Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Ôn tập: Thalès, tam giác đồng dạng và đường phân giác
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em nhận diện đúng công cụ cần dùng (Thalès, đồng dạng, hay tính chất đường phân giác) trước một bài toán hình học tổng hợp, và giải được những bài phối hợp nhiều bước đúng độ khó của đề kiểm tra cuối kì và đề thi vào lớp 10.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài ôn tập này không đưa ra kiến thức mới — toàn bộ nội dung dưới đây chỉ dùng lại sáu bài đã học: định lí Thalès và hệ quả (bài 1, 2), ba trường hợp đồng dạng và tỉ số đồng dạng (bài 3, 4), ứng dụng đo gián tiếp (bài 5), và tính chất đường phân giác (bài 6).
Khởi động
Ba tín hiệu giúp em nhận ra ngay công cụ cần dùng trong một bài toán hình học lớp 8: thấy một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác — nghĩ đến Thalès; thấy hai góc bằng nhau hoặc ba cặp cạnh tỉ lệ — nghĩ đến đồng dạng; thấy một tia chia đôi một góc — nghĩ đến tính chất đường phân giác. Trước khi đặt bút tính, em có tự hỏi mình đang đứng trước tín hiệu nào không?
Tổng hợp lại ba mạch kiến thức
Định lí Thalès cho tỉ lệ trên hai cạnh của MỘT tam giác khi có một đường song song cắt qua; hệ quả mở rộng tỉ lệ đó sang cả cạnh thứ ba. Tam giác đồng dạng mở rộng ý tưởng này ra HAI tam giác trọn vẹn — g.g chính là "phiên bản đóng gói" của hệ quả Thalès, dùng khi hai góc bằng nhau có sẵn từ giả thiết. Đường phân giác là một tình huống rất cụ thể bên trong một tam giác, chứng minh được bằng cách quay lại dùng chính hệ quả Thalès qua một đường phụ song song. Ba mạch kiến thức không tách rời — chúng dùng chung một sợi chỉ đỏ: một đường thẳng song song luôn tạo ra tỉ lệ.
Đây cũng là mạch kiến thức xuất hiện thường xuyên trong đề thi vào lớp 10: một bài hình tổng hợp thường mở đầu bằng việc chứng minh một cặp tam giác đồng dạng hoặc nhận ra một đường song song, rồi từ đó suy ra các hệ thức về đoạn thẳng, tỉ số diện tích, hoặc vị trí của một điểm đặc biệt như chân đường phân giác — đúng những kĩ năng cả chương đã luyện qua bảy bài học.
Bài tổng hợp minh hoạ
Ví dụ
Kết hợp định lí Thalès và tỉ số đồng dạng
1
Tam giác ABC có D thuộc AB, E thuộc AC, DE // BC, AD = 4 cm, AB = 10 cm, BC = 15 cm. Tính DE, rồi tính tỉ số diện tích tam giác ADE so với tam giác ABC.
2
Vì DE // BC nên $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$, suy ra $DE = \frac{2}{5} \times 15 = 6$ (cm).
3
DE // BC nên theo trường hợp g.g (đã học ở bài 3), tam giác ADE ∽ tam giác ABC với tỉ số đồng dạng $k = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{5}$.
4
Theo bài 4, tỉ số diện tích bằng $k^2$: $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$.
5
Vậy DE = 6 cm, và diện tích tam giác ADE chỉ bằng $\frac{4}{25}$ diện tích tam giác ABC.
Ví dụ
Kết hợp tính chất đường phân giác và tỉ số chu vi
1
Tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm, BC = 21 cm. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Biết tam giác ABD đồng dạng tam giác MNP theo tỉ số k = 2, chu vi tam giác MNP là 40 cm. Tính BD và chu vi tam giác ABD.
2
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$. Đặt BD = 3t, DC = 4t, có $7t = 21$ nên $t = 3$, suy ra $BD = 9$ (cm).
3
Theo bài 4, tỉ số chu vi bằng đúng tỉ số đồng dạng k. Vì tam giác ABD ∽ tam giác MNP theo tỉ số k = 2 (ABD là tam giác "lớn"), $P_{ABD} = k \times P_{MNP} = 2 \times 40 = 80$ (cm).
4
Vậy BD = 9 cm và chu vi tam giác ABD là 80 cm.
Ví dụ
Bài tổng hợp: đường phân giác kết hợp hệ quả định lí Thalès
1
Tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 12 cm, BC = 15 cm. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC tại E. Tính DE.
2
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$. Đặt BD = 2t, DC = 3t, có $5t = 15$ nên $t = 3$, suy ra $DC = 9$ (cm).
3
D thuộc CB, E thuộc CA, DE // AB, nên $\frac{DE}{AB} = \frac{CD}{CB} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.
4
$DE = \frac{3}{5} \times 8 = 4{,}8$ (cm).
5
Vậy DE = 4,8 cm. Bài toán vừa dùng tính chất đường phân giác để xác định D, vừa dùng hệ quả định lí Thalès để tính DE — đúng kiểu phối hợp hai công cụ mà một bài hình tổng hợp trong đề kiểm tra hay đề thi vào lớp 10 thường yêu cầu.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Sai lầm thường gặp
Kiểm tra lại xem tỉ số đang dùng cho cạnh hay diện tích
Trong một bài toán tổng hợp, dễ nhất là lẫn lộn khi nào dùng k (cạnh, chu vi) và khi nào dùng k² (diện tích) — đặc biệt khi bài có cả hai câu hỏi. Trước khi tính, luôn đọc kĩ đơn vị đề bài yêu cầu: cm hay cm².
Một thói quen đáng luyện trước khi nộp bài: sau khi tính ra một đoạn thẳng bằng tỉ lệ thức, thử cộng lại các đoạn (như BD + DC có bằng BC đề cho không), hoặc thay ngược kết quả vào tỉ lệ thức ban đầu xem hai vế có thật sự bằng nhau. Việc kiểm tra ngược này chỉ mất vài giây nhưng bắt được phần lớn lỗi tính toán trước khi mất điểm.
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Cả khóa học xoay quanh một ý tưởng: một đường thẳng song song tạo ra tỉ lệ. Định lí Thalès áp dụng ý tưởng đó cho một tam giác; đồng dạng mở rộng cho hai tam giác trọn vẹn với ba trường hợp nhận biết, trong đó g.g dùng nhiều nhất; tính chất đường phân giác là một hệ quả cụ thể chứng minh lại bằng chính công cụ đó. Nhớ phân biệt tỉ số cạnh/chu vi (nhân k) với tỉ số diện tích (nhân k²).
Khóa Toán 8 nền tảng tiếp theo chuyển sang hình chóp đều — bước đầu tiên rời khỏi mặt phẳng để làm quen với hình học không gian.
Ba tín hiệu giúp em nhận ra ngay công cụ cần dùng trong một bài toán hình học lớp 8: thấy một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác — nghĩ đến Thalès; thấy hai góc bằng nhau hoặc ba cặp cạnh tỉ lệ — nghĩ đến đồng dạng; thấy một tia chia đôi một góc — nghĩ đến tính chất đường phân giác. Trước khi đặt bút tính, em có tự hỏi mình đang đứng trước tín hiệu nào không?
Định lí Thalès cho tỉ lệ trên hai cạnh của MỘT tam giác khi có một đường song song cắt qua; hệ quả mở rộng tỉ lệ đó sang cả cạnh thứ ba. Tam giác đồng dạng mở rộng ý tưởng này ra HAI tam giác trọn vẹn — g.g chính là "phiên bản đóng gói" của hệ quả Thalès, dùng khi hai góc bằng nhau có sẵn từ giả thiết. Đường phân giác là một tình huống rất cụ thể bên trong một tam giác, chứng minh được bằng cách quay lại dùng chính hệ quả Thalès qua một đường phụ song song. Ba mạch kiến thức không tách rời — chúng dùng chung một sợi chỉ đỏ: một đường thẳng song song luôn tạo ra tỉ lệ.
Đây cũng là mạch kiến thức xuất hiện thường xuyên trong đề thi vào lớp 10: một bài hình tổng hợp thường mở đầu bằng việc chứng minh một cặp tam giác đồng dạng hoặc nhận ra một đường song song, rồi từ đó suy ra các hệ thức về đoạn thẳng, tỉ số diện tích, hoặc vị trí của một điểm đặc biệt như chân đường phân giác — đúng những kĩ năng cả chương đã luyện qua bảy bài học.
Vì DE // BC nên BCDE=ABAD=104=52, suy ra DE=52×15=6 (cm).
DE // BC nên theo trường hợp g.g (đã học ở bài 3), tam giác ADE ∽ tam giác ABC với tỉ số đồng dạng k=ABAD=52.
Theo bài 4, tỉ số diện tích bằng k2: SABCSADE=(52)2=254.
Vậy DE = 6 cm, và diện tích tam giác ADE chỉ bằng 254 diện tích tam giác ABC.
DCBD=ACAB=129=43. Đặt BD = 3t, DC = 4t, có 7t=21 nên t=3, suy ra BD=9 (cm).
Theo bài 4, tỉ số chu vi bằng đúng tỉ số đồng dạng k. Vì tam giác ABD ∽ tam giác MNP theo tỉ số k = 2 (ABD là tam giác "lớn"), PABD=k×PMNP=2×40=80 (cm).
DCBD=ACAB=128=32. Đặt BD = 2t, DC = 3t, có 5t=15 nên t=3, suy ra DC=9 (cm).
D thuộc CB, E thuộc CA, DE // AB, nên ABDE=CBCD=159=53.
DE=53×8=4,8 (cm).
Cả khóa học xoay quanh một ý tưởng: một đường thẳng song song tạo ra tỉ lệ. Định lí Thalès áp dụng ý tưởng đó cho một tam giác; đồng dạng mở rộng cho hai tam giác trọn vẹn với ba trường hợp nhận biết, trong đó g.g dùng nhiều nhất; tính chất đường phân giác là một hệ quả cụ thể chứng minh lại bằng chính công cụ đó. Nhớ phân biệt tỉ số cạnh/chu vi (nhân k) với tỉ số diện tích (nhân k²).