Bài học

Hiệu hai bình phương

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em khai triển và áp dụng được hằng đẳng thức $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ theo cả hai chiều: khai triển một tích thành hiệu hai bình phương, và phân tích một hiệu hai bình phương thành tích.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này dùng lại đúng phép nhân đa thức với đa thức của bài trước, và nên nhớ hai công thức bình phương tổng, bình phương hiệu vừa học — hai số hạng $AB$ và $-AB$ sẽ triệt tiêu nhau đúng như trong hai công thức đó. Điểm khác biệt quan trọng: hai thừa số ở đây không giống hệt nhau như $(A+B)(A+B)$ , mà một thừa số cộng, một thừa số trừ — chính sự trái dấu đó làm hai số hạng giữa triệt tiêu, thay vì cộng dồn thành $2AB$ như ở bình phương của một tổng.

Bài này dùng lại đúng phép nhân đa thức với đa thức của bài trước, và nên nhớ hai công thức bình phương tổng, bình phương hiệu vừa học — hai số hạng $AB$ và $-AB$ sẽ triệt tiêu nhau đúng như trong hai công thức đó. Điểm khác biệt quan trọng: hai thừa số ở đây không giống hệt nhau như $(A+B)(A+B)$, mà một thừa số cộng, một thừa số trừ — chính sự trái dấu đó làm hai số hạng giữa triệt tiêu, thay vì cộng dồn thành $2AB$ như ở bình phương của một tổng.

Khởi động

Tính nhanh $99\times101$ mà không đặt phép nhân dọc — có cách nào biến hai số lệch một đơn vị so với $100$ này thành một hiệu hai bình phương quen thuộc không?

Hiệu hai bình phương

Nhân trực tiếp hai thừa số: $A$ nhân với $(A+B)$ cho $A^2+AB$ ; $-B$ nhân với $(A+B)$ cho $-AB-B^2$ . Cộng hai kết quả: $(A-B)(A+B)=A^2+AB-AB-B^2$ . Hai số hạng $AB$ và $-AB$ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại $A^2-B^2$ — hiệu hai bình phương. Công thức đọc được theo cả hai chiều — từ tích suy ra hiệu, và ngược lại, từ một hiệu hai bình phương suy ra tích $(A-B)(A+B)$ , tức là phân tích thành nhân tử. Đây là hằng đẳng thức đầu tiên trong khoá mà em dùng thường xuyên theo chiều "phân tích" chứ không chỉ chiều "khai triển" — kỹ năng này sẽ trở thành công cụ chính của cả Course 3 sắp tới.

Nhân trực tiếp hai thừa số: $A$ nhân với $(A+B)$ cho $A^2+AB$; $-B$ nhân với $(A+B)$ cho $-AB-B^2$. Cộng hai kết quả: $(A-B)(A+B)=A^2+AB-AB-B^2$. Hai số hạng $AB$ và $-AB$ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại $A^2-B^2$ — hiệu hai bình phương. Công thức đọc được theo cả hai chiều — từ tích suy ra hiệu, và ngược lại, từ một hiệu hai bình phương suy ra tích $(A-B)(A+B)$, tức là phân tích thành nhân tử. Đây là hằng đẳng thức đầu tiên trong khoá mà em dùng thường xuyên theo chiều "phân tích" chứ không chỉ chiều "khai triển" — kỹ năng này sẽ trở thành công cụ chính của cả Course 3 sắp tới.

Quy trình nhận dạng hằng đẳng thức

Bốn bước này sẽ lặp lại cho từng hằng đẳng thức còn lại của khoá, chỉ đổi dạng cần đối chiếu — nắm chắc quy trình ở bài đầu tiên giúp các bài sau nhẹ nhàng hơn nhiều. Có một cách hình dung khác cho công thức này, không cần vẽ hình: xét một hình chữ nhật cạnh $(A-B)$ và $(A+B)$ . Diện tích của nó là $(A-B)(A+B)$ . Nếu cắt một dải rộng $B$ từ hình vuông cạnh $A$ rồi ghép dải đó sang cạnh còn lại, diện tích không đổi nhưng hình dạng biến thành đúng hình chữ nhật này — đó chính là lý do trực quan khiến diện tích hình vuông trừ đi diện tích hình vuông nhỏ luôn bằng diện tích hình chữ nhật đó.

Bốn bước này sẽ lặp lại cho từng hằng đẳng thức còn lại của khoá, chỉ đổi dạng cần đối chiếu — nắm chắc quy trình ở bài đầu tiên giúp các bài sau nhẹ nhàng hơn nhiều. Có một cách hình dung khác cho công thức này, không cần vẽ hình: xét một hình chữ nhật cạnh $(A-B)$ và $(A+B)$. Diện tích của nó là $(A-B)(A+B)$. Nếu cắt một dải rộng $B$ từ hình vuông cạnh $A$ rồi ghép dải đó sang cạnh còn lại, diện tích không đổi nhưng hình dạng biến thành đúng hình chữ nhật này — đó chính là lý do trực quan khiến diện tích hình vuông trừ đi diện tích hình vuông nhỏ luôn bằng diện tích hình chữ nhật đó.

Ví dụ

Khai triển thành hiệu hai bình phương

1
Khai triển $(x+3)(x-3)$ .
Khai triển $(x+3)(x-3)$.
2
Đối chiếu với $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ : $A=x, B=3$ .
Đối chiếu với $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$: $A=x, B=3$.
3
$(x+3)(x-3)=x^2-3^2=x^2-9$ .
$(x+3)(x-3)=x^2-3^2=x^2-9$.

Ví dụ

Phân tích thành nhân tử

1
Phân tích $x^2-9$ thành nhân tử.
Phân tích $x^2-9$ thành nhân tử.
2
$x^2-9=x^2-3^2$ , đúng dạng $A^2-B^2$ với $A=x, B=3$ .
$x^2-9=x^2-3^2$, đúng dạng $A^2-B^2$ với $A=x, B=3$.
3
$x^2-9=(x-3)(x+3)$ .
$x^2-9=(x-3)(x+3)$.
4
Nhân ngược lại: $(x-3)(x+3)=x^2+3x-3x-9=x^2-9$ , khớp với đề bài.
Nhân ngược lại: $(x-3)(x+3)=x^2+3x-3x-9=x^2-9$, khớp với đề bài.

Ví dụ

Tính nhanh bằng hằng đẳng thức (dạng thi)

1
Tính nhanh $99\times101$ .
Tính nhanh $99\times101$.
2
Viết $99=100-1$ và $101=100+1$ , đúng dạng $(A-B)(A+B)$ với $A=100, B=1$ .
Viết $99=100-1$ và $101=100+1$, đúng dạng $(A-B)(A+B)$ với $A=100, B=1$.
3
$99\times101=(100-1)(100+1)=100^2-1^2=10000-1$ .
$99\times101=(100-1)(100+1)=100^2-1^2=10000-1$.
4
$99\times101=9999$ . Vậy thay vì nhân trực tiếp hai số có ba chữ số, ta chỉ cần một phép trừ.
$99\times101=9999$. Vậy thay vì nhân trực tiếp hai số có ba chữ số, ta chỉ cần một phép trừ.

Ví dụ

Tính giá trị biểu thức bằng cách đưa về tích (dạng thi)

1
Tính giá trị của biểu thức $x^2-25$ tại $x=53$ .
Tính giá trị của biểu thức $x^2-25$ tại $x=53$.
2
$x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5)$ , đúng dạng hiệu hai bình phương với $B=5$ .
$x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5)$, đúng dạng hiệu hai bình phương với $B=5$.
3
Với $x=53$ : $x-5=48$ và $x+5=58$ .
Với $x=53$: $x-5=48$ và $x+5=58$.
4
$48\times58=2784$ .
$48\times58=2784$.
5
Vậy $x^2-25=2784$ tại $x=53$ . Đưa về tích trước khi thay số tránh được việc bình phương một số có hai chữ số rồi mới trừ.
Vậy $x^2-25=2784$ tại $x=53$. Đưa về tích trước khi thay số tránh được việc bình phương một số có hai chữ số rồi mới trừ.

Ví dụ

Đặt nhân tử chung trước khi dùng hằng đẳng thức

1
Phân tích $2x^2-8$ thành nhân tử.
Phân tích $2x^2-8$ thành nhân tử.
2
Cả hai hạng tử đều chia hết cho $2$ , nên đặt nhân tử chung trước: $2x^2-8=2(x^2-4)$ .
Cả hai hạng tử đều chia hết cho $2$, nên đặt nhân tử chung trước: $2x^2-8=2(x^2-4)$.
3
$x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2)$ .
$x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2)$.
4
$2x^2-8=2(x-2)(x+2)$ . Nếu áp dụng hằng đẳng thức ngay mà quên đặt nhân tử chung $2$ ra trước, kết quả sẽ thiếu mất thừa số $2$ .
$2x^2-8=2(x-2)(x+2)$. Nếu áp dụng hằng đẳng thức ngay mà quên đặt nhân tử chung $2$ ra trước, kết quả sẽ thiếu mất thừa số $2$.

Bẫy thường gặp

Đừng nhầm hiệu hai bình phương $A^2-B^2$ với bình phương của hiệu $(A-B)^2$ — hai biểu thức này hoàn toàn khác nhau. Chẳng hạn $x^2-9$ không bằng $(x-3)^2$ : khai triển $(x-3)^2=x^2-6x+9$ , còn $x^2-9$ không hề có số hạng chứa $x$ bậc nhất. Trước khi áp dụng công thức, luôn kiểm tra xem đề bài cho một hiệu hai bình phương thật sự, hay một bình phương của hiệu. Một bẫy khác: khi các hạng tử có nhân tử chung, phải đặt nhân tử chung ra trước rồi mới áp dụng hằng đẳng thức cho phần còn lại, như trong ví dụ $2x^2-8$ ở trên — bỏ qua bước này khiến kết quả phân tích chưa triệt để. Cuối cùng, khi phân tích một tổng hai bình phương như $x^2+9$ , đừng cố ép nó vào dạng $A^2-B^2$ — tổng hai bình phương (không đi kèm số hạng bậc nhất) không phân tích được bằng bất kỳ hằng đẳng thức nào trong bảy công thức của khoá này.

Đừng nhầm hiệu hai bình phương $A^2-B^2$ với bình phương của hiệu $(A-B)^2$ — hai biểu thức này hoàn toàn khác nhau. Chẳng hạn $x^2-9$ không bằng $(x-3)^2$: khai triển $(x-3)^2=x^2-6x+9$, còn $x^2-9$ không hề có số hạng chứa $x$ bậc nhất. Trước khi áp dụng công thức, luôn kiểm tra xem đề bài cho một hiệu hai bình phương thật sự, hay một bình phương của hiệu. Một bẫy khác: khi các hạng tử có nhân tử chung, phải đặt nhân tử chung ra trước rồi mới áp dụng hằng đẳng thức cho phần còn lại, như trong ví dụ $2x^2-8$ ở trên — bỏ qua bước này khiến kết quả phân tích chưa triệt để. Cuối cùng, khi phân tích một tổng hai bình phương như $x^2+9$, đừng cố ép nó vào dạng $A^2-B^2$ — tổng hai bình phương (không đi kèm số hạng bậc nhất) không phân tích được bằng bất kỳ hằng đẳng thức nào trong bảy công thức của khoá này.

Ví dụ

Hiệu diện tích hai hình vuông (dạng thi)

1
Một mảnh đất hình vuông cạnh $(x+6)$ m nằm cạnh một mảnh đất hình vuông khác cạnh $(x-6)$ m. Viết biểu thức hiệu diện tích hai mảnh đất dưới dạng tích, rồi tính giá trị khi $x=20$ .
Một mảnh đất hình vuông cạnh $(x+6)$ m nằm cạnh một mảnh đất hình vuông khác cạnh $(x-6)$ m. Viết biểu thức hiệu diện tích hai mảnh đất dưới dạng tích, rồi tính giá trị khi $x=20$.
2
Hiệu diện tích $D=(x+6)^2-(x-6)^2$ .
Hiệu diện tích $D=(x+6)^2-(x-6)^2$.
3
Đặt $A=x+6, B=x-6$ , đây đúng dạng hiệu hai bình phương $A^2-B^2$ .
Đặt $A=x+6, B=x-6$, đây đúng dạng hiệu hai bình phương $A^2-B^2$.
4
$D=[(x+6)-(x-6)][(x+6)+(x-6)]=12\cdot2x=24x$ .
$D=[(x+6)-(x-6)][(x+6)+(x-6)]=12\cdot2x=24x$.
5
Với $x=20$ : $D=24\times20=480$ . Vậy $D=24x$ (m $^2$ ), và khi $x=20$ thì $D=480$ m $^2$ .
Với $x=20$: $D=24\times20=480$. Vậy $D=24x$ (m$^2$), và khi $x=20$ thì $D=480$ m$^2$.

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ đọc được hai chiều: khai triển tích thành hiệu, hoặc phân tích hiệu thành tích. Luôn phân biệt với $(A-B)^2$ — hai công thức trông giống nhau nhưng cho hai kết quả khác hẳn.

Hai công thức bình phương và công thức hiệu hai bình phương vừa học đều xuất phát từ việc nhân hai đa thức bậc nhất. Bài học sau áp dụng đúng cách suy luận đó cho luỹ thừa bậc ba: lập phương của một tổng và một hiệu — cùng một tư duy "nhân trực tiếp rồi thu gọn", chỉ là số hạng cần thu gọn nhiều hơn.