Bài học

Hình nón

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em gọi đúng tên các yếu tố của hình nón (đáy, chiều cao, đường sinh), dùng định lí Pythagore để tìm yếu tố còn thiếu khi biết hai trong ba đại lượng $r$ , $h$ , $l$ , và tính được $S_{xq}$ , $S_{tp}$ , $V$ của hình nón.

Sau bài này, em gọi đúng tên các yếu tố của hình nón (đáy, chiều cao, đường sinh), dùng định lí Pythagore để tìm yếu tố còn thiếu khi biết hai trong ba đại lượng $r$, $h$, $l$, và tính được $S_{xq}$, $S_{tp}$, $V$ của hình nón.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã có công thức hình trụ: $S_{xq}=2\pi rh$ , $V=\pi r^2h$ . Bài này em cần thêm định lí Pythagore từ hệ thức lượng trong tam giác vuông (Course 7): trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Hình nón, khác với hình trụ, có mặt bên không thẳng đứng mà nghiêng về một đỉnh — chính độ nghiêng đó tạo ra một tam giác vuông ẩn bên trong hình, và định lí Pythagore là công cụ để khai thác tam giác đó.

Bài trước em đã có công thức hình trụ: $S_{xq}=2\pi rh$, $V=\pi r^2h$. Bài này em cần thêm định lí Pythagore từ hệ thức lượng trong tam giác vuông (Course 7): trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Hình nón, khác với hình trụ, có mặt bên không thẳng đứng mà nghiêng về một đỉnh — chính độ nghiêng đó tạo ra một tam giác vuông ẩn bên trong hình, và định lí Pythagore là công cụ để khai thác tam giác đó.

Khởi động

Một chiếc nón lá và một cây kem ốc quế đều có dạng hình nón — mặt bên nghiêng dần từ đáy lên đỉnh nhọn, chứ không thẳng đứng như hình trụ. Nếu chỉ đo được bán kính đáy và chiều cao của nón (khoảng cách từ đỉnh xuống tâm đáy), làm sao tính được độ dài mặt nghiêng — thứ quyết định lượng lá hay lượng vỏ bánh cần dùng?

Kiến thức trọng tâm

Hình nón được tạo ra khi quay một tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông của nó. Cạnh góc vuông làm trục chính là chiều cao $h$ (khoảng cách từ đỉnh đến tâm đáy); cạnh góc vuông còn lại quét ra đáy — hình tròn bán kính $r$ ; còn cạnh huyền quét ra mặt xung quanh, gọi là đường sinh $l$ . Vì $h$ , $r$ , $l$ chính là ba cạnh của một tam giác vuông, ta luôn có $l^2=r^2+h^2$ — biết hai trong ba đại lượng này, luôn tìm được đại lượng còn lại.

Hình nón được tạo ra khi quay một tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông của nó. Cạnh góc vuông làm trục chính là chiều cao $h$ (khoảng cách từ đỉnh đến tâm đáy); cạnh góc vuông còn lại quét ra đáy — hình tròn bán kính $r$; còn cạnh huyền quét ra mặt xung quanh, gọi là đường sinh $l$. Vì $h$, $r$, $l$ chính là ba cạnh của một tam giác vuông, ta luôn có $l^2=r^2+h^2$ — biết hai trong ba đại lượng này, luôn tìm được đại lượng còn lại.

Trải phẳng mặt xung quanh hình nón ra, ta được một hình quạt bán kính $l$ ; diện tích hình quạt đó là $S_{xq}=\pi rl$ . Diện tích toàn phần cộng thêm MỘT đáy tròn (hình nón chỉ có một đáy, khác hình trụ có hai): $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(l+r)$ . Thể tích hình nón bằng $\dfrac13$ thể tích hình trụ có cùng bán kính đáy và cùng chiều cao — đây là một kết quả cần công cụ tích phân để chứng minh chặt chẽ, ở lớp 9 em công nhận và vận dụng: $V=\dfrac13\pi r^2h$ .

Trải phẳng mặt xung quanh hình nón ra, ta được một hình quạt bán kính $l$; diện tích hình quạt đó là $S_{xq}=\pi rl$. Diện tích toàn phần cộng thêm MỘT đáy tròn (hình nón chỉ có một đáy, khác hình trụ có hai): $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(l+r)$. Thể tích hình nón bằng $\dfrac13$ thể tích hình trụ có cùng bán kính đáy và cùng chiều cao — đây là một kết quả cần công cụ tích phân để chứng minh chặt chẽ, ở lớp 9 em công nhận và vận dụng: $V=\dfrac13\pi r^2h$.

Có một cách hình dung trực quan, không cần chứng minh, để tin vào hệ số $\dfrac13$ này: nếu đổ đầy nước vào một hình nón rồi rót sang một hình trụ có cùng bán kính đáy và cùng chiều cao, phải rót đúng ba lần hình nón mới đầy hình trụ. Thí nghiệm này (dùng bộ dụng cụ đo thể tích trong phòng thực hành) là cách nhiều trường phổ thông giới thiệu công thức trước khi học sinh gặp chứng minh chặt chẽ hơn ở bậc học cao hơn. Ba đại lượng $r$ , $h$ , $l$ hầu như luôn xuất hiện theo cặp trong một đề bài — đề cho hai, hỏi đại lượng thứ ba, hoặc cho một đại lượng cùng một dữ kiện gián tiếp (diện tích, thể tích) rồi yêu cầu suy ngược lại — nên nắm chắc hệ thức Pythagore $l^2=r^2+h^2$ quan trọng không kém gì nắm chắc ba công thức diện tích, thể tích.

Có một cách hình dung trực quan, không cần chứng minh, để tin vào hệ số $\dfrac13$ này: nếu đổ đầy nước vào một hình nón rồi rót sang một hình trụ có cùng bán kính đáy và cùng chiều cao, phải rót đúng ba lần hình nón mới đầy hình trụ. Thí nghiệm này (dùng bộ dụng cụ đo thể tích trong phòng thực hành) là cách nhiều trường phổ thông giới thiệu công thức trước khi học sinh gặp chứng minh chặt chẽ hơn ở bậc học cao hơn. Ba đại lượng $r$, $h$, $l$ hầu như luôn xuất hiện theo cặp trong một đề bài — đề cho hai, hỏi đại lượng thứ ba, hoặc cho một đại lượng cùng một dữ kiện gián tiếp (diện tích, thể tích) rồi yêu cầu suy ngược lại — nên nắm chắc hệ thức Pythagore $l^2=r^2+h^2$ quan trọng không kém gì nắm chắc ba công thức diện tích, thể tích.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm chiều cao rồi tính Sxq, Stp, V của một hình nón

1
Một hình nón có bán kính đáy $r=6$ cm, đường sinh $l=10$ cm. Tính $S_{xq}$ , $S_{tp}$ , $V$ .
Một hình nón có bán kính đáy $r=6$ cm, đường sinh $l=10$ cm. Tính $S_{xq}$, $S_{tp}$, $V$.
2
Vì $l^2=r^2+h^2$ nên $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ cm.
Vì $l^2=r^2+h^2$ nên $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ cm.
3
$S_{xq}=\pi rl=\pi\cdot6\cdot10=60\pi\approx188,40$ cm².
$S_{xq}=\pi rl=\pi\cdot6\cdot10=60\pi\approx188,40$ cm².
4
$S_{tp}=S_{xq}+\pi r^2=60\pi+36\pi=96\pi\approx301,44$ cm².
$S_{tp}=S_{xq}+\pi r^2=60\pi+36\pi=96\pi\approx301,44$ cm².
5
$V=\dfrac13\pi r^2h=\dfrac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi\approx301,44$ cm³.
$V=\dfrac13\pi r^2h=\dfrac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi\approx301,44$ cm³.
6
Vậy chiều cao hình nón là 8 cm, $S_{xq}\approx188,40$ cm², $S_{tp}\approx301,44$ cm², $V\approx301,44$ cm³.
Vậy chiều cao hình nón là 8 cm, $S_{xq}\approx188,40$ cm², $S_{tp}\approx301,44$ cm², $V\approx301,44$ cm³.

Ví dụ

Diện tích lá làm một chiếc nón lá (dạng thi)

1
Một chiếc nón lá có bán kính vành nón 20 cm, đường sinh (từ đỉnh nón đến mép vành) 30 cm. Tính diện tích lá cần dùng để làm mặt xung quanh nón, coi lá phủ kín không hao hụt.
2
Mặt xung quanh nón chính là phần lá bao phủ, nên đề chỉ cần công thức $S_{xq}=\pi rl$ ; đường kính đáy không xuất hiện trực tiếp mà phải hiểu bán kính vành = bán kính đáy nón.
Mặt xung quanh nón chính là phần lá bao phủ, nên đề chỉ cần công thức $S_{xq}=\pi rl$; đường kính đáy không xuất hiện trực tiếp mà phải hiểu bán kính vành = bán kính đáy nón.
3
$S_{xq}=\pi rl=\pi\cdot20\cdot30=600\pi\approx1.884,00$ cm².
$S_{xq}=\pi rl=\pi\cdot20\cdot30=600\pi\approx1.884,00$ cm².
4
Vậy cần khoảng 1.884,00 cm² lá (xấp xỉ 0,1884 m²) để làm một chiếc nón, chưa kể phần lá hao hụt khi cắt ghép trong thực tế.

Ví dụ

Thể tích và diện tích xung quanh của một chiếc phễu

1
Một chiếc phễu hình nón có bán kính đáy 9 cm, chiều cao 12 cm. Tính thể tích phễu và diện tích xung quanh dùng để làm vỏ phễu.
2
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$ cm.
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$ cm.
3
$V=\dfrac13\pi r^2h=\dfrac13\pi\cdot81\cdot12=324\pi\approx1.017,36$ cm³.
$V=\dfrac13\pi r^2h=\dfrac13\pi\cdot81\cdot12=324\pi\approx1.017,36$ cm³.
4
$S_{xq}=\pi rl=\pi\cdot9\cdot15=135\pi\approx423,90$ cm².
$S_{xq}=\pi rl=\pi\cdot9\cdot15=135\pi\approx423,90$ cm².
5
Vậy phễu chứa được khoảng 1.017,36 cm³ chất lỏng và cần khoảng 423,90 cm² vật liệu để làm vỏ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nhầm chiều cao $h$ với đường sinh $l$ — hai đại lượng này CHỈ bằng nhau khi bán kính đáy bằng 0 (một hình suy biến không có thật). Đề cho $r$ và $l$ thì phải tính $h$ qua Pythagore trước khi dùng công thức thể tích, chứ không được thay thẳng $l$ vào chỗ của $h$ . Lỗi thứ hai: quên hệ số $\dfrac13$ khi tính thể tích hình nón, viết nhầm $V=\pi r^2h$ như hình trụ.

Nhiều bạn nhầm chiều cao $h$ với đường sinh $l$ — hai đại lượng này CHỈ bằng nhau khi bán kính đáy bằng 0 (một hình suy biến không có thật). Đề cho $r$ và $l$ thì phải tính $h$ qua Pythagore trước khi dùng công thức thể tích, chứ không được thay thẳng $l$ vào chỗ của $h$. Lỗi thứ hai: quên hệ số $\dfrac13$ khi tính thể tích hình nón, viết nhầm $V=\pi r^2h$ như hình trụ.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hình nón có bán kính đáy $r$ , chiều cao $h$ , đường sinh $l$ với $l^2=r^2+h^2$ : $S_{xq}=\pi rl$ , $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$ , $V=\dfrac13\pi r^2h$ — chỉ MỘT đáy trong $S_{tp}$ , và hệ số $\dfrac13$ trong thể tích so với hình trụ cùng đáy, cùng chiều cao.

Hình nón có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$, đường sinh $l$ với $l^2=r^2+h^2$: $S_{xq}=\pi rl$, $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$, $V=\dfrac13\pi r^2h$ — chỉ MỘT đáy trong $S_{tp}$, và hệ số $\dfrac13$ trong thể tích so với hình trụ cùng đáy, cùng chiều cao.

Nếu cắt bỏ phần chóp nhọn phía trên một hình nón bằng một mặt phẳng song song với đáy, phần còn lại không còn là hình nón nữa — nó có hai đáy tròn với hai bán kính khác nhau. Hình đó gọi là hình nón cụt, và là chủ đề của bài tiếp theo.