Bài học

Ôn tập dạng bài tổng hợp thi vào lớp 10

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải trọn vẹn được một bài toán thực tế nhiều câu hỏi nhỏ về hình trụ, hình nón, hình cầu — đúng cấu trúc thường gặp ở câu hình học ứng dụng của đề tuyển sinh vào lớp 10, gồm cả bước tính toán và bước so sánh phương án bằng chi phí vật liệu.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài ôn tập tổng hợp này không thêm công thức nào mới — nó ghép lại toàn bộ những gì em đã học trong năm chương: công thức từng hình, kỹ năng dùng Pythagore tìm đại lượng còn thiếu, và chiến lược tách khối ghép của chương trước. Điểm mới duy nhất là cách một đề thi thật thường trình bày: MỘT bối cảnh thực tế, chia thành nhiều câu hỏi nhỏ (a), (b), (c), câu sau thường DÙNG LẠI kết quả câu trước.

Khởi động

Một đề tuyển sinh vào lớp 10 hiếm khi hỏi thẳng "tính thể tích hình trụ bán kính 5, chiều cao 10". Thay vào đó, đề thường kể một tình huống — một bồn chứa gạo, một chiếc phễu, một silo — rồi hỏi liên tiếp vài câu nhỏ: tính thể tích, tính diện tích vật liệu, rồi có khi hỏi luôn chi phí. Làm sao để không bị rối giữa nhiều câu hỏi trong cùng một bài?

Kiến thức trọng tâm

Với một bài toán tổng hợp nhiều câu, luôn xử lý THEO ĐÚNG THỨ TỰ đề cho — câu (b) rất hay cần kết quả vừa tính ở câu (a) (ví dụ câu (a) tính thể tích, câu (b) đổi thể tích đó ra khối lượng bằng khối lượng riêng, câu (c) tính giá tiền từ khối lượng). Đừng nhảy thẳng vào câu cuối. Một nguyên tắc trình bày quan trọng: giữ nguyên số thập phân dài của kết quả trung gian khi tính tiếp câu sau (đừng làm tròn quá sớm), và chỉ làm tròn ở đáp số cuối cùng theo đúng yêu cầu đề bài.

Câu hỏi so sánh chi phí giữa hai phương án thiết kế là dạng câu thường xuất hiện ở phần vận dụng cao của đề: hai thiết kế có thể tích chứa GẦN bằng nhau, nhưng diện tích bề mặt (và do đó chi phí vật liệu) lại khác nhau đáng kể — đây chính là điều một hình cầu "tiết kiệm vật liệu" hơn hình nón khi bọc cùng một phần trụ, vì diện tích mặt cầu nhỏ hơn diện tích xung quanh hình nón có cùng "độ che phủ" bán kính.

Phương án mái nón cần khoảng 16,48 m², phương án hai nắp cầu cần khoảng 25,12 m² — chênh lệch đáng kể dù cùng phần thân trụ.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Bài toán tổng hợp ba câu hỏi: bồn chứa gạo hình trụ có mái hình nón

1
Một bồn chứa gạo gồm thân hình trụ bán kính đáy 1 m, chiều cao 2 m, và mái hình nón cùng bán kính đáy, chiều cao 0.75 m. a) Tính thể tích bồn. b) Tính diện tích tôn cần dùng để lợp mái và bọc thân (không tính đáy giáp nền). c) Biết giá tôn là 200.000 đồng/m², tính số tiền cần chi để làm phần tôn đó.
2
$V=\pi r^2h_{trụ}+\dfrac13\pi r^2h_{nón}=\pi\cdot1^2\cdot2+\dfrac13\pi\cdot1^2\cdot0.75=2\pi+0.2500\pi\approx7,065$ m³.
$V=\pi r^2h_{trụ}+\dfrac13\pi r^2h_{nón}=\pi\cdot1^2\cdot2+\dfrac13\pi\cdot1^2\cdot0.75=2\pi+0.2500\pi\approx7,065$ m³.
3
$l=\sqrt{r^2+h_{nón}^2}=\sqrt{1^2+0.75^2}=1,25$ m. Diện tích cần dùng: $S=\pi rl+2\pi rh_{trụ}=\pi\cdot1\cdot1,25+2\pi\cdot1\cdot2\approx16,48$ m².
$l=\sqrt{r^2+h_{nón}^2}=\sqrt{1^2+0.75^2}=1,25$ m. Diện tích cần dùng: $S=\pi rl+2\pi rh_{trụ}=\pi\cdot1\cdot1,25+2\pi\cdot1\cdot2\approx16,48$ m².
4
Số tiền $=16,48\times200.000\approx3.297.000 đồng$ — chú ý câu này dùng LẠI nguyên kết quả diện tích của câu b, không tính lại từ đầu.
Số tiền $=16,48\times200.000\approx3.297.000 đồng$ — chú ý câu này dùng LẠI nguyên kết quả diện tích của câu b, không tính lại từ đầu.
5
Vậy bồn chứa khoảng 7,065 m³ gạo, cần khoảng 16,48 m² tôn, tốn khoảng 3.297.000 đồng.

Ví dụ

So sánh chi phí hai phương án thiết kế nắp bồn

1
Vẫn bồn chứa gạo ở ví dụ trên (thân trụ giữ nguyên), nhưng xét phương án khác: thay mái hình nón bằng hai nắp hình bán cầu cùng bán kính gắn ở hai đầu phần trụ. Phương án nào tốn ít tôn hơn?
2
Hai nửa hình cầu cùng bán kính ghép lại đúng bằng diện tích MỘT mặt cầu tròn đầy: $S=4\pi r^2+2\pi rh_{trụ}=4\pi\cdot1^2+2\pi\cdot1\cdot2\approx25,12$ m².
Hai nửa hình cầu cùng bán kính ghép lại đúng bằng diện tích MỘT mặt cầu tròn đầy: $S=4\pi r^2+2\pi rh_{trụ}=4\pi\cdot1^2+2\pi\cdot1\cdot2\approx25,12$ m².
3
Phương án mái nón (ví dụ trước): khoảng 16,48 m². Phương án hai nắp cầu: khoảng 25,12 m² — nhiều hơn đáng kể.
4
Chênh lệch diện tích: 8,64 m². Chi phí phương án hai nắp cầu: $25,12\times200.000\approx5.024.000 đồng$ , tốn hơn phương án mái nón khoảng 1.727.000 đồng.
Chênh lệch diện tích: 8,64 m². Chi phí phương án hai nắp cầu: $25,12\times200.000\approx5.024.000 đồng$, tốn hơn phương án mái nón khoảng 1.727.000 đồng.
5
Vậy với cùng phần thân trụ, phương án mái hình nón tiết kiệm vật liệu hơn phương án hai nắp hình bán cầu, dù cả hai đều là những cách hợp lý để "đậy kín" đầu bồn — đây chính là kiểu câu hỏi "lựa chọn phương án" hay xuất hiện ở phần vận dụng cao của đề tuyển sinh 10.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Trong một bài toán nhiều câu, lỗi nặng nhất là làm tròn kết quả câu (a) quá sớm rồi dùng số đã làm tròn đó cho câu (b), (c) — sai số nhỏ ở câu đầu bị khuếch đại dần qua các câu sau. Lỗi thứ hai: khi so sánh hai phương án, quên rằng "thể tích lớn hơn" và "diện tích bề mặt lớn hơn" là hai chuyện khác nhau — một phương án có thể chứa được nhiều hơn nhưng lại tốn ít vật liệu hơn, hoặc ngược lại, tuỳ vào hình dạng cụ thể.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một bài toán tổng hợp hình trụ, hình nón, hình cầu luôn giải theo cùng một trình tự: đọc kỹ từng câu nhỏ theo đúng thứ tự đề cho, dùng lại kết quả câu trước khi câu sau cần, giữ đủ số thập phân đến bước cuối, và khi so sánh phương án thì so sánh đúng đại lượng đề hỏi (thể tích hay diện tích) chứ không suy diễn đại lượng này từ đại lượng kia.

Vậy là khoá học đã đi trọn vẹn qua hình trụ, hình nón, hình nón cụt, hình cầu, và cách kết hợp chúng trong một bài toán thực tế nhiều câu hỏi. Kỹ năng đọc-hình và tách-khối em vừa luyện tập ở đây sẽ còn quay lại trong chương thống kê và xác suất tiếp theo, ở những bài toán mô hình hoá thực tế bằng số liệu.