Bài học

Chia đa thức một biến đã sắp xếp (có dư)

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em thực hiện được phép chia một đa thức một biến (đã sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần) cho một đa thức một biến khác, tìm đúng thương và dư, và xác định được khi nào phép chia hết.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã chia một đa thức cho một đơn thức. Ở đây đa thức chia không còn là một đơn thức, nên cách chia từng hạng tử không dùng được nữa — ta cần một thuật toán khác, gọi là chia có dư, giống hệt cách chia hai số tự nhiên. Chẳng hạn $17$ chia $5$ được thương $3$ , dư $2$ , vì $17 = 5 \times 3 + 2$ , và dư $2$ luôn nhỏ hơn số chia $5$ . Phép chia đa thức một biến cũng cho một thương và một dư theo đúng cấu trúc đó — chỉ khác là "nhỏ hơn" bây giờ được đo bằng bậc của đa thức thay vì giá trị của số, và ta làm việc với luỹ thừa của $x$ thay vì luỹ thừa của $10$ .

Bài trước em đã chia một đa thức cho một đơn thức. Ở đây đa thức chia không còn là một đơn thức, nên cách chia từng hạng tử không dùng được nữa — ta cần một thuật toán khác, gọi là chia có dư, giống hệt cách chia hai số tự nhiên. Chẳng hạn $17$ chia $5$ được thương $3$, dư $2$, vì $17 = 5 \times 3 + 2$, và dư $2$ luôn nhỏ hơn số chia $5$. Phép chia đa thức một biến cũng cho một thương và một dư theo đúng cấu trúc đó — chỉ khác là "nhỏ hơn" bây giờ được đo bằng bậc của đa thức thay vì giá trị của số, và ta làm việc với luỹ thừa của $x$ thay vì luỹ thừa của $10$.

Khởi động

Nếu $17 : 5$ để lại dư $2$ vì $2 < 5$ , thì phép chia đa thức cũng dừng lại khi bậc của phần còn lại nhỏ hơn bậc của đa thức chia. Bài học này chỉ cho em cách thực hiện đúng từng bước của phép chia đó.

Nếu $17 : 5$ để lại dư $2$ vì $2 < 5$, thì phép chia đa thức cũng dừng lại khi bậc của phần còn lại nhỏ hơn bậc của đa thức chia. Bài học này chỉ cho em cách thực hiện đúng từng bước của phép chia đó.

Thuật toán chia đa thức một biến

Trước khi chia, cả đa thức bị chia và đa thức chia đều phải được sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần của biến — thiếu bước này rất dễ chọn nhầm hạng tử dẫn đầu. Sau đó, lặp lại bốn thao tác sau: lấy hạng tử bậc cao nhất của phần còn lại chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia để được một hạng tử của thương; nhân hạng tử đó với toàn bộ đa thức chia; lấy phần còn lại trừ đi tích vừa nhân (nhớ đổi dấu từng hạng tử khi trừ); và dùng hiệu mới làm phần còn lại cho vòng lặp kế tiếp. Quá trình dừng lại khi bậc của phần còn lại nhỏ hơn bậc của đa thức chia — phần còn lại đó chính là dư cuối cùng. Khi dư bằng $0$ , phép chia hết. Thuật toán chắc chắn dừng sau hữu hạn bước, vì mỗi vòng lặp làm bậc của phần còn lại giảm đi ít nhất một bậc — không thể lặp mãi.

Trước khi chia, cả đa thức bị chia và đa thức chia đều phải được sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần của biến — thiếu bước này rất dễ chọn nhầm hạng tử dẫn đầu. Sau đó, lặp lại bốn thao tác sau: lấy hạng tử bậc cao nhất của phần còn lại chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia để được một hạng tử của thương; nhân hạng tử đó với toàn bộ đa thức chia; lấy phần còn lại trừ đi tích vừa nhân (nhớ đổi dấu từng hạng tử khi trừ); và dùng hiệu mới làm phần còn lại cho vòng lặp kế tiếp. Quá trình dừng lại khi bậc của phần còn lại nhỏ hơn bậc của đa thức chia — phần còn lại đó chính là dư cuối cùng. Khi dư bằng $0$, phép chia hết. Thuật toán chắc chắn dừng sau hữu hạn bước, vì mỗi vòng lặp làm bậc của phần còn lại giảm đi ít nhất một bậc — không thể lặp mãi.

Thuật toán chia đa thức một biến

Ví dụ

Phép chia hết

1
Tính $(x^3 - 3x^2 + 5x - 3) : (x - 1)$ .
Tính $(x^3 - 3x^2 + 5x - 3) : (x - 1)$.
2
$x^3 : x = x^2$ . Nhân: $x^2(x-1) = x^3 - x^2$ . Trừ: $(x^3-3x^2+5x-3) - (x^3-x^2) = -2x^2+5x-3$ .
$x^3 : x = x^2$. Nhân: $x^2(x-1) = x^3 - x^2$. Trừ: $(x^3-3x^2+5x-3) - (x^3-x^2) = -2x^2+5x-3$.
3
$-2x^2 : x = -2x$ . Nhân: $-2x(x-1) = -2x^2+2x$ . Trừ: $(-2x^2+5x-3) - (-2x^2+2x) = 3x-3$ .
$-2x^2 : x = -2x$. Nhân: $-2x(x-1) = -2x^2+2x$. Trừ: $(-2x^2+5x-3) - (-2x^2+2x) = 3x-3$.
4
$3x : x = 3$ . Nhân: $3(x-1)=3x-3$ . Trừ: $(3x-3)-(3x-3)=0$ .
$3x : x = 3$. Nhân: $3(x-1)=3x-3$. Trừ: $(3x-3)-(3x-3)=0$.
5
Dư cuối cùng bằng $0$ , phép chia hết. $(x^3-3x^2+5x-3) : (x-1) = x^2-2x+3$ .
Dư cuối cùng bằng $0$, phép chia hết. $(x^3-3x^2+5x-3) : (x-1) = x^2-2x+3$.

Ví dụ

Phép chia có dư — đọc thương và dư

1
Tính $(2x^3 + x^2 - 5) : (x + 2)$ .
Tính $(2x^3 + x^2 - 5) : (x + 2)$.
2
$2x^3:x=2x^2$ . Nhân: $2x^2(x+2)=2x^3+4x^2$ . Trừ: $(2x^3+x^2+0x-5)-(2x^3+4x^2)=-3x^2+0x-5$ .
$2x^3:x=2x^2$. Nhân: $2x^2(x+2)=2x^3+4x^2$. Trừ: $(2x^3+x^2+0x-5)-(2x^3+4x^2)=-3x^2+0x-5$.
3
$-3x^2:x=-3x$ . Nhân: $-3x(x+2)=-3x^2-6x$ . Trừ: $(-3x^2+0x-5)-(-3x^2-6x)=6x-5$ .
$-3x^2:x=-3x$. Nhân: $-3x(x+2)=-3x^2-6x$. Trừ: $(-3x^2+0x-5)-(-3x^2-6x)=6x-5$.
4
$6x:x=6$ . Nhân: $6(x+2)=6x+12$ . Trừ: $(6x-5)-(6x+12)=-17$ .
$6x:x=6$. Nhân: $6(x+2)=6x+12$. Trừ: $(6x-5)-(6x+12)=-17$.
5
Bậc của $-17$ (bậc $0$ ) nhỏ hơn bậc của $x+2$ (bậc $1$ ), nên dừng lại. Thương là $2x^2-3x+6$ , dư là $-17$ : $2x^3+x^2-5 = (x+2)(2x^2-3x+6) - 17$ .
Bậc của $-17$ (bậc $0$) nhỏ hơn bậc của $x+2$ (bậc $1$), nên dừng lại. Thương là $2x^2-3x+6$, dư là $-17$: $2x^3+x^2-5 = (x+2)(2x^2-3x+6) - 17$.
6
Nhân thương với số chia rồi cộng dư: $(x+2)(2x^2-3x+6)-17=2x^3-3x^2+6x+4x^2-6x+12-17=2x^3+x^2-5$ , đúng bằng đa thức bị chia ban đầu.
Nhân thương với số chia rồi cộng dư: $(x+2)(2x^2-3x+6)-17=2x^3-3x^2+6x+4x^2-6x+12-17=2x^3+x^2-5$, đúng bằng đa thức bị chia ban đầu.

Ví dụ

Bài toán diện tích hình chữ nhật (dạng thi)

1
Diện tích một hình chữ nhật là $S = x^3+2x^2-x+6$ và một cạnh $AB = x+3$ . Tìm cạnh còn lại $BC$ , rồi tính $BC$ khi $x=2$ .
Diện tích một hình chữ nhật là $S = x^3+2x^2-x+6$ và một cạnh $AB = x+3$. Tìm cạnh còn lại $BC$, rồi tính $BC$ khi $x=2$.
2
$x^3:x=x^2$ , nhân trừ được $-x^2-x+6$ ; $-x^2:x=-x$ , nhân trừ được $2x+6$ ; $2x:x=2$ , nhân trừ được $0$ .
$x^3:x=x^2$, nhân trừ được $-x^2-x+6$; $-x^2:x=-x$, nhân trừ được $2x+6$; $2x:x=2$, nhân trừ được $0$.
3
Dư bằng $0$ nên phép chia hết: $S : AB = x^2-x+2$ , tức $BC = x^2-x+2$ .
Dư bằng $0$ nên phép chia hết: $S : AB = x^2-x+2$, tức $BC = x^2-x+2$.
4
Với $x=2$ : $BC = 2^2-2+2 = 4$ . Vậy $BC = x^2-x+2$ , và khi $x=2$ thì $BC=4$ (đơn vị độ dài).
Với $x=2$: $BC = 2^2-2+2 = 4$. Vậy $BC = x^2-x+2$, và khi $x=2$ thì $BC=4$ (đơn vị độ dài).

Ví dụ

Chia khi đa thức chia có hệ số dẫn đầu khác 1

1
Tính $(2x^3-x^2-2x+1):(2x-1)$ .
Tính $(2x^3-x^2-2x+1):(2x-1)$.
2
$2x^3:2x=x^2$ . Nhân: $x^2(2x-1)=2x^3-x^2$ . Trừ: $(2x^3-x^2-2x+1)-(2x^3-x^2)=-2x+1$ .
$2x^3:2x=x^2$. Nhân: $x^2(2x-1)=2x^3-x^2$. Trừ: $(2x^3-x^2-2x+1)-(2x^3-x^2)=-2x+1$.
3
$-2x:2x=-1$ . Nhân: $-1(2x-1)=-2x+1$ . Trừ: $(-2x+1)-(-2x+1)=0$ .
$-2x:2x=-1$. Nhân: $-1(2x-1)=-2x+1$. Trừ: $(-2x+1)-(-2x+1)=0$.
4
Dư bằng $0$ : $(2x^3-x^2-2x+1):(2x-1)=x^2-1$ . Cách làm không đổi khi đa thức chia có hệ số dẫn đầu khác $1$ — chỉ cần chia đúng hạng tử bậc cao nhất cho hạng tử bậc cao nhất.
Dư bằng $0$: $(2x^3-x^2-2x+1):(2x-1)=x^2-1$. Cách làm không đổi khi đa thức chia có hệ số dẫn đầu khác $1$ — chỉ cần chia đúng hạng tử bậc cao nhất cho hạng tử bậc cao nhất.

Ví dụ

Tìm tham số để phép chia hết (dạng thi)

1
Tìm $a$ để $(x^3-3x^2+a) : (x-2)$ là phép chia hết.
Tìm $a$ để $(x^3-3x^2+a) : (x-2)$ là phép chia hết.
2
$x^3:x=x^2$ , nhân trừ còn $-x^2+0x+a$ ; $-x^2:x=-x$ , nhân trừ còn $-2x+a$ ; $-2x:x=-2$ , nhân trừ còn $a-4$ .
$x^3:x=x^2$, nhân trừ còn $-x^2+0x+a$; $-x^2:x=-x$, nhân trừ còn $-2x+a$; $-2x:x=-2$, nhân trừ còn $a-4$.
3
Phép chia hết khi dư bằng $0$ : $a-4=0$ .
Phép chia hết khi dư bằng $0$: $a-4=0$.
4
$a=4$ . Vậy với $a=4$ , đa thức $x^3-3x^2+4$ chia hết cho $x-2$ , và thương là $x^2-x-2$ .
$a=4$. Vậy với $a=4$, đa thức $x^3-3x^2+4$ chia hết cho $x-2$, và thương là $x^2-x-2$.

Bẫy thường gặp

Ba lỗi hay gặp nhất khi chia đa thức có dư: quên sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần trước khi chia, dẫn đến chọn nhầm hạng tử dẫn đầu; quên đổi dấu khi trừ — ví dụ trừ $(-2x^2+5x-3)-(-2x^2+2x)$ mà quên đổi dấu $-2x^2+2x$ thành $2x^2-2x$ khi mang sang, khiến kết quả lệch hẳn từ bước đầu tiên; và dừng phép chia quá sớm, khi bậc của phần còn lại vẫn chưa nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

Chia đa thức một biến có dư: sắp xếp giảm dần, rồi lặp lại chia — nhân — trừ với hạng tử bậc cao nhất, cho đến khi bậc phần còn lại nhỏ hơn bậc đa thức chia. Dư bằng $0$ nghĩa là chia hết. Muốn kiểm tra nhanh một phép chia có dư, luôn có thể viết lại thành $\text{đa thức bị chia} = \text{đa thức chia} \times \text{thương} + \text{dư}$ rồi nhân ra để đối chiếu, giống hệt cách kiểm tra $17=5\times3+2$ ở phần khởi động.

Bài học sau chuyển hẳn sang một công cụ khác: bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, giúp khai triển và phân tích những tích đa thức đặc biệt chỉ bằng cách nhận diện đúng dạng, không cần nhân từng hạng tử một. Thuật toán chia có dư vừa học sẽ quay lại ở bài ôn tập cuối khoá, khi ta nhận ra một số phép chia thực chất là một hằng đẳng thức được viết dưới dạng khác.