Bài học

Ứng dụng tam giác đồng dạng: đo gián tiếp chiều cao và khoảng cách

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dựng được mô hình tam giác đồng dạng để đo gián tiếp một chiều cao hoặc khoảng cách không thể đo trực tiếp — chiều cao cột cờ, cây cổ thụ bằng bóng nắng, hoặc khoảng cách qua một hồ nước — và trình bày lời giải theo đúng trình tự: mô hình hoá trước, tính toán sau.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này dùng lại đúng hai công cụ vừa học: trường hợp đồng dạng g.g (bài 3) và tỉ số đồng dạng (bài 4). Không có kiến thức mới nào về đồng dạng — cái mới là kĩ năng đọc một tình huống thực tế và dịch nó thành hai tam giác đồng dạng trước khi tính toán.

Khởi động

Làm sao đo được chiều cao một cây cổ thụ trong sân trường mà không cần trèo lên hay dùng thước dây thả từ ngọn cây xuống? Nếu em có một cây gậy nhỏ đo được chiều cao, và đo được bóng của cả gậy lẫn cây tại cùng một thời điểm, liệu có đủ dữ kiện để tính ra chiều cao cây không cần trèo lên đo?

Kiến thức trọng tâm

Nguyên tắc chung của đo gián tiếp bằng tam giác đồng dạng: dựng hai tam giác đồng dạng, trong đó một tam giác nhỏ đo được đầy đủ các cạnh, còn tam giác lớn chỉ đo được một phần — phần còn lại (chiều cao cây, khoảng cách qua hồ) được suy ra từ tỉ số đồng dạng, không cần đo trực tiếp. Bước quan trọng nhất, và cũng là bước học sinh hay bỏ qua, là mô hình hoá: vẽ lại tình huống thực tế thành một hình học rõ ràng trước khi viết bất kì phép tính nào.

Đo chiều cao bằng bóng nắng

Tại cùng một thời điểm, mọi tia nắng mặt trời chiếu xuống mặt đất đều song song với nhau. Nếu dựng một cọc và một vật cần đo (cây, cột cờ) đều vuông góc với mặt đất, bóng của mỗi vật cùng với chính vật đó và mặt đất tạo thành một tam giác vuông; hai tam giác vuông này đồng dạng theo trường hợp g.g, vì cùng có một góc vuông và góc tạo bởi tia nắng với mặt đất bằng nhau ở cả hai (do hai tia nắng song song, đây là hai góc đồng vị).

Lời giải có hình

Đo chiều cao cột cờ bằng bóng nắng — mô hình hoá bằng tam giác đồng dạng

Bước 1

Bạn Minh dựng một cọc AB thẳng đứng cao 1,5 m, đo được bóng AC của cọc trên mặt sân dài 2 m.

Ví dụ

Đo chiều cao cột cờ bằng bóng nắng — trình bày mẫu

1
Cọc AB cao 1,5 m, đặt vuông góc mặt sân, có bóng AC dài 2 m. Cùng thời điểm, cột cờ DE (vuông góc mặt sân) có bóng DF dài 6 m. Tính chiều cao cột cờ DE.
2
Tam giác ABC vuông tại A và tam giác DEF vuông tại D có góc C = góc F (hai tia nắng song song nên hai góc này đồng vị), nên tam giác ABC ∽ tam giác DEF theo trường hợp g.g.
3
Tương ứng A↔D, B↔E, C↔F, nên $\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC}$ , tức $\frac{DE}{1{,}5} = \frac{6}{2}$ .
Tương ứng A↔D, B↔E, C↔F, nên $\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC}$, tức $\frac{DE}{1{,}5} = \frac{6}{2}$.
4
$DE = \frac{1{,}5 \times 6}{2} = 4{,}5$ (m).
$DE = \frac{1{,}5 \times 6}{2} = 4{,}5$ (m).
5
Vậy chiều cao cột cờ là 4,5 m.

Đo khoảng cách qua một hồ nước

Cách đo phổ biến khác: muốn biết khoảng cách AB giữa hai điểm ở hai bờ một hồ (không đi thẳng qua được), chọn một điểm C trên bờ nhìn thấy cả A lẫn B. Trên tia CA và tia CB, đánh dấu hai điểm A', B' sao cho $\frac{CA'}{CA} = \frac{CB'}{CB}$ theo cùng một tỉ lệ nhỏ, đo được trực tiếp bằng thước dây ngắn. Vì hai cạnh CA', CB' tỉ lệ với CA, CB và góc C chung, tam giác CA'B' ∽ tam giác CAB theo trường hợp c.g.c; từ đó suy ra AB từ đoạn A'B' đo được, nhân với tỉ lệ nghịch đảo.

Ví dụ

Đo khoảng cách qua hồ bằng tam giác thu nhỏ

1
Từ điểm C trên bờ, đo được CA = 40 m. Trên đoạn CA, đánh dấu A' sao cho CA' = 4 m (tỉ lệ 1/10); tương tự đánh dấu B' trên CB với cùng tỉ lệ 1/10. Đo trực tiếp được A'B' = 3,2 m. Tính khoảng cách AB qua hồ.
2
Tam giác CA'B' và tam giác CAB có góc C chung, và $\frac{CA'}{CA} = \frac{CB'}{CB} = \frac{1}{10}$ , nên tam giác CA'B' ∽ tam giác CAB theo trường hợp c.g.c, tỉ số đồng dạng $\frac{1}{10}$ .
Tam giác CA'B' và tam giác CAB có góc C chung, và $\frac{CA'}{CA} = \frac{CB'}{CB} = \frac{1}{10}$, nên tam giác CA'B' ∽ tam giác CAB theo trường hợp c.g.c, tỉ số đồng dạng $\frac{1}{10}$.
3
Vì $\frac{A'B'}{AB} = \frac{1}{10}$ , ta có $AB = 10 \times A'B'$ .
Vì $\frac{A'B'}{AB} = \frac{1}{10}$, ta có $AB = 10 \times A'B'$.
4
$AB = 10 \times 3{,}2 = 32$ (m).
$AB = 10 \times 3{,}2 = 32$ (m).
5
Vậy khoảng cách qua hồ AB = 32 m, đo được mà không cần đi qua hồ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Ghép đúng cặp tương ứng, đo đúng thời điểm

Hai lỗi thường gặp: (1) đo bóng của cọc và bóng của vật cần tìm ở hai thời điểm khác nhau, khiến hai tia nắng không còn song song và tỉ số bị sai; (2) khi lập tỉ lệ thức, lấy nhầm chiều cao vật này so với bóng của vật kia thay vì so với bóng của chính nó — luôn viết $\frac{\text{chiều cao}_1}{\text{bóng}_1} = \frac{\text{chiều cao}_2}{\text{bóng}_2}$ , mỗi vật đi với bóng của chính nó.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đo gián tiếp bằng tam giác đồng dạng: dựng một tam giác nhỏ đo được đầy đủ, một tam giác lớn chỉ đo được một phần; mô hình hoá tình huống thực tế thành hình học trước, chứng minh đồng dạng, rồi mới lập tỉ lệ thức để suy ra đại lượng chưa đo được.

Bài sau quay lại bên trong MỘT tam giác, khai thác một đường đặc biệt nữa: đường phân giác — nó chia cạnh đối diện theo đúng tỉ số của hai cạnh kề, một tính chất khác hẳn với đường trung tuyến mà em đã quen.