3-B^3$, hai cặp số hạng giữa triệt tiêu nhau. So với công thức của tổng, chú ý nhân tử bậc nhất đổi dấu thành $A-B$, còn nhân tử bậc hai lại đổi dấu ngược lại thành $A^2+AB+B^2$ — dấu ở giữa nhân tử bậc hai luôn trái với dấu của $A^3\pm B^3$ ban đầu.

Ví dụ

Phân tích hiệu hai lập phương

1
Phân tích $27x^3-1$ thành nhân tử.
Phân tích $27x^3-1$ thành nhân tử.
2
$27x^3=(3x)^3$ và $1=1^3$ , nên $27x^3-1=(3x)^3-1^3$ , đúng dạng $A^3-B^3$ với $A=3x, B=1$ .
$27x^3=(3x)^3$ và $1=1^3$, nên $27x^3-1=(3x)^3-1^3$, đúng dạng $A^3-B^3$ với $A=3x, B=1$.
3
$27x^3-1=(3x-1)((3x)^2+3x\cdot1+1^2)=(3x-1)(9x^2+3x+1)$ .
$27x^3-1=(3x-1)((3x)^2+3x\cdot1+1^2)=(3x-1)(9x^2+3x+1)$.
4
Nhân ngược: $(3x-1)(9x^2+3x+1)=27x^3+9x^2+3x-9x^2-3x-1=27x^3-1$ , khớp với đề bài.
Nhân ngược: $(3x-1)(9x^2+3x+1)=27x^3+9x^2+3x-9x^2-3x-1=27x^3-1$, khớp với đề bài.

Ví dụ

Ứng dụng thực tế: chênh lệch thể tích (dạng thi)

1
Hai bể nước hình lập phương có cạnh lần lượt là $x$ m và $3$ m ( $x>3$ ). Viết biểu thức chênh lệch thể tích dưới dạng tích, rồi tính giá trị khi $x=10$ .
Hai bể nước hình lập phương có cạnh lần lượt là $x$ m và $3$ m ($x>3$). Viết biểu thức chênh lệch thể tích dưới dạng tích, rồi tính giá trị khi $x=10$.
2
Chênh lệch thể tích $D=x^3-3^3=x^3-27$ .
Chênh lệch thể tích $D=x^3-3^3=x^3-27$.
3
$x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$ .
$x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$.
4
Với $x=10$ : $D=(10-3)(10^2+3\cdot10+9)=7\times139=973$ .
Với $x=10$: $D=(10-3)(10^2+3\cdot10+9)=7\times139=973$.
5
Vậy $D=(x-3)(x^2+3x+9)$ m $^3$ , và khi $x=10$ thì $D=973$ m $^3$ — tính qua tích thường nhanh hơn tính $10^3-27$ trực tiếp rồi mới trừ.
Vậy $D=(x-3)(x^2+3x+9)$ m$^3$, và khi $x=10$ thì $D=973$ m$^3$ — tính qua tích thường nhanh hơn tính $10^3-27$ trực tiếp rồi mới trừ.

Ví dụ

Đặt nhân tử chung trước khi phân tích lập phương

1
Phân tích $2x^3+16$ thành nhân tử.
Phân tích $2x^3+16$ thành nhân tử.
2
Cả hai hạng tử đều chia hết cho $2$ : $2x^3+16=2(x^3+8)$ .
Cả hai hạng tử đều chia hết cho $2$: $2x^3+16=2(x^3+8)$.
3
$x^3+8=x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4)$ .
$x^3+8=x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4)$.
4
$2x^3+16=2(x+2)(x^2-2x+4)$ . Giống như ở bài hiệu hai bình phương, luôn kiểm tra nhân tử chung trước khi tìm đến một trong bảy hằng đẳng thức.
$2x^3+16=2(x+2)(x^2-2x+4)$. Giống như ở bài hiệu hai bình phương, luôn kiểm tra nhân tử chung trước khi tìm đến một trong bảy hằng đẳng thức.

Ví dụ

Rút gọn phân thức bằng hằng đẳng thức (dạng thi)

1
Rút gọn biểu thức $\dfrac{x^3+8}{x+2}$ .
Rút gọn biểu thức $\dfrac{x^3+8}{x+2}$.
2
Biểu thức xác định khi $x+2\ne0$ , tức $x\ne-2$ .
Biểu thức xác định khi $x+2\ne0$, tức $x\ne-2$.
3
$x^3+8=x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4)$ .
$x^3+8=x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4)$.
4
$\dfrac{x^3+8}{x+2}=\dfrac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x+2}=x^2-2x+4$ (với $x\ne-2$ , TMĐK).
$\dfrac{x^3+8}{x+2}=\dfrac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x+2}=x^2-2x+4$ (với $x\ne-2$, TMĐK).
5
Vậy $\dfrac{x^3+8}{x+2}=x^2-2x+4$ với $x\ne-2$ — phân tích nhân tử là chìa khoá để rút gọn một phân thức mà phép chia đa thức trực tiếp không lộ ra ngay.
Vậy $\dfrac{x^3+8}{x+2}=x^2-2x+4$ với $x\ne-2$ — phân tích nhân tử là chìa khoá để rút gọn một phân thức mà phép chia đa thức trực tiếp không lộ ra ngay.

Ví dụ

Kết hợp với bình phương của một tổng để giải phương trình (dạng thi)

1
Giải phương trình $x^3-8=0$ .
Giải phương trình $x^3-8=0$.
2
$x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ , nên phương trình trở thành $(x-2)(x^2+2x+4)=0$ .
$x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$, nên phương trình trở thành $(x-2)(x^2+2x+4)=0$.
3
$x-2=0 \Rightarrow x=2$ .
$x-2=0 \Rightarrow x=2$.
4
Viết lại $x^2+2x+4=x^2+2x+1+3=(x+1)^2+3$ , dùng đúng hằng đẳng thức bình phương của một tổng. Vì $(x+1)^2 \ge 0$ với mọi $x$ , nên $(x+1)^2+3 \ge 3 > 0$ — nhân tử này không bao giờ bằng $0$ .
Viết lại $x^2+2x+4=x^2+2x+1+3=(x+1)^2+3$, dùng đúng hằng đẳng thức bình phương của một tổng. Vì $(x+1)^2 \ge 0$ với mọi $x$, nên $(x+1)^2+3 \ge 3 > 0$ — nhân tử này không bao giờ bằng $0$.
5
Phương trình chỉ có một nghiệm $x=2$ , vì nhân tử bậc hai luôn dương nên không đóng góp thêm nghiệm nào.
Phương trình chỉ có một nghiệm $x=2$, vì nhân tử bậc hai luôn dương nên không đóng góp thêm nghiệm nào.

Bẫy thường gặp

Lỗi hay gặp nhất là nhầm dấu ở nhân tử bậc hai: với tổng hai lập phương, nhân tử bậc hai là $A^2-AB+B^2$ (dấu trừ ở giữa); với hiệu hai lập phương, nhân tử bậc hai lại là $A^2+AB+B^2$ (dấu cộng ở giữa) — ngược hẳn với trực giác "tổng thì cộng, hiệu thì trừ". Một lỗi khác là nhầm $A^2-AB+B^2$ (nhân tử bậc hai của tổng hai lập phương) với $A^2-2AB+B^2$ (bình phương của một hiệu) — hệ số của $AB$ khác nhau, một bên là $1$ , một bên là $2$ . Luôn kiểm tra lại bằng cách nhân ngược nếu không chắc.

Lỗi hay gặp nhất là nhầm dấu ở nhân tử bậc hai: với tổng hai lập phương, nhân tử bậc hai là $A^2-AB+B^2$ (dấu trừ ở giữa); với hiệu hai lập phương, nhân tử bậc hai lại là $A^2+AB+B^2$ (dấu cộng ở giữa) — ngược hẳn với trực giác "tổng thì cộng, hiệu thì trừ". Một lỗi khác là nhầm $A^2-AB+B^2$ (nhân tử bậc hai của tổng hai lập phương) với $A^2-2AB+B^2$ (bình phương của một hiệu) — hệ số của $AB$ khác nhau, một bên là $1$, một bên là $2$. Luôn kiểm tra lại bằng cách nhân ngược nếu không chắc.

$A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$ và $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$ — nhân tử bậc nhất giữ đúng dấu của đề bài, còn dấu ở giữa nhân tử bậc hai luôn ngược lại. Kiểm tra bằng cách nhân ngược là thói quen nên giữ. Thuộc lòng dãy lập phương $1,8,27,64,125,216$ giúp nhận dạng $A^3\pm B^3$ nhanh hơn nhiều so với việc thử từng số — cũng như dãy số chính phương đã giúp em ở bài hiệu hai bình phương.

Bài ôn tập cuối chương sẽ luyện nhận diện đúng công thức trong bảy hằng đẳng thức vừa học qua bốn bài, phối hợp với phép chia đa thức đã học ở đầu khoá, trong các bài toán tổng hợp đúng phong cách đề kiểm tra.