Bài học

Tính chất đường phân giác trong của tam giác

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu và áp dụng được tính chất đường phân giác trong của tam giác: đường phân giác từ một đỉnh chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề đỉnh đó, và phân biệt được tính chất này với đường trung tuyến — hai đường dễ bị nhầm lẫn.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ khái niệm tia phân giác của một góc (chia góc thành hai góc bằng nhau) đã học từ lớp 6-7, và hệ quả định lí Thalès (bài 2) — công cụ chính dùng để chứng minh tính chất của bài này.

Khởi động

Đường trung tuyến từ đỉnh A luôn đi qua trung điểm của cạnh đối diện BC, chia BC làm hai phần bằng nhau. Vậy đường phân giác từ đỉnh A — tia chia góc A làm hai góc bằng nhau — có luôn chia BC làm hai phần bằng nhau như trung tuyến không? Nếu tam giác ABC không cân tại A, hai đường này có trùng nhau không?

Kiến thức trọng tâm

Tính chất đường phân giác trong của tam giác: trong tam giác ABC, nếu AD là tia phân giác của góc A (D thuộc cạnh BC) thì D chia BC theo đúng tỉ số hai cạnh kề đỉnh A: $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$ . Khác với đường trung tuyến, D chỉ là trung điểm BC khi AB = AC (tam giác cân tại A) — nói chung, D nghiêng về phía cạnh ngắn hơn trong hai cạnh AB, AC.

Tính chất đường phân giác trong của tam giác: trong tam giác ABC, nếu AD là tia phân giác của góc A (D thuộc cạnh BC) thì D chia BC theo đúng tỉ số hai cạnh kề đỉnh A: $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$. Khác với đường trung tuyến, D chỉ là trung điểm BC khi AB = AC (tam giác cân tại A) — nói chung, D nghiêng về phía cạnh ngắn hơn trong hai cạnh AB, AC.

Chứng minh dựa trên chính công cụ đã học: kẻ qua C một đường thẳng song song với AD, cắt tia BA kéo dài tại điểm E. Vì AD là phân giác nên góc BAD = góc DAC; vì CE // AD nên góc AEC = góc BAD (đồng vị) và góc ACE = góc DAC (so le trong); suy ra góc AEC = góc ACE, nên tam giác ACE cân tại A, tức AE = AC. Bây giờ, trong tam giác BCE, đường thẳng AD song song với cạnh CE và cắt hai cạnh BC, BE, nên theo hệ quả định lí Thalès, $\frac{BD}{DC} = \frac{BA}{AE}$ — và vì AE = AC, ta có ngay $\frac{BD}{DC} = \frac{BA}{AC}$ .

Lời giải có hình

Tính chất đường phân giác trong của tam giác

Bước 1

Cho tam giác ABC, AD là tia phân giác của góc A (D thuộc BC).

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính hai đoạn do phân giác chia cạnh đối diện

1
Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 14 cm. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Tính BD, DC.
2
Theo tính chất đường phân giác, $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ .
Theo tính chất đường phân giác, $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
3
Đặt BD = 3t, DC = 4t (t > 0). Vì BD + DC = BC nên $3t + 4t = 14$ , suy ra $7t = 14$ , $t = 2$ .
Đặt BD = 3t, DC = 4t (t > 0). Vì BD + DC = BC nên $3t + 4t = 14$, suy ra $7t = 14$, $t = 2$.
4
BD = 3 × 2 = 6 (cm), DC = 4 × 2 = 8 (cm).
5
Vậy BD = 6 cm, DC = 8 cm — kiểm tra lại: BD + DC = 6 + 8 = 14 = BC (TMĐK).

Ví dụ

Nhận biết một đoạn có phải phân giác không (định lí đảo)

1
Tam giác ABC có AB = 10 cm, AC = 14 cm. Điểm D thuộc BC với BD = 5 cm, DC = 7 cm. Hỏi AD có phải là tia phân giác của góc A không?
2
$\frac{AB}{AC} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$ và $\frac{BD}{DC} = \frac{5}{7}$ .
$\frac{AB}{AC} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$ và $\frac{BD}{DC} = \frac{5}{7}$.
3
Hai tỉ số bằng nhau: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} = \frac{5}{7}$ .
Hai tỉ số bằng nhau: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} = \frac{5}{7}$.
4
Vậy AD là tia phân giác của góc A — điểm D thỏa đúng tỉ số mà tính chất đường phân giác yêu cầu, dù đề bài không nói trước AD là phân giác.

Ví dụ

Tìm lại một cạnh của tam giác từ hai đoạn đã chia

1
Tam giác ABC có AB = 15 cm. Tia phân giác góc A cắt BC tại D với BD = 6 cm, DC = 10 cm. Tính AC.
2
Theo tính chất đường phân giác, $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ , tức $\frac{6}{10} = \frac{15}{AC}$ .
Theo tính chất đường phân giác, $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$, tức $\frac{6}{10} = \frac{15}{AC}$.
3
$AC = \frac{15 \times 10}{6} = 25$ (cm).
$AC = \frac{15 \times 10}{6} = 25$ (cm).
4
Vậy AC = 25 cm — từ hai đoạn trên cạnh đối diện, ta tìm ngược lại được cạnh kề mà đề không cho trực tiếp.

Dạng bài tìm ngược một cạnh như trên xuất hiện khá thường xuyên trong đề kiểm tra cuối kì và cả đề thi vào lớp 10 — đề thường cho hai đoạn BD, DC đo được (hoặc tính được từ dữ kiện khác) và một cạnh, yêu cầu tìm cạnh còn lại, thay vì hỏi thẳng BD, DC như ví dụ đầu tiên.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Phân giác không phải lúc nào cũng chia đôi cạnh đối diện

Nhầm lẫn phổ biến nhất: nghĩ đường phân giác luôn là trung tuyến, tức BD = DC. Điều đó chỉ đúng khi tam giác cân tại đỉnh xuất phát (AB = AC). Với tam giác thường, phải dùng đúng tỉ lệ thức BD/DC = AB/AC, không được mặc định chia đôi.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đường phân giác trong của tam giác từ đỉnh A chia cạnh đối diện BC tại D theo tỉ số DB/DC = AB/AC — tỉ số hai cạnh kề đỉnh A, không phải chia đôi như trung tuyến (trừ khi tam giác cân tại A). Chứng minh dựa trên đường phụ song song và hệ quả định lí Thalès, đúng công cụ đã học từ đầu chương.

Bài cuối cùng của khóa ôn lại cả ba mảng — Thalès, đồng dạng, đường phân giác — trong những bài toán tổng hợp đúng phong cách đề kiểm tra cuối kì và đề thi vào lớp 10.