Bài học

Bài toán thực tế kết hợp hình trụ, hình nón, hình cầu

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tách được một khối ghép quen thuộc (bồn chứa hai đầu bo tròn, silo có mái nón) thành các hình trụ, hình nón, hình cầu cơ bản, và tính đúng thể tích, diện tích của khối ghép đó bằng cách cộng hoặc trừ các phần đã biết công thức.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không có công thức mới — nó dùng lại nguyên vẹn ba bộ công thức của ba chương trước: hình trụ ( $S_{xq}=2\pi rh$ , $V=\pi r^2h$ ), hình nón ( $S_{xq}=\pi rl$ , $V=\dfrac13\pi r^2h$ ), hình cầu ( $S=4\pi R^2$ , $V=\dfrac43\pi R^3$ ). Điều mới duy nhất là kỹ năng ĐỌC HÌNH: nhận ra một vật thể phức tạp thực chất được ghép từ những hình đơn giản nào.

Bài này không có công thức mới — nó dùng lại nguyên vẹn ba bộ công thức của ba chương trước: hình trụ ($S_{xq}=2\pi rh$, $V=\pi r^2h$), hình nón ($S_{xq}=\pi rl$, $V=\dfrac13\pi r^2h$), hình cầu ($S=4\pi R^2$, $V=\dfrac43\pi R^3$). Điều mới duy nhất là kỹ năng ĐỌC HÌNH: nhận ra một vật thể phức tạp thực chất được ghép từ những hình đơn giản nào.

Khởi động

Một bồn chứa gas hình trụ thường có hai đầu không phẳng mà bo tròn ra ngoài — mỗi đầu là một nửa hình cầu. Một silo chứa lúa lại có thân hình trụ và mái nhọn hình nón ở trên. Nếu chỉ có công thức cho TỪNG hình riêng lẻ, làm sao tính thể tích của cả khối ghép đó?

Kiến thức trọng tâm

Chiến lược chung cho mọi bài toán khối ghép: tách khối thành các hình cơ bản đã biết công thức, tính riêng thể tích (hoặc diện tích) từng phần, rồi CỘNG lại nếu các phần ghép nối tiếp nhau, hoặc TRỪ đi nếu một phần bị khoét rỗng bên trong. Hai dạng ghép hay gặp nhất ở lớp 9: dạng cộng, ví dụ bồn hình trụ với hai nắp là hai nửa hình cầu (hai nửa hình cầu bán kính bằng nhau ghép lại đúng bằng một hình cầu tròn đầy, nên cộng thẳng thể tích hình cầu vào thể tích hình trụ), hoặc silo hình trụ với mái hình nón; dạng trừ chính là hình nón cụt đã học ở chương trước — hình nón lớn trừ hình nón nhỏ bị cắt.

Khi tính diện tích bề mặt của một khối ghép (ví dụ để ước lượng vật liệu cần dùng), chỉ cộng những mặt THỰC SỰ lộ ra bên ngoài — mặt tiếp giáp giữa hai phần ghép (như đáy trên của phần trụ tiếp giáp với đáy của phần nón mái) không tính vào diện tích bề mặt, vì đó là mặt ở bên trong khối, không cần sơn hay bọc vật liệu.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Thể tích bồn chứa nước hình trụ có hai nắp hình bán cầu

1
Một bồn chứa nước gồm một hình trụ bán kính đáy 1,5 m, chiều cao phần trụ 4 m, hai đầu bồn là hai nắp hình bán cầu cùng bán kính. Tính thể tích bồn.
2
Bồn gồm một hình trụ ở giữa và hai nửa hình cầu ở hai đầu; hai nửa hình cầu CÙNG bán kính ghép khít lại đúng bằng một hình cầu tròn đầy, nên có thể cộng thẳng thể tích một hình cầu, không cần tính riêng từng nửa rồi nhân đôi một cách rườm rà.
3
$V_{trụ}=\pi r^2h=\pi\cdot1.5^2\cdot4=9.0\pi$ m³.
$V_{trụ}=\pi r^2h=\pi\cdot1.5^2\cdot4=9.0\pi$ m³.
4
$V_{cầu}=\dfrac43\pi r^3=\dfrac43\pi\cdot1.5^3=4.50\pi$ m³.
$V_{cầu}=\dfrac43\pi r^3=\dfrac43\pi\cdot1.5^3=4.50\pi$ m³.
5
$V=V_{trụ}+V_{cầu}=9.0\pi+4.50\pi=13.50\pi\approx42,39$ m³.
$V=V_{trụ}+V_{cầu}=9.0\pi+4.50\pi=13.50\pi\approx42,39$ m³.
6
Vậy bồn chứa được khoảng 42,39 m³ nước (xấp xỉ 42.390 lít).

Ví dụ

Thể tích và diện tích tôn của một silo có mái hình nón

1
Một silo chứa lúa gồm thân hình trụ bán kính đáy 2 m, chiều cao 6 m, và mái hình nón cùng bán kính đáy, chiều cao 1.5 m. Tính thể tích silo (câu a) và diện tích tôn cần dùng để lợp mái và bọc thân, không tính đáy vì đáy giáp nền (câu b).
2
$V=V_{trụ}+V_{nón}=\pi r^2h_1+\dfrac13\pi r^2h_2=\pi\cdot2^2\cdot6+\dfrac13\pi\cdot2^2\cdot1.5=24\pi+2.00\pi\approx81,64$ m³.
$V=V_{trụ}+V_{nón}=\pi r^2h_1+\dfrac13\pi r^2h_2=\pi\cdot2^2\cdot6+\dfrac13\pi\cdot2^2\cdot1.5=24\pi+2.00\pi\approx81,64$ m³.
3
$l=\sqrt{r^2+h_2^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{6.25}=2,5$ m.
$l=\sqrt{r^2+h_2^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{6.25}=2,5$ m.
4
Thân trụ (không đáy trên vì giáp mái, không đáy dưới vì giáp nền): $S_{xq,trụ}=2\pi rh_1=2\pi\cdot2\cdot6=24\pi$ m². Mái nón: $S_{xq,nón}=\pi rl=\pi\cdot2\cdot2,5=5.0\pi$ m². Cộng lại: $S=24\pi+5.0\pi\approx91,06$ m².
Thân trụ (không đáy trên vì giáp mái, không đáy dưới vì giáp nền): $S_{xq,trụ}=2\pi rh_1=2\pi\cdot2\cdot6=24\pi$ m². Mái nón: $S_{xq,nón}=\pi rl=\pi\cdot2\cdot2,5=5.0\pi$ m². Cộng lại: $S=24\pi+5.0\pi\approx91,06$ m².
5
Vậy silo chứa được khoảng 81,64 m³ lúa, và cần khoảng 91,06 m² tôn để lợp mái và bọc thân.

Ví dụ

Cùng chiều dài tổng thể, thiết kế nào chứa nhiều nước hơn

1
Hai bồn chứa nước có cùng bán kính đáy 1,5 m và cùng chiều dài tổng thể 7 m. Bồn A là một hình trụ thuần túy. Bồn B là hình trụ với hai nắp hình bán cầu ở hai đầu (như ví dụ 1, chiều dài phần trụ 4 m cộng hai lần bán kính 1,5 m ở hai đầu, cũng tổng cộng 7 m). Bồn nào chứa được nhiều nước hơn?
2
$V_A=\pi r^2h=\pi\cdot1,5^2\cdot7\approx49,46$ m³.
$V_A=\pi r^2h=\pi\cdot1,5^2\cdot7\approx49,46$ m³.
3
Bồn B đã tính ở ví dụ 1: $V_B\approx42,39$ m³. So sánh: 49,46 m³ so với 42,39 m³.
Bồn B đã tính ở ví dụ 1: $V_B\approx42,39$ m³. So sánh: 49,46 m³ so với 42,39 m³.
4
Vậy dù có cùng chiều dài tổng thể, bồn A (hình trụ thuần túy) chứa nhiều nước hơn bồn B khoảng 7,07 m³, vì phần chỏm cầu ở hai đầu bồn B "thu hẹp dần" nên chiếm thể tích ít hơn phần trụ tương ứng cùng chiều dài — một điều đáng lưu ý khi so sánh hai phương án thiết kế trong thực tế.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất khi tính khối ghép: cộng nhầm cả hai đáy tiếp giáp vào diện tích bề mặt, hoặc quên rằng hai nửa hình cầu bằng nhau ghép lại chỉ bằng một hình cầu (không phải tính riêng từng nửa nhân đôi hệ số 1/2 cho phức tạp). Lỗi thứ hai, rất tinh vi: khi so sánh hai thiết kế "cùng chiều dài", nhiều bạn mặc định thể tích cũng bằng nhau — nhưng như ví dụ 3 cho thấy, hình dạng khác nhau thì thể tích khác nhau dù tổng chiều dài như nhau.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Mọi bài toán khối ghép đều giải bằng bốn bước: nhận diện các hình cơ bản → đo đúng kích thước từng phần → tính riêng theo công thức của chương trước → cộng nếu ghép nối tiếp, trừ nếu bị khoét rỗng. Khi tính diện tích bề mặt, chỉ cộng phần thực sự lộ ra ngoài.

Đến đây em đã đủ công cụ để giải mọi bài toán hình trụ, hình nón, hình cầu — từ một hình đơn lẻ đến một khối ghép phức tạp. Chương cuối của khoá học hệ thống hoá lại toàn bộ công thức, so sánh ba hình với nhau, và luyện tập dạng bài tổng hợp đúng phong cách câu hình học thực tế của đề tuyển sinh vào lớp 10.