Bài học

Lập phương của một tổng và một hiệu

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em khai triển và áp dụng được hai hằng đẳng thức $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$ và $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$ .

Sau bài này, em khai triển và áp dụng được hai hằng đẳng thức $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$ và $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài học dùng lại công thức bình phương của một tổng, một hiệu vừa học, cùng với phép nhân đa thức với đa thức: $(A+B)^3$ chính là $(A+B)$ nhân với $(A+B)^2$ , nên trước khi khai triển bậc ba, ta khai triển bậc hai đã có sẵn từ bài trước. Nói cách khác, bài này không đưa ra một kỹ thuật mới — nó chỉ lặp lại đúng phép nhân đa thức với đa thức em đã thành thạo, chỉ khác là một trong hai thừa số bây giờ có ba số hạng thay vì hai. Đây cũng là lý do vì sao thứ tự học của khoá không phải ngẫu nhiên: mỗi hằng đẳng thức mới đều xây trên hằng đẳng thức đã học ngay trước nó.

Bài học dùng lại công thức bình phương của một tổng, một hiệu vừa học, cùng với phép nhân đa thức với đa thức: $(A+B)^3$ chính là $(A+B)$ nhân với $(A+B)^2$, nên trước khi khai triển bậc ba, ta khai triển bậc hai đã có sẵn từ bài trước. Nói cách khác, bài này không đưa ra một kỹ thuật mới — nó chỉ lặp lại đúng phép nhân đa thức với đa thức em đã thành thạo, chỉ khác là một trong hai thừa số bây giờ có ba số hạng thay vì hai. Đây cũng là lý do vì sao thứ tự học của khoá không phải ngẫu nhiên: mỗi hằng đẳng thức mới đều xây trên hằng đẳng thức đã học ngay trước nó.

Khởi động

Có cách nào tính $11^3$ nhanh hơn nhân liên tiếp $11\times11\times11$ không? Viết $11=10+1$ rồi áp dụng đúng công cụ của bài học này — cùng cách tách số đã dùng để tính nhanh $998^2$ ở bài trước, chỉ khác số mũ.

Lập phương của một tổng

Xuất phát từ $(A+B)^3=(A+B)(A+B)^2$ , thay $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ đã biết. Nhân từng hạng tử của $(A+B)$ với cả ba hạng tử của $(A^2+2AB+B^2)$ : $A$ nhân với $A^2+2AB+B^2$ cho $A^3+2A^2B+AB^2$ ; $B$ nhân với $A^2+2AB+B^2$ cho $A^2B+2AB^2+B^3$ . Cộng hai kết quả: $A^3+2A^2B+AB^2+A^2B+2AB^2+B^3$ . Gom các hạng tử đồng dạng $2A^2B+A^2B=3A^2B$ và $AB^2+2AB^2=3AB^2$ , được $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$ .

Xuất phát từ $(A+B)^3=(A+B)(A+B)^2$, thay $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ đã biết. Nhân từng hạng tử của $(A+B)$ với cả ba hạng tử của $(A^2+2AB+B^2)$: $A$ nhân với $A^2+2AB+B^2$ cho $A^3+2A^2B+AB^2$; $B$ nhân với $A^2+2AB+B^2$ cho $A^2B+2AB^2+B^3$. Cộng hai kết quả: $A^3+2A^2B+AB^2+A^2B+2AB^2+B^3$. Gom các hạng tử đồng dạng $2A^2B+A^2B=3A^2B$ và $AB^2+2AB^2=3AB^2$, được $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$.

Quy trình khai triển lập phương của một tổng/hiệu

Bốn hệ số $1, 3, 3, 1$ trong $(A+B)^3=1\cdot A^3+3\cdot A^2B+3\cdot AB^2+1\cdot B^3$ không phải ngẫu nhiên — chúng đúng bằng hàng thứ ba của tam giác Pascal, cùng dãy hệ số $1, 2, 1$ đã xuất hiện ở $(A+B)^2$ . Hàng trước cộng với hàng sau cạnh nó luôn cho hàng dưới ( $1{+}2{=}3$ và $2{+}1{=}3$ ), một quy luật đúng cho mọi bậc luỹ thừa em sẽ gặp về sau. Nhớ dãy số này giúp kiểm tra nhanh xem một khai triển bậc ba có bỏ sót hệ số nào không.

Bốn hệ số $1, 3, 3, 1$ trong $(A+B)^3=1\cdot A^3+3\cdot A^2B+3\cdot AB^2+1\cdot B^3$ không phải ngẫu nhiên — chúng đúng bằng hàng thứ ba của tam giác Pascal, cùng dãy hệ số $1, 2, 1$ đã xuất hiện ở $(A+B)^2$. Hàng trước cộng với hàng sau cạnh nó luôn cho hàng dưới ($1{+}2{=}3$ và $2{+}1{=}3$), một quy luật đúng cho mọi bậc luỹ thừa em sẽ gặp về sau. Nhớ dãy số này giúp kiểm tra nhanh xem một khai triển bậc ba có bỏ sót hệ số nào không.

Ví dụ

Thể tích khối lập phương (dạng thi)

1
Một khối lập phương có cạnh $(x+2)$ cm. Viết thể tích của khối đó dưới dạng đa thức thu gọn theo $x$ .
Một khối lập phương có cạnh $(x+2)$ cm. Viết thể tích của khối đó dưới dạng đa thức thu gọn theo $x$.
2
Thể tích khối lập phương bằng lập phương của cạnh: $V=(x+2)^3$ , đúng dạng $(A+B)^3$ với $A=x, B=2$ .
Thể tích khối lập phương bằng lập phương của cạnh: $V=(x+2)^3$, đúng dạng $(A+B)^3$ với $A=x, B=2$.
3
$(x+2)^3=x^3+3\cdot x^2\cdot2+3\cdot x\cdot2^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8$ .
$(x+2)^3=x^3+3\cdot x^2\cdot2+3\cdot x\cdot2^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8$.
4
Vậy $V=x^3+6x^2+12x+8$ (cm $^3$ ).
Vậy $V=x^3+6x^2+12x+8$ (cm$^3$).

Lập phương của một hiệu

Suy ra tương tự từ $(A-B)^3=(A-B)(A-B)^2$ , thay $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ . Nhân $A$ với cả ba hạng tử được $A^3-2A^2B+AB^2$ ; nhân $-B$ với cả ba hạng tử được $-A^2B+2AB^2-B^3$ . Cộng hai kết quả: $A^3-2A^2B+AB^2-A^2B+2AB^2-B^3$ . Thu gọn các hạng tử đồng dạng: $-2A^2B-A^2B=-3A^2B$ và $AB^2+2AB^2=3AB^2$ , được $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$ . So với công thức của tổng, các hệ số $1,3,3,1$ giữ nguyên, chỉ có dấu của các số hạng luân phiên $+,-,+,-$ theo bậc giảm dần của $A$ .

Suy ra tương tự từ $(A-B)^3=(A-B)(A-B)^2$, thay $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$. Nhân $A$ với cả ba hạng tử được $A^3-2A^2B+AB^2$; nhân $-B$ với cả ba hạng tử được $-A^2B+2AB^2-B^3$. Cộng hai kết quả: $A^3-2A^2B+AB^2-A^2B+2AB^2-B^3$. Thu gọn các hạng tử đồng dạng: $-2A^2B-A^2B=-3A^2B$ và $AB^2+2AB^2=3AB^2$, được $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$. So với công thức của tổng, các hệ số $1,3,3,1$ giữ nguyên, chỉ có dấu của các số hạng luân phiên $+,-,+,-$ theo bậc giảm dần của $A$.

Ví dụ

Lập phương của một hiệu — áp dụng

1
Khai triển $(x-1)^3$ .
Khai triển $(x-1)^3$.
2
Đối chiếu $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$ với $A=x, B=1$ .
Đối chiếu $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$ với $A=x, B=1$.
3
$(x-1)^3=x^3-3\cdot x^2\cdot1+3\cdot x\cdot1^2-1^3=x^3-3x^2+3x-1$ .
$(x-1)^3=x^3-3\cdot x^2\cdot1+3\cdot x\cdot1^2-1^3=x^3-3x^2+3x-1$.

Ví dụ

Thể tích phần còn lại sau khi cắt bớt (dạng thi)

1
Một khối lập phương có cạnh $x$ cm được gọt đều mỗi chiều cạnh bớt $3$ cm, tạo thành một khối lập phương nhỏ hơn. Viết thể tích khối mới dưới dạng đa thức thu gọn theo $x$ .
Một khối lập phương có cạnh $x$ cm được gọt đều mỗi chiều cạnh bớt $3$ cm, tạo thành một khối lập phương nhỏ hơn. Viết thể tích khối mới dưới dạng đa thức thu gọn theo $x$.
2
Cạnh của khối mới là $x-3$ , nên thể tích $V=(x-3)^3$ , đúng dạng $(A-B)^3$ với $A=x, B=3$ .
Cạnh của khối mới là $x-3$, nên thể tích $V=(x-3)^3$, đúng dạng $(A-B)^3$ với $A=x, B=3$.
3
$(x-3)^3=x^3-3\cdot x^2\cdot3+3\cdot x\cdot3^2-3^3=x^3-9x^2+27x-27$ .
$(x-3)^3=x^3-3\cdot x^2\cdot3+3\cdot x\cdot3^2-3^3=x^3-9x^2+27x-27$.
4
Vậy $V=x^3-9x^2+27x-27$ (cm $^3$ ) — cùng một công thức, chỉ đổi vai trò $B$ từ số cộng thêm sang số bớt đi.
Vậy $V=x^3-9x^2+27x-27$ (cm$^3$) — cùng một công thức, chỉ đổi vai trò $B$ từ số cộng thêm sang số bớt đi.

Ví dụ

Kiểm tra bằng số cụ thể (dạng thi)

1
Dùng hằng đẳng thức để tính $11^3$ , rồi kiểm tra lại bằng phép nhân trực tiếp.
Dùng hằng đẳng thức để tính $11^3$, rồi kiểm tra lại bằng phép nhân trực tiếp.
2
Viết $11=10+1$ , đúng dạng $(A+B)^3$ với $A=10, B=1$ .
Viết $11=10+1$, đúng dạng $(A+B)^3$ với $A=10, B=1$.
3
$11^3=(10+1)^3=10^3+3\cdot10^2\cdot1+3\cdot10\cdot1^2+1^3=1000+300+30+1$ .
$11^3=(10+1)^3=10^3+3\cdot10^2\cdot1+3\cdot10\cdot1^2+1^3=1000+300+30+1$.
4
$11^3=1331$ .
$11^3=1331$.
5
Nhân trực tiếp: $11\times11=121$ , $121\times11=1331$ . Hai kết quả khớp nhau, xác nhận công thức đúng.
Nhân trực tiếp: $11\times11=121$, $121\times11=1331$. Hai kết quả khớp nhau, xác nhận công thức đúng.

Ví dụ

Lập phương với hệ số ở cả hai số hạng

1
Khai triển $(2x+3)^3$ .
Khai triển $(2x+3)^3$.
2
Đối chiếu $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$ với $A=2x, B=3$ .
Đối chiếu $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$ với $A=2x, B=3$.
3
$(2x+3)^3=(2x)^3+3(2x)^2\cdot3+3(2x)\cdot3^2+3^3=8x^3+36x^2+54x+27$ .
$(2x+3)^3=(2x)^3+3(2x)^2\cdot3+3(2x)\cdot3^2+3^3=8x^3+36x^2+54x+27$.
4
Khi cả $A$ và $B$ đều có hệ số, mỗi số hạng của kết quả phải tính riêng luỹ thừa của hệ số lẫn của biến — không được bỏ sót hệ số của $A$ .
Khi cả $A$ và $B$ đều có hệ số, mỗi số hạng của kết quả phải tính riêng luỹ thừa của hệ số lẫn của biến — không được bỏ sót hệ số của $A$.

Ví dụ

Nhận diện nhanh dạng hiệu để tính giá trị (dạng thi)

1
Tính giá trị của biểu thức $x^3-9x^2+27x-27$ tại $x=13$ .
Tính giá trị của biểu thức $x^3-9x^2+27x-27$ tại $x=13$.
2
Bốn hệ số $1,-9,27,-27$ đúng là khai triển của $(x-3)^3$ đã gặp ở phần thể tích phía trên.
Bốn hệ số $1,-9,27,-27$ đúng là khai triển của $(x-3)^3$ đã gặp ở phần thể tích phía trên.
3
Với $x=13$ : $(x-3)^3=(13-3)^3=10^3$ .
Với $x=13$: $(x-3)^3=(13-3)^3=10^3$.
4
$10^3=1000$ . Một lần nữa, nhận ra dạng lập phương trước khi thay số biến một phép tính bốn số hạng thành một phép luỹ thừa duy nhất.
$10^3=1000$. Một lần nữa, nhận ra dạng lập phương trước khi thay số biến một phép tính bốn số hạng thành một phép luỹ thừa duy nhất.

Bẫy thường gặp

Hai lỗi hay gặp nhất: quên hệ số $3$ trước $A^2B$ và $AB^2$ , viết nhầm $(A+B)^3=A^3+A^2B+AB^2+B^3$ ; và với lập phương của hiệu, đặt sai dấu ở một trong bốn số hạng — dấu phải luân phiên $+,-,+,-$ chứ không phải chỉ đổi dấu số hạng cuối cùng như ở bình phương của hiệu. Khi $A$ có hệ số, như $(2x+3)^3$ , còn một lỗi nữa: quên luỹ thừa hệ số của $A$ theo đúng bậc của từng số hạng — chẳng hạn $3A^2B$ phải tính $(2x)^2=4x^2$ trước khi nhân, không được giữ nguyên $2x^2$ . Một lỗi khác, tinh vi hơn, là nhầm lập phương của một tổng với tổng của các lập phương: $(A+B)^3$ KHÔNG bằng $A^3+B^3$ — bỏ quên hai số hạng giữa $3A^2B$ và $3AB^2$ là sai lầm nghiêm trọng nhất trong cả bài.

Hai lỗi hay gặp nhất: quên hệ số $3$ trước $A^2B$ và $AB^2$, viết nhầm $(A+B)^3=A^3+A^2B+AB^2+B^3$; và với lập phương của hiệu, đặt sai dấu ở một trong bốn số hạng — dấu phải luân phiên $+,-,+,-$ chứ không phải chỉ đổi dấu số hạng cuối cùng như ở bình phương của hiệu. Khi $A$ có hệ số, như $(2x+3)^3$, còn một lỗi nữa: quên luỹ thừa hệ số của $A$ theo đúng bậc của từng số hạng — chẳng hạn $3A^2B$ phải tính $(2x)^2=4x^2$ trước khi nhân, không được giữ nguyên $2x^2$. Một lỗi khác, tinh vi hơn, là nhầm lập phương của một tổng với tổng của các lập phương: $(A+B)^3$ KHÔNG bằng $A^3+B^3$ — bỏ quên hai số hạng giữa $3A^2B$ và $3AB^2$ là sai lầm nghiêm trọng nhất trong cả bài.

$(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$ ; với hiệu, giữ nguyên hệ số nhưng đổi dấu luân phiên. Khai triển bậc ba bằng cách nhân $(A+B)$ với $(A+B)^2$ đã biết, không cần học một công thức tách biệt. Khi gặp một khai triển bậc ba lạ, thử khớp bốn hệ số của nó với $1,3,3,1$ trước khi kết luận nó có đúng dạng hằng đẳng thức hay không.

$(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$; với hiệu, giữ nguyên hệ số nhưng đổi dấu luân phiên. Khai triển bậc ba bằng cách nhân $(A+B)$ với $(A+B)^2$ đã biết, không cần học một công thức tách biệt. Khi gặp một khai triển bậc ba lạ, thử khớp bốn hệ số của nó với $1,3,3,1$ trước khi kết luận nó có đúng dạng hằng đẳng thức hay không.

Hai công thức lập phương vừa học mở ra công thức cuối cùng: tổng và hiệu của hai lập phương, dùng khi cần phân tích — chứ không phải khai triển — một biểu thức chứa $A^3+B^3$ hoặc $A^3-B^3$ .