Bài học

Định lí Thalès thuận và đảo trong tam giác

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được định lí Thalès trong tam giác và dùng nó để tính một đoạn thẳng còn thiếu khi biết đường thẳng song song với một cạnh; em cũng dùng được định lí đảo để kiểm tra hai đoạn thẳng có thật sự song song hay không, chỉ bằng cách so sánh hai tỉ số.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết tỉ lệ thức từ lớp 7: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ nghĩa là hai tỉ số bằng nhau, và có thể suy ra $a \cdot d = b \cdot c$ . Em cũng đã học dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ở chương tứ giác của chính lớp 8. Bài này ghép hai kiến thức đó lại: một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác sẽ chia hai cạnh còn lại theo cùng một tỉ lệ.

Em đã biết tỉ lệ thức từ lớp 7: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ nghĩa là hai tỉ số bằng nhau, và có thể suy ra $a \cdot d = b \cdot c$. Em cũng đã học dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ở chương tứ giác của chính lớp 8. Bài này ghép hai kiến thức đó lại: một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác sẽ chia hai cạnh còn lại theo cùng một tỉ lệ.

Khởi động

Một mảnh vườn hình tam giác ABC, cạnh AB dài 5 m. Bác nông dân muốn cắm một hàng rào song song với cạnh BC, cách đỉnh A đúng 3 m dọc theo AB, để chia mảnh vườn thành hai phần trồng hai loại rau khác nhau. Hàng rào đó cắt cạnh AC ở đâu, cách A bao xa? Nếu chỉ đo được AB và AC mà không đo trực tiếp được vị trí hàng rào trên AC, liệu có cách nào tính ra mà không cần đo đạc thêm không?

Kiến thức trọng tâm

Định lí Thalès trong tam giác phát biểu như sau: nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Cụ thể, cho tam giác ABC, D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC, nếu DE // BC thì $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ — và cách viết tương đương $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ cũng đúng, vì hai cách viết chỉ khác nhau ở việc lấy AD so với cả AB hay so với phần còn lại DB.

Vì sao lại có tỉ lệ đó? Ta hình dung: khi DE // BC, tam giác ADE là một bản "thu nhỏ" của tam giác ABC, giữ nguyên hình dạng — góc ở D và góc ở B bằng nhau, góc ở E và góc ở C bằng nhau, cùng chung góc A. Bài học sau sẽ dùng chính hình ảnh này để định nghĩa hai tam giác đồng dạng; ở đây, định lí Thalès chỉ khẳng định tỉ lệ trên hai cạnh AB và AC, chưa nói đến cạnh DE.

Định lí đảo cũng đúng, và lí do khá tự nhiên: giả sử D thuộc AB, E' thuộc AC thỏa $\frac{AD}{DB} = \frac{AE'}{E'C}$ . Gọi E là giao điểm của đường thẳng qua D song song BC với AC. Theo định lí thuận vừa học, $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ . Hai tỉ số $\frac{AE'}{E'C}$ và $\frac{AE}{EC}$ bằng nhau, mà E và E' cùng nằm trên đoạn AC, nên E và E' phải trùng nhau — trên một đoạn thẳng, chỉ có đúng một điểm chia nó theo một tỉ số cho trước. Vậy DE' chính là DE, tức song song với BC. Đây là lí do vì sao chỉ cần so sánh hai tỉ số, không cần đo bất kì góc nào, đã đủ kết luận song song.

Định lí đảo cũng đúng, và lí do khá tự nhiên: giả sử D thuộc AB, E' thuộc AC thỏa $\frac{AD}{DB} = \frac{AE'}{E'C}$. Gọi E là giao điểm của đường thẳng qua D song song BC với AC. Theo định lí thuận vừa học, $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. Hai tỉ số $\frac{AE'}{E'C}$ và $\frac{AE}{EC}$ bằng nhau, mà E và E' cùng nằm trên đoạn AC, nên E và E' phải trùng nhau — trên một đoạn thẳng, chỉ có đúng một điểm chia nó theo một tỉ số cho trước. Vậy DE' chính là DE, tức song song với BC. Đây là lí do vì sao chỉ cần so sánh hai tỉ số, không cần đo bất kì góc nào, đã đủ kết luận song song.

Lời giải có hình

Định lí Thalès: đường thẳng song song một cạnh

Bước 1

Cho tam giác ABC.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính đoạn thẳng còn thiếu bằng định lí Thalès

1
Cho tam giác ABC, D thuộc AB với AD = 3, DB = 2; E thuộc AC, DE // BC, AC = 10. Tính AE.
2
Ta có AB = AD + DB = 3 + 2 = 5.
3
Vì DE // BC nên theo định lí Thalès, $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ , tức là $\frac{3}{5} = \frac{AE}{10}$ .
Vì DE // BC nên theo định lí Thalès, $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$, tức là $\frac{3}{5} = \frac{AE}{10}$.
4
Suy ra $AE = \frac{3 \times 10}{5} = 6$ .
Suy ra $AE = \frac{3 \times 10}{5} = 6$.
5
Vậy AE = 6 (đơn vị độ dài đã cho), và EC = AC − AE = 10 − 6 = 4.

Ví dụ

Dùng định lí đảo để kiểm tra hai đoạn thẳng có song song

1
Cho tam giác ABC, D thuộc AB với AD = 4, DB = 6; E thuộc AC với AE = 6, EC = 9. Hỏi DE có song song với BC không?
2
Ta có $\frac{AD}{DB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ và $\frac{AE}{EC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .
Ta có $\frac{AD}{DB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ và $\frac{AE}{EC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
3
Hai tỉ số bằng nhau: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = \frac{2}{3}$ .
Hai tỉ số bằng nhau: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = \frac{2}{3}$.
4
Vậy theo định lí Thalès đảo, DE // BC — một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và chia chúng theo cùng tỉ số thì song song với cạnh thứ ba, dù ta chưa hề đo góc nào.

Ví dụ

Giải quyết tình huống mở đầu: hàng rào trong mảnh vườn tam giác

1
Mảnh vườn tam giác ABC có AB = 5 m, AC = 8 m. Bác nông dân cắm hàng rào D trên AB, E trên AC, DE // BC, với AD = 3 m. Hàng rào cắt AC tại điểm cách A bao xa?
2
Vì DE // BC nên $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ , tức là $\frac{3}{5} = \frac{AE}{8}$ .
Vì DE // BC nên $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$, tức là $\frac{3}{5} = \frac{AE}{8}$.
3
$AE = \frac{3 \times 8}{5} = 4{,}8$ (m).
$AE = \frac{3 \times 8}{5} = 4{,}8$ (m).
4
Vậy hàng rào cắt AC tại điểm E cách A đúng 4,8 m — bác nông dân không cần đo trực tiếp trên AC, chỉ cần đo trên AB rồi tính bằng định lí Thalès.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Cẩn thận với AB và DB

Nhiều bạn viết nhầm $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{EC}$ — trộn một tỉ số "phần trên cả cạnh" với một tỉ số "phần trên phần còn lại". Hai cách viết đúng chỉ là $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ (đều so với cả cạnh) hoặc $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ (đều so với phần còn lại) — không được ghép chéo hai kiểu.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Định lí Thalès cho tam giác ABC với D trên AB, E trên AC: nếu DE // BC thì AD/AB = AE/AC. Chiều ngược lại cũng đúng — hai tỉ số bằng nhau (đúng kiểu, không trộn chéo) thì kết luận được DE // BC mà không cần đo góc.

Bài sau, ta chứng minh thêm rằng DE/BC cũng bằng đúng tỉ số này — đó là hệ quả của định lí Thalès, và trường hợp riêng khi tỉ số bằng 1/2 chính là đường trung bình của tam giác.