Bài học

Hình cầu: diện tích và thể tích

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân biệt được mặt cầu với hình cầu, và tính được diện tích mặt cầu $S$ cùng thể tích hình cầu $V$ khi biết bán kính.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai chương trước, mặt bên hình trụ và hình nón đều "trải phẳng" được thành một hình phẳng quen thuộc (chữ nhật, quạt tròn) — nhờ vậy công thức diện tích suy ra khá tự nhiên. Hình cầu không làm được điều đó: mặt cầu cong đều theo mọi hướng, không thể trải phẳng mà không bị rách hay méo (đây là lý do bản đồ thế giới vẽ trên giấy phẳng luôn bị biến dạng ở gần hai cực). Vì vậy hai công thức của hình cầu cần ghi nhớ trực tiếp, không suy luận từ hình khai triển như hai bài trước.

Khởi động

Một quả bóng đá, một viên bi, hay mô hình Trái Đất trong lớp học — tất cả đều có dạng hình cầu. Muốn biết cần bao nhiêu da để bọc một quả bóng, hay quả bóng chứa được bao nhiêu không khí, chỉ cần đúng MỘT số đo: bán kính. Vậy bán kính đó liên hệ với diện tích và thể tích theo công thức nào?

Kiến thức trọng tâm

Mặt cầu tâm $O$ bán kính $R$ là tập hợp tất cả các điểm cách $O$ một khoảng đúng bằng $R$ — đó là một MẶT (không có bề dày), giống như vỏ quả bóng. Hình cầu là khối đặc được giới hạn bởi mặt cầu đó — giống như quả bóng đã bơm căng, tính cả phần không khí bên trong. Khi đề bài hỏi "diện tích" luôn hiểu là diện tích MẶT cầu; khi hỏi "thể tích" luôn hiểu là thể tích khối HÌNH cầu.

Công thức cần nhớ: diện tích mặt cầu $S=4\pi R^2$ , thể tích hình cầu $V=\dfrac43\pi R^3$ . Nếu đề cho đường kính $d$ thay vì bán kính, luôn đổi $R=d/2$ trước khi thay số — đây là lỗi hay gặp nhất của bài này, y hệt lỗi từng gặp ở hình trụ. So với hình trụ và hình nón, hình cầu có một điểm khác biệt quan trọng: bán kính xuất hiện ở LŨY THỪA BẬC BA trong công thức thể tích (thay vì bậc hai như hình trụ, hình nón) — điều này khiến thể tích hình cầu tăng rất nhanh khi bán kính tăng, như ví dụ dưới đây sẽ cho thấy.

Công thức cần nhớ: diện tích mặt cầu $S=4\pi R^2$, thể tích hình cầu $V=\dfrac43\pi R^3$. Nếu đề cho đường kính $d$ thay vì bán kính, luôn đổi $R=d/2$ trước khi thay số — đây là lỗi hay gặp nhất của bài này, y hệt lỗi từng gặp ở hình trụ. So với hình trụ và hình nón, hình cầu có một điểm khác biệt quan trọng: bán kính xuất hiện ở LŨY THỪA BẬC BA trong công thức thể tích (thay vì bậc hai như hình trụ, hình nón) — điều này khiến thể tích hình cầu tăng rất nhanh khi bán kính tăng, như ví dụ dưới đây sẽ cho thấy.

Một mẹo nhớ hai công thức mà không lẫn lộn: $S=4\pi R^2$ đúng bằng BỐN lần diện tích một hình tròn bán kính $R$ (một sự thật thú vị, tuy không cần chứng minh ở lớp 9 nhưng đáng để em biết); còn $V=\dfrac43\pi R^3$ có thể nhớ qua liên hệ với hình trụ ngoại tiếp: một hình cầu bán kính $R$ vừa khít bên trong một hình trụ có cùng bán kính đáy và chiều cao $h=2R$ (đường kính) — thể tích hình cầu đúng bằng $\dfrac23$ thể tích hình trụ ngoại tiếp đó (kiểm tra nhanh: $V_{trụ}=\pi R^2\cdot2R=2\pi R^3$ , $\dfrac23\times2\pi R^3=\dfrac43\pi R^3$ , đúng khớp). Những liên hệ như vậy không bắt buộc phải nhớ để giải bài, nhưng giúp công thức bớt trừu tượng và dễ nhớ lâu hơn là học thuộc lòng một dãy ký hiệu.

Một mẹo nhớ hai công thức mà không lẫn lộn: $S=4\pi R^2$ đúng bằng BỐN lần diện tích một hình tròn bán kính $R$ (một sự thật thú vị, tuy không cần chứng minh ở lớp 9 nhưng đáng để em biết); còn $V=\dfrac43\pi R^3$ có thể nhớ qua liên hệ với hình trụ ngoại tiếp: một hình cầu bán kính $R$ vừa khít bên trong một hình trụ có cùng bán kính đáy và chiều cao $h=2R$ (đường kính) — thể tích hình cầu đúng bằng $\dfrac23$ thể tích hình trụ ngoại tiếp đó (kiểm tra nhanh: $V_{trụ}=\pi R^2\cdot2R=2\pi R^3$, $\dfrac23\times2\pi R^3=\dfrac43\pi R^3$, đúng khớp). Những liên hệ như vậy không bắt buộc phải nhớ để giải bài, nhưng giúp công thức bớt trừu tượng và dễ nhớ lâu hơn là học thuộc lòng một dãy ký hiệu.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính diện tích và thể tích của một hình cầu cụ thể

1
Một hình cầu có bán kính $R=10$ cm. Tính $S$ và $V$ .
Một hình cầu có bán kính $R=10$ cm. Tính $S$ và $V$.
2
$S=4\pi R^2=4\pi\cdot100=400\pi\approx1.256,00$ cm².
$S=4\pi R^2=4\pi\cdot100=400\pi\approx1.256,00$ cm².
3
$V=\dfrac43\pi R^3=\dfrac43\pi\cdot1000\approx4.186,67$ cm³.
$V=\dfrac43\pi R^3=\dfrac43\pi\cdot1000\approx4.186,67$ cm³.
4
Vậy $S\approx1.256,00$ cm², $V\approx4.186,67$ cm³.
Vậy $S\approx1.256,00$ cm², $V\approx4.186,67$ cm³.

Ví dụ

Diện tích da bọc một quả bóng rổ (dạng thi)

1
Một quả bóng rổ có đường kính 24 cm. Tính diện tích da cần dùng để bọc quả bóng, coi lớp da phủ kín không hao hụt.
2
$R=24:2=12$ cm.
$R=24:2=12$ cm.
3
$S=4\pi R^2=4\pi\cdot144=576\pi\approx1.808,64$ cm².
$S=4\pi R^2=4\pi\cdot144=576\pi\approx1.808,64$ cm².
4
Vậy cần khoảng 1.808,64 cm² (xấp xỉ 0,181 m²) da để bọc quả bóng.

Ví dụ

Bán kính giảm một nửa, thể tích còn lại bao nhiêu

1
Một quả cầu kim loại được nấu chảy và đúc lại thành một quả cầu mới có bán kính chỉ bằng một nửa bán kính ban đầu. Thể tích quả cầu mới bằng bao nhiêu phần thể tích quả cầu ban đầu?
2
Gọi bán kính ban đầu là $R$ . Bán kính mới là $\dfrac R2$ . Ta có $\dfrac{V_{mới}}{V_{cũ}}=\dfrac{\frac43\pi(R/2)^3}{\frac43\pi R^3}=\dfrac{R^3/8}{R^3}=\dfrac18$ .
Gọi bán kính ban đầu là $R$. Bán kính mới là $\dfrac R2$. Ta có $\dfrac{V_{mới}}{V_{cũ}}=\dfrac{\frac43\pi(R/2)^3}{\frac43\pi R^3}=\dfrac{R^3/8}{R^3}=\dfrac18$.
3
Với $R=6$ cm: $V_{cũ}=\dfrac43\pi\cdot216\approx904,32$ cm³. Với bán kính bằng nửa, $R=3$ cm: $V_{mới}=\dfrac43\pi\cdot27\approx113,04$ cm³, đúng bằng $\dfrac18\times904,32=113,04$ .
Với $R=6$ cm: $V_{cũ}=\dfrac43\pi\cdot216\approx904,32$ cm³. Với bán kính bằng nửa, $R=3$ cm: $V_{mới}=\dfrac43\pi\cdot27\approx113,04$ cm³, đúng bằng $\dfrac18\times904,32=113,04$.
4
Vậy khi bán kính giảm một nửa, thể tích chỉ còn 1/8 thể tích ban đầu — chứ không phải một nửa, vì bán kính xuất hiện ở lũy thừa bậc ba.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến nhất: đề cho đường kính nhưng thay thẳng vào chỗ của $R$ , khiến diện tích sai gấp 4 lần và thể tích sai gấp 8 lần — luôn đổi $R=d/2$ trước. Lỗi thứ hai: nhầm công thức thể tích hình cầu $V=\dfrac43\pi R^3$ với công thức diện tích $S=4\pi R^2$ — một mẹo nhớ: thể tích luôn mang đơn vị khối (lũy thừa 3), diện tích luôn mang đơn vị vuông (lũy thừa 2), viết sai bậc lũy thừa là dấu hiệu đầu tiên để tự kiểm tra.

Lỗi phổ biến nhất: đề cho đường kính nhưng thay thẳng vào chỗ của $R$, khiến diện tích sai gấp 4 lần và thể tích sai gấp 8 lần — luôn đổi $R=d/2$ trước. Lỗi thứ hai: nhầm công thức thể tích hình cầu $V=\dfrac43\pi R^3$ với công thức diện tích $S=4\pi R^2$ — một mẹo nhớ: thể tích luôn mang đơn vị khối (lũy thừa 3), diện tích luôn mang đơn vị vuông (lũy thừa 2), viết sai bậc lũy thừa là dấu hiệu đầu tiên để tự kiểm tra.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hình cầu bán kính $R$ : diện tích MẶT cầu $S=4\pi R^2$ , thể tích khối HÌNH cầu $V=\dfrac43\pi R^3$ . Không có công thức " $S_{xq}$ " hay " $S_{tp}$ " riêng cho hình cầu — chỉ một diện tích duy nhất, vì mặt cầu không có "đáy" tách rời khỏi "mặt bên" như hình trụ, hình nón.

Hình cầu bán kính $R$: diện tích MẶT cầu $S=4\pi R^2$, thể tích khối HÌNH cầu $V=\dfrac43\pi R^3$. Không có công thức \"$S_{xq}$\" hay "$S_{tp}$" riêng cho hình cầu — chỉ một diện tích duy nhất, vì mặt cầu không có "đáy" tách rời khỏi "mặt bên" như hình trụ, hình nón.

Ba hình — trụ, nón, cầu — mỗi hình có công thức riêng, nhưng trong đời sống hiếm khi một vật thể chỉ mang đúng một hình dạng cơ bản. Bồn chứa nước, silo lương thực, bình ga thường ghép nhiều hình lại với nhau. Bài tiếp theo học cách tính thể tích và diện tích của những khối ghép như vậy, bằng cách tách chúng về đúng ba công thức em vừa học.