Bài học

Hình trụ: diện tích và thể tích

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em gọi đúng tên các yếu tố của hình trụ (đáy, chiều cao, đường sinh), và tính được diện tích xung quanh $S_{xq}$ , diện tích toàn phần $S_{tp}$ , thể tích $V$ của một hình trụ khi biết bán kính đáy và chiều cao.

Sau bài này, em gọi đúng tên các yếu tố của hình trụ (đáy, chiều cao, đường sinh), và tính được diện tích xung quanh $S_{xq}$, diện tích toàn phần $S_{tp}$, thể tích $V$ của một hình trụ khi biết bán kính đáy và chiều cao.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết chu vi đường tròn $C=2\pi r$ và diện tích hình tròn $S=\pi r^2$ từ chương Đường tròn. Em cũng đã biết ở lớp 8: thể tích hình hộp chữ nhật bằng diện tích đáy nhân chiều cao. Hình trụ dùng lại đúng ý tưởng đó — chỉ khác ở chỗ đáy là hình tròn thay vì hình chữ nhật. Trong cả chương này, trừ khi đề bài yêu cầu giữ nguyên dạng $\pi$ , ta lấy $\pi \approx 3,14$ khi tính giá trị gần đúng — quy ước này dùng xuyên suốt mọi bài từ đây.

Em đã biết chu vi đường tròn $C=2\pi r$ và diện tích hình tròn $S=\pi r^2$ từ chương Đường tròn. Em cũng đã biết ở lớp 8: thể tích hình hộp chữ nhật bằng diện tích đáy nhân chiều cao. Hình trụ dùng lại đúng ý tưởng đó — chỉ khác ở chỗ đáy là hình tròn thay vì hình chữ nhật. Trong cả chương này, trừ khi đề bài yêu cầu giữ nguyên dạng $\pi$, ta lấy $\pi \approx 3,14$ khi tính giá trị gần đúng — quy ước này dùng xuyên suốt mọi bài từ đây.

Khởi động

Một lon nước ngọt và một đoạn ống nước nhựa đều có dạng hình trụ. Muốn biết lon chứa được bao nhiêu mililít nước, hay muốn cắt một tấm tôn vừa đủ quấn quanh ống, em cần đo đại lượng nào của hình trụ, và các đại lượng đó liên hệ với diện tích, thể tích ra sao? Bài học này trả lời chính câu hỏi đó.

Kiến thức trọng tâm

Hình trụ được tạo ra khi quay một hình chữ nhật quanh một cạnh cố định của nó. Cạnh cố định đó trở thành trục, cạnh đối diện quét ra mặt xung quanh, còn hai cạnh vuông góc với trục quét ra hai đáy — hai hình tròn bằng nhau, bán kính $r$ . Khoảng cách giữa hai đáy gọi là chiều cao $h$ ; vì hình trụ ở đây luôn là hình trụ tròn xoay đứng nên chiều cao cũng chính là đường sinh — độ dài cạnh đã quét ra mặt xung quanh.

Hình trụ được tạo ra khi quay một hình chữ nhật quanh một cạnh cố định của nó. Cạnh cố định đó trở thành trục, cạnh đối diện quét ra mặt xung quanh, còn hai cạnh vuông góc với trục quét ra hai đáy — hai hình tròn bằng nhau, bán kính $r$. Khoảng cách giữa hai đáy gọi là chiều cao $h$; vì hình trụ ở đây luôn là hình trụ tròn xoay đứng nên chiều cao cũng chính là đường sinh — độ dài cạnh đã quét ra mặt xung quanh.

Hình dung cắt rời mặt xung quanh theo một đường sinh rồi trải phẳng ra: em được một hình chữ nhật có một cạnh bằng chu vi đáy $2\pi r$ , cạnh còn lại bằng chiều cao $h$ . Diện tích hình chữ nhật đó chính là diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq}=2\pi r h$ . Diện tích toàn phần cộng thêm hai đáy tròn: $S_{tp}=S_{xq}+2\pi r^2=2\pi r(h+r)$ . Còn thể tích, theo đúng quy tắc lớp 8, bằng diện tích đáy nhân chiều cao: $V=\pi r^2 h$ . Ba công thức này chỉ cần nhớ một lần — mọi bài hình trụ sau này đều là biến tấu của ba công thức trên.

Hình dung cắt rời mặt xung quanh theo một đường sinh rồi trải phẳng ra: em được một hình chữ nhật có một cạnh bằng chu vi đáy $2\pi r$, cạnh còn lại bằng chiều cao $h$. Diện tích hình chữ nhật đó chính là diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq}=2\pi r h$. Diện tích toàn phần cộng thêm hai đáy tròn: $S_{tp}=S_{xq}+2\pi r^2=2\pi r(h+r)$. Còn thể tích, theo đúng quy tắc lớp 8, bằng diện tích đáy nhân chiều cao: $V=\pi r^2 h$. Ba công thức này chỉ cần nhớ một lần — mọi bài hình trụ sau này đều là biến tấu của ba công thức trên.

Một điều cần để ý ngay từ bài đầu tiên: đơn vị của $S_{xq}$ , $S_{tp}$ luôn là đơn vị VUÔNG (cm², m²…), còn đơn vị của $V$ luôn là đơn vị KHỐI (cm³, m³…) — nhìn vào đơn vị của đáp số cũng là một cách tự kiểm tra xem mình vừa tính diện tích hay thể tích, đặc biệt hữu ích khi làm bài dưới áp lực thời gian. Trong đời sống, hình trụ xuất hiện ở khắp nơi: cột nhà, ống nước, lon nước ngọt, thùng phi — bất cứ khi nào một vật có tiết diện tròn và giữ nguyên kích thước đó suốt chiều dài, đó là một hình trụ, và ba công thức trên áp dụng được ngay.

Một điều cần để ý ngay từ bài đầu tiên: đơn vị của $S_{xq}$, $S_{tp}$ luôn là đơn vị VUÔNG (cm², m²…), còn đơn vị của $V$ luôn là đơn vị KHỐI (cm³, m³…) — nhìn vào đơn vị của đáp số cũng là một cách tự kiểm tra xem mình vừa tính diện tích hay thể tích, đặc biệt hữu ích khi làm bài dưới áp lực thời gian. Trong đời sống, hình trụ xuất hiện ở khắp nơi: cột nhà, ống nước, lon nước ngọt, thùng phi — bất cứ khi nào một vật có tiết diện tròn và giữ nguyên kích thước đó suốt chiều dài, đó là một hình trụ, và ba công thức trên áp dụng được ngay.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính Sxq, Stp, V của một hình trụ cụ thể

1
Một hình trụ có bán kính đáy $r=5$ cm, chiều cao $h=10$ cm. Tính $S_{xq}$ , $S_{tp}$ , $V$ .
Một hình trụ có bán kính đáy $r=5$ cm, chiều cao $h=10$ cm. Tính $S_{xq}$, $S_{tp}$, $V$.
2
Ta có $S_{xq}=2\pi r h=2\pi\cdot5\cdot10=100\pi$ . Với $\pi\approx3,14$ : $S_{xq}\approx314,00$ cm².
Ta có $S_{xq}=2\pi r h=2\pi\cdot5\cdot10=100\pi$. Với $\pi\approx3,14$: $S_{xq}\approx314,00$ cm².
3
$S_{tp}=S_{xq}+2\pi r^2=100\pi+2\pi\cdot25=150\pi\approx471,00$ cm².
$S_{tp}=S_{xq}+2\pi r^2=100\pi+2\pi\cdot25=150\pi\approx471,00$ cm².
4
$V=\pi r^2 h=\pi\cdot25\cdot10=250\pi\approx785,00$ cm³.
$V=\pi r^2 h=\pi\cdot25\cdot10=250\pi\approx785,00$ cm³.
5
Vậy $S_{xq}\approx314,00$ cm², $S_{tp}\approx471,00$ cm², $V\approx785,00$ cm³.
Vậy $S_{xq}\approx314,00$ cm², $S_{tp}\approx471,00$ cm², $V\approx785,00$ cm³.

Ví dụ

Bồn nước hình trụ khi đề chỉ cho chu vi đáy (dạng thi)

1
Một bồn chứa nước hình trụ có chu vi đáy 3,14 m, chiều cao 1,50 m. Tính thể tích nước bồn chứa được khi đầy, theo đơn vị lít.
2
Từ $C=2\pi r$ suy ra $r=\dfrac{C}{2\pi}=\dfrac{3,14}{2\pi}\approx0,5$ m — đây là bước bắt buộc trước khi tính thể tích, vì đề không cho trực tiếp bán kính.
Từ $C=2\pi r$ suy ra $r=\dfrac{C}{2\pi}=\dfrac{3,14}{2\pi}\approx0,5$ m — đây là bước bắt buộc trước khi tính thể tích, vì đề không cho trực tiếp bán kính.
3
$V=\pi r^2 h\approx3,14\cdot0,5^2\cdot1,5\approx1,1775$ m³.
$V=\pi r^2 h\approx3,14\cdot0,5^2\cdot1,5\approx1,1775$ m³.
4
Vì $1$ m³ $=1\,000$ lít, ta có $V\approx1,1775\times1\,000=1.177,5$ lít.
Vì $1$ m³ $=1\,000$ lít, ta có $V\approx1,1775\times1\,000=1.177,5$ lít.
5
Vậy bồn chứa được khoảng 1.177,5 lít nước khi đầy.

Ví dụ

Thể tích thay đổi thế nào khi bán kính tăng gấp đôi

1
Hai hình trụ có cùng chiều cao, nhưng bán kính đáy hình trụ thứ hai gấp đôi bán kính hình trụ thứ nhất. Thể tích hình trụ thứ hai gấp mấy lần thể tích hình trụ thứ nhất?
2
Gọi bán kính hình trụ thứ nhất là $r$ , chiều cao chung là $h$ . Hình trụ thứ hai có bán kính $2r$ , cùng chiều cao $h$ . Ta có $\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{\pi(2r)^2h}{\pi r^2h}=\dfrac{4r^2}{r^2}=4$ .
Gọi bán kính hình trụ thứ nhất là $r$, chiều cao chung là $h$. Hình trụ thứ hai có bán kính $2r$, cùng chiều cao $h$. Ta có $\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{\pi(2r)^2h}{\pi r^2h}=\dfrac{4r^2}{r^2}=4$.
3
Với $r=3$ cm, $h=5$ cm: $V_1=\pi\cdot9\cdot5\approx141,30$ cm³. Với bán kính $2r=6$ cm, cùng chiều cao: $V_2=\pi\cdot36\cdot5\approx565,20$ cm³, đúng bằng $4\times141,30=565,20$ .
Với $r=3$ cm, $h=5$ cm: $V_1=\pi\cdot9\cdot5\approx141,30$ cm³. Với bán kính $2r=6$ cm, cùng chiều cao: $V_2=\pi\cdot36\cdot5\approx565,20$ cm³, đúng bằng $4\times141,30=565,20$.
4
Vậy khi giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính gấp đôi, thể tích hình trụ tăng gấp 4 lần — vì bán kính xuất hiện dưới dạng bình phương trong công thức thể tích, không phải tỉ lệ thuận đơn giản như chiều cao.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Rất nhiều bạn dùng nhầm đường kính thay cho bán kính trong công thức — đề cho đường kính 6 cm mà cứ thế thay $r=6$ vào $\pi r^2h$ , khiến kết quả sai gấp 4 lần. Luôn đọc kỹ đề bài cho "bán kính" hay "đường kính", và nhớ $r=d/2$ trước khi thay số. Một lỗi khác: tính $S_{tp}$ mà quên nhân đôi diện tích đáy — hình trụ có HAI đáy, không phải một.

Rất nhiều bạn dùng nhầm đường kính thay cho bán kính trong công thức — đề cho đường kính 6 cm mà cứ thế thay $r=6$ vào $\pi r^2h$, khiến kết quả sai gấp 4 lần. Luôn đọc kỹ đề bài cho \"bán kính\" hay \"đường kính", và nhớ $r=d/2$ trước khi thay số. Một lỗi khác: tính $S_{tp}$ mà quên nhân đôi diện tích đáy — hình trụ có HAI đáy, không phải một.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hình trụ có bán kính đáy $r$ , chiều cao $h$ : $S_{xq}=2\pi rh$ , $S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2$ , $V=\pi r^2h$ . Luôn xác định đúng $r$ và $h$ từ đề trước khi thay số, và để ý đề hỏi mặt xung quanh, toàn phần hay chỉ một đáy.

Hình trụ có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$: $S_{xq}=2\pi rh$, $S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2$, $V=\pi r^2h$. Luôn xác định đúng $r$ và $h$ từ đề trước khi thay số, và để ý đề hỏi mặt xung quanh, toàn phần hay chỉ một đáy.

Hình trụ có hai đáy bằng nhau và mặt bên thẳng đứng — đó là hình đơn giản nhất trong ba hình tròn xoay của chương này. Bài tiếp theo học hình nón, nơi mặt bên không còn thẳng mà chụm về một đỉnh; em sẽ thấy công thức thể tích hình nón chỉ bằng $\dfrac13$ hình trụ có cùng đáy và chiều cao — và sẽ cần dùng lại định lí Pythagore để tìm đường sinh.