Bài học

Bài toán hai xe gặp nhau

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em thiết lập và giải được hệ hai phương trình vị trí của hai vật chuyển động thẳng đều để tìm thời điểm và vị trí chúng gặp nhau, kể cả khi một vật xuất phát trễ hơn vật kia.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã viết $x = x_0 + vt$ cho một vật (same-grade bridge). Bài này áp dụng đồng thời phương trình đó cho hai vật, trên cùng một trục toạ độ và cùng một gốc thời gian, để so sánh vị trí của chúng tại mọi thời điểm.

Khởi động

Hai xe xuất phát từ hai điểm khác nhau, đi ngược chiều nhau trên cùng một con đường thẳng. Làm sao biết chính xác chúng gặp nhau ở đâu và sau bao lâu, chỉ bằng phép tính, mà không cần đợi quan sát thực tế?

Kiến thức trọng tâm

Hai vật gặp nhau tại đúng thời điểm mà vị trí của chúng bằng nhau, tức là khi $x_1(t) = x_2(t)$ . Giải phương trình này để tìm $t$ , sau đó thay $t$ vừa tìm được vào một trong hai phương trình vị trí để tính vị trí gặp nhau. Nên thay ngược lại vào phương trình còn lại để kiểm tra, hai kết quả phải trùng nhau.

Nếu một vật xuất phát trễ hơn vật kia một khoảng thời gian $\Delta t_0$ tính từ mốc thời gian chung, phương trình vị trí của vật đó chỉ có hiệu lực kể từ lúc nó thực sự xuất phát: thay vì dùng $t$ , ta dùng $(t - \Delta t_0)$ làm biến thời gian riêng của vật đó trong phương trình, và sau khi giải ra $t$ , luôn phải kiểm tra $t \geq \Delta t_0$ thì nghiệm mới có ý nghĩa vật lí.

Bài toán hai vật thường xuất hiện dưới hai dạng, và việc nhận ra đúng dạng giúp em đặt phương trình chính xác ngay từ đầu. Dạng thứ nhất là hai vật đi ngược chiều nhau (một vật mang vận tốc dương, vật kia mang vận tốc âm theo cùng một chiều dương đã chọn) — khoảng cách giữa chúng luôn giảm dần cho đến khi bằng 0, đó là lúc gặp nhau, giống ví dụ hai xe A và B ở trên. Dạng thứ hai là một vật đuổi theo vật kia (cả hai cùng đi một chiều, nhưng vật phía sau có vận tốc lớn hơn) — khoảng cách giữa chúng cũng giảm dần, và thời điểm "đuổi kịp" chính là thời điểm vị trí bằng nhau, hoàn toàn dùng chung một điều kiện $x_1(t)=x_2(t)$ như dạng đối đầu, chỉ khác ở dấu vận tốc mà thôi.

Một lưu ý quan trọng cho dạng đuổi kịp: nếu vật đi sau có vận tốc nhỏ hơn hoặc bằng vật đi trước, khoảng cách giữa chúng sẽ không bao giờ giảm về 0, và phương trình $x_1(t)=x_2(t)$ sẽ vô nghiệm hoặc chỉ cho nghiệm $t=0$ — đó là dấu hiệu cho biết vật đi sau không thể đuổi kịp vật đi trước, một kết luận vật lí hoàn toàn hợp lệ, không phải một lỗi tính toán.

Để giải bài toán hai vật gặp nhau, trước tiên phải chọn một gốc toạ độ $O$ và một chiều dương DÙNG CHUNG cho cả hai vật — nếu mỗi vật lấy một gốc khác nhau, hai phương trình sẽ không thể so sánh trực tiếp với nhau được. Sau đó viết phương trình vị trí của từng vật theo đúng vị trí xuất phát $x_0$ và vận tốc $v$ (có dấu theo chiều dương chung đó) của riêng vật đó: $x_1(t) = x_{01} + v_1 t$ và $x_2(t) = x_{02} + v_2 t$. Hai vật gặp nhau tại đúng thời điểm mà vị trí của chúng bằng nhau, tức là khi $x_1(t) = x_2(t)$. Giải phương trình này để tìm $t$, sau đó thay $t$ vừa tìm được vào một trong hai phương trình vị trí để tính vị trí gặp nhau. Nên thay ngược lại vào phương trình còn lại để kiểm tra, hai kết quả phải trùng nhau. Nếu một vật xuất phát trễ hơn vật kia một khoảng thời gian $\Delta t_0$ tính từ mốc thời gian chung, phương trình vị trí của vật đó chỉ có hiệu lực kể từ lúc nó thực sự xuất phát: thay vì dùng $t$, ta dùng $(t - \Delta t_0)$ làm biến thời gian riêng của vật đó trong phương trình, và sau khi giải ra $t$, luôn phải kiểm tra $t \geq \Delta t_0$ thì nghiệm mới có ý nghĩa vật lí. Bài toán hai vật thường xuất hiện dưới hai dạng, và việc nhận ra đúng dạng giúp em đặt phương trình chính xác ngay từ đầu. Dạng thứ nhất là hai vật đi ngược chiều nhau (một vật mang vận tốc dương, vật kia mang vận tốc âm theo cùng một chiều dương đã chọn) — khoảng cách giữa chúng luôn giảm dần cho đến khi bằng 0, đó là lúc gặp nhau, giống ví dụ hai xe A và B ở trên. Dạng thứ hai là một vật đuổi theo vật kia (cả hai cùng đi một chiều, nhưng vật phía sau có vận tốc lớn hơn) — khoảng cách giữa chúng cũng giảm dần, và thời điểm "đuổi kịp" chính là thời điểm vị trí bằng nhau, hoàn toàn dùng chung một điều kiện $x_1(t)=x_2(t)$ như dạng đối đầu, chỉ khác ở dấu vận tốc mà thôi. Một lưu ý quan trọng cho dạng đuổi kịp: nếu vật đi sau có vận tốc nhỏ hơn hoặc bằng vật đi trước, khoảng cách giữa chúng sẽ không bao giờ giảm về 0, và phương trình $x_1(t)=x_2(t)$ sẽ vô nghiệm hoặc chỉ cho nghiệm $t=0$ — đó là dấu hiệu cho biết vật đi sau không thể đuổi kịp vật đi trước, một kết luận vật lí hoàn toàn hợp lệ, không phải một lỗi tính toán.

Giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của

x_A(t) = x_B(t)

: hai xe gặp nhau lúc t = 1 h, tại vị trí cách O 40 km.Giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của $x_A(t) = x_B(t)$: hai xe gặp nhau lúc t = 1 h, tại vị trí cách O 40 km.

Ví dụ

Hai xe xuất phát cùng lúc, đi ngược chiều nhau

1
Xe $A$ xuất phát từ điểm $O$ lúc $t=0$ , chuyển động thẳng đều với $v_A = 40$ km/h về phía đông. Cùng lúc đó, xe $B$ xuất phát từ một điểm cách $O$ 100 km về phía đông, chuyển động thẳng đều với $v_B = 60$ km/h về phía tây. Tìm thời điểm và vị trí hai xe gặp nhau.
Xe $A$ xuất phát từ điểm $O$ lúc $t=0$, chuyển động thẳng đều với $v_A = 40$ km/h về phía đông. Cùng lúc đó, xe $B$ xuất phát từ một điểm cách $O$ 100 km về phía đông, chuyển động thẳng đều với $v_B = 60$ km/h về phía tây. Tìm thời điểm và vị trí hai xe gặp nhau.
2
Chọn gốc toạ độ $O$ tại vị trí xuất phát của xe $A$ , chiều dương hướng đông. Xe $A$ đi theo chiều dương: $x_A(t) = 40t$ . Xe $B$ xuất phát ở toạ độ 100 km và đi theo chiều tây (ngược chiều dương) nên vận tốc mang dấu âm: $x_B(t) = 100 - 60t$ .
Chọn gốc toạ độ $O$ tại vị trí xuất phát của xe $A$, chiều dương hướng đông. Xe $A$ đi theo chiều dương: $x_A(t) = 40t$. Xe $B$ xuất phát ở toạ độ 100 km và đi theo chiều tây (ngược chiều dương) nên vận tốc mang dấu âm: $x_B(t) = 100 - 60t$.
3
Hai xe gặp nhau khi $x_A(t) = x_B(t)$ : $40t = 100 - 60t$ . (1)
Hai xe gặp nhau khi $x_A(t) = x_B(t)$: $40t = 100 - 60t$. (1)
4
Từ (1): $40t + 60t = 100 \Rightarrow 100t = 100 \Rightarrow t = 1$ (giờ).
Từ (1): $40t + 60t = 100 \Rightarrow 100t = 100 \Rightarrow t = 1$ (giờ).
5
Thay $t=1$ vào $x_A$ : $x = 40 \times 1 = 40$ km. Kiểm tra bằng $x_B$ : $100 - 60 \times 1 = 40$ km, trùng khớp (TMĐK). Vị trí gặp nhau (40 km) cũng nằm trong khoảng từ 0 đến 100 km, đúng như kỳ vọng vì hai xe xuất phát từ hai đầu của chính đoạn đường đó và đi về phía nhau nên điểm gặp chắc chắn phải nằm ở giữa hai điểm xuất phát.
Thay $t=1$ vào $x_A$: $x = 40 \times 1 = 40$ km. Kiểm tra bằng $x_B$: $100 - 60 \times 1 = 40$ km, trùng khớp (TMĐK). Vị trí gặp nhau (40 km) cũng nằm trong khoảng từ 0 đến 100 km, đúng như kỳ vọng vì hai xe xuất phát từ hai đầu của chính đoạn đường đó và đi về phía nhau nên điểm gặp chắc chắn phải nằm ở giữa hai điểm xuất phát.
6
Vậy hai xe gặp nhau sau 1 giờ, tại vị trí cách $O$ 40 km về phía đông.
Vậy hai xe gặp nhau sau 1 giờ, tại vị trí cách $O$ 40 km về phía đông.

Ví dụ

Xe xuất phát trễ đuổi kịp xe đi trước (dạng đề thi)

1
Xe máy xuất phát từ $A$ lúc 7:00, đi về phía $B$ với vận tốc không đổi 35 km/h. Ô tô xuất phát từ $A$ muộn hơn 30 phút (tức 7:30), cùng đi về phía $B$ với vận tốc không đổi 60 km/h. Hỏi ô tô đuổi kịp xe máy lúc mấy giờ, và vị trí gặp nhau cách $A$ bao xa?
Xe máy xuất phát từ $A$ lúc 7:00, đi về phía $B$ với vận tốc không đổi 35 km/h. Ô tô xuất phát từ $A$ muộn hơn 30 phút (tức 7:30), cùng đi về phía $B$ với vận tốc không đổi 60 km/h. Hỏi ô tô đuổi kịp xe máy lúc mấy giờ, và vị trí gặp nhau cách $A$ bao xa?
2
Chọn gốc $O$ tại $A$ , chiều dương theo hướng $A \to B$ , mốc thời gian $t=0$ ứng với 7:00. Xe máy xuất phát ngay từ $t=0$ : $x_{xm}(t) = 35t$ .
Chọn gốc $O$ tại $A$, chiều dương theo hướng $A \to B$, mốc thời gian $t=0$ ứng với 7:00. Xe máy xuất phát ngay từ $t=0$: $x_{xm}(t) = 35t$.
3
Ô tô xuất phát trễ $\Delta t_0 = 0{,}5$ h nên chỉ chuyển động từ $t \geq 0{,}5$ h: $x_{ot}(t) = 60(t - 0{,}5)$ .
Ô tô xuất phát trễ $\Delta t_0 = 0{,}5$ h nên chỉ chuyển động từ $t \geq 0{,}5$ h: $x_{ot}(t) = 60(t - 0{,}5)$.
4
Ô tô đuổi kịp xe máy khi $x_{xm}(t) = x_{ot}(t)$ : $35t = 60(t - 0{,}5)$ . (1)
Ô tô đuổi kịp xe máy khi $x_{xm}(t) = x_{ot}(t)$: $35t = 60(t - 0{,}5)$. (1)
5
Từ (1): $35t = 60t - 30 \Rightarrow 30 = 25t \Rightarrow t = 1{,}2$ (giờ).
Từ (1): $35t = 60t - 30 \Rightarrow 30 = 25t \Rightarrow t = 1{,}2$ (giờ).
6
$t = 1{,}2$ h $> 0{,}5$ h nên ô tô đã thực sự xuất phát khi gặp nhau (TMĐK). Thay vào $x_{xm}$ : $x = 35 \times 1{,}2 = 42$ km.
$t = 1{,}2$ h $> 0{,}5$ h nên ô tô đã thực sự xuất phát khi gặp nhau (TMĐK). Thay vào $x_{xm}$: $x = 35 \times 1{,}2 = 42$ km.
7
Thay $t=1{,}2$ vào $x_{ot}(t)=60(t-0{,}5)$ : $x=60\times(1{,}2-0{,}5)=60\times0{,}7=42$ km — trùng khớp với vị trí tính từ phương trình xe máy, xác nhận nghiệm đúng. Nếu hai cách tính ra hai vị trí khác nhau, chắc chắn có sai sót ở một trong hai phương trình hoặc ở bước giải, và cần rà soát lại từ đầu trước khi kết luận.
Thay $t=1{,}2$ vào $x_{ot}(t)=60(t-0{,}5)$: $x=60\times(1{,}2-0{,}5)=60\times0{,}7=42$ km — trùng khớp với vị trí tính từ phương trình xe máy, xác nhận nghiệm đúng. Nếu hai cách tính ra hai vị trí khác nhau, chắc chắn có sai sót ở một trong hai phương trình hoặc ở bước giải, và cần rà soát lại từ đầu trước khi kết luận.
8
Vậy ô tô đuổi kịp xe máy sau 1,2 giờ kể từ 7:00, tức là lúc $8{:}12$ , tại vị trí cách $A$ 42 km.
Vậy ô tô đuổi kịp xe máy sau 1,2 giờ kể từ 7:00, tức là lúc $8{:}12$, tại vị trí cách $A$ 42 km.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất là dùng biến thời gian $t$ giống hệt nhau cho cả hai xe mà quên trừ đi khoảng thời gian xuất phát trễ của xe đến sau. Một lỗi khác là quên kiểm tra điều kiện $t$ tìm được có thoả mãn thực tế hay không (ví dụ $t$ phải lớn hơn thời điểm xe thứ hai thực sự xuất phát) — nếu nghiệm không thoả điều kiện đó, đáp số chưa có ý nghĩa vật lí và cần xem lại đề hoặc cách thiết lập phương trình.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hai vật gặp nhau khi $x_1(t) = x_2(t)$ trên cùng một trục toạ độ, cùng một mốc thời gian. Xe xuất phát trễ dùng $(t - \Delta t_0)$ trong phương trình riêng của nó. Luôn kiểm tra nghiệm $t$ có thoả điều kiện thực tế trước khi kết luận.

Bài ôn tập tiếp theo ghép lại toàn bộ công cụ của chương này — quãng đường, độ dịch chuyển, vận tốc, đồ thị và phương trình — vào những bài toán tổng hợp đúng kiểu đề kiểm tra giữa kì.