Bài học

Hệ kín và định luật bảo toàn động lượng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận biết được khi nào một hệ vật là hệ kín (hệ cô lập), phát biểu được định luật bảo toàn động lượng, và vận dụng được định luật này để tính vận tốc của các vật sau khi va chạm hoặc tách nhau.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước em đã biết tính động lượng $p = m \cdot v$ của một vật và định lý biến thiên động lượng $\Delta p = F \cdot \Delta t$ . Bài này dùng lại định luật III Newton (chương Động lực học, cùng lớp 10): khi hai vật tương tác, lực chúng tác dụng lên nhau là một cặp lực trực đối — cùng độ lớn, ngược hướng.

Hai bài trước em đã biết tính động lượng $p = m \cdot v$ của một vật và định lý biến thiên động lượng $\Delta p = F \cdot \Delta t$. Bài này dùng lại định luật III Newton (chương Động lực học, cùng lớp 10): khi hai vật tương tác, lực chúng tác dụng lên nhau là một cặp lực trực đối — cùng độ lớn, ngược hướng.

Khởi động

Hai xe lăn nhỏ đặt trên đường ray không ma sát: xe A đang chuyển động, xe B đứng yên. Chúng va vào nhau rồi dính lại. Không cần thước đo tốc độ chi tiết trong lúc va chạm, làm sao vẫn tính được vận tốc chung sau va chạm chỉ từ khối lượng và vận tốc ban đầu?

Kiến thức trọng tâm

Một hệ kín (hay hệ cô lập) là hệ mà tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0 — hoặc không chịu ngoại lực nào đáng kể (ví dụ: bỏ qua ma sát, bỏ qua lực cản không khí trong thời gian rất ngắn). Bên trong một hệ kín, các vật có thể tương tác với nhau bằng nội lực (như lực va chạm), nhưng theo định luật III Newton, mỗi cặp nội lực luôn trực đối nên tổng của chúng bằng 0 — nội lực không làm thay đổi tổng động lượng của cả hệ.

Từ đó ta có định luật bảo toàn động lượng: trong một hệ kín, tổng động lượng của hệ được bảo toàn — không đổi theo thời gian, dù các vật bên trong hệ có tương tác với nhau như thế nào. Với hệ hai vật chuyển động trên một đường thẳng, hệ thức viết là $m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$ , trong đó $v_1, v_2$ là vận tốc trước, $v_1', v_2'$ là vận tốc sau (đều có dấu theo chiều dương đã chọn).

Quay lại tình huống khởi động: gọi $v$ là vận tốc chung của hai xe sau va chạm. Vì đường ray không ma sát nên hệ (xe A + xe B) là hệ kín, tổng động lượng trước bằng tổng động lượng sau — từ đó tính được $v$ mà không cần biết chi tiết lực va chạm diễn ra thế nào trong khoảnh khắc va chạm.

Một **hệ kín** (hay hệ cô lập) là hệ mà tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0 — hoặc không chịu ngoại lực nào đáng kể (ví dụ: bỏ qua ma sát, bỏ qua lực cản không khí trong thời gian rất ngắn). Bên trong một hệ kín, các vật có thể tương tác với nhau bằng nội lực (như lực va chạm), nhưng theo định luật III Newton, mỗi cặp nội lực luôn trực đối nên tổng của chúng bằng 0 — nội lực không làm thay đổi tổng động lượng của cả hệ. Từ đó ta có **định luật bảo toàn động lượng**: trong một hệ kín, tổng động lượng của hệ được bảo toàn — không đổi theo thời gian, dù các vật bên trong hệ có tương tác với nhau như thế nào. Với hệ hai vật chuyển động trên một đường thẳng, hệ thức viết là $m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$, trong đó $v_1, v_2$ là vận tốc trước, $v_1', v_2'$ là vận tốc sau (đều có dấu theo chiều dương đã chọn). Quay lại tình huống khởi động: gọi $v$ là vận tốc chung của hai xe sau va chạm. Vì đường ray không ma sát nên hệ (xe A + xe B) là hệ kín, tổng động lượng trước bằng tổng động lượng sau — từ đó tính được $v$ mà không cần biết chi tiết lực va chạm diễn ra thế nào trong khoảnh khắc va chạm.

Ví dụ

Hai xe lăn va chạm và dính vào nhau

1
Một xe lăn khối lượng 2kg đang chuyển động với tốc độ 3m/s trên đường ray thẳng, không ma sát, va chạm và dính vào một xe lăn khác đang đứng yên có khối lượng 1kg. Sau va chạm, hai xe dính vào nhau và chuyển động cùng vận tốc. Tính vận tốc chung của hai xe sau va chạm.
2
Đường ray không ma sát nên hệ hai xe là hệ kín. Áp dụng bảo toàn động lượng $m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v$ .
Đường ray không ma sát nên hệ hai xe là hệ kín. Áp dụng bảo toàn động lượng $m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v$.
3
Ta có $m_1 = 2kg$ , $v_1 = 3m/s$ , $m_2 = 1kg$ , $v_2 = 0$ (đứng yên). Động lượng trước va chạm: $p_{trước} = m_1v_1 + m_2v_2 = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 0 = 6 (kg.m/s)$ . (1) Sau va chạm, hai xe dính nhau: $p_{sau} = (m_1+m_2)v = 3v$ . (2) Bảo toàn động lượng, từ (1) và (2): $3v = 6 \Rightarrow v = 2 (m/s)$ .
Ta có $m_1 = 2kg$, $v_1 = 3m/s$, $m_2 = 1kg$, $v_2 = 0$ (đứng yên). Động lượng trước va chạm: $p_{trước} = m_1v_1 + m_2v_2 = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 0 = 6 (kg.m/s)$. (1) Sau va chạm, hai xe dính nhau: $p_{sau} = (m_1+m_2)v = 3v$. (2) Bảo toàn động lượng, từ (1) và (2): $3v = 6 \Rightarrow v = 2 (m/s)$.
4
Vận tốc chung 2m/s nhỏ hơn vận tốc ban đầu 3m/s của xe A — hợp lí vì khối lượng hệ tăng lên (thêm xe B) nên phải chuyển động chậm lại để giữ nguyên tổng động lượng.
5
Vậy vận tốc chung của hai xe sau va chạm là $v = 2m/s$ , cùng chiều với xe A ban đầu.
Vậy vận tốc chung của hai xe sau va chạm là $v = 2m/s$, cùng chiều với xe A ban đầu.

Ví dụ

Người nhảy khỏi thuyền — hệ ban đầu đứng yên

1
Một người khối lượng 50kg đứng yên trên một chiếc thuyền khối lượng 100kg đang đứng yên trên mặt hồ lặng gió (bỏ qua lực cản của nước). Người đó nhảy khỏi thuyền theo phương ngang với tốc độ 2m/s (so với bờ) về phía trước. Tính tốc độ của thuyền ngay sau khi người nhảy (so với bờ).
2
Hệ (người + thuyền) ban đầu đứng yên nên tổng động lượng ban đầu bằng 0. Bỏ qua lực cản của nước nên hệ là hệ kín theo phương ngang, áp dụng bảo toàn động lượng.
3
Chọn chiều dương là chiều người nhảy tới. Trước khi nhảy, cả hệ đứng yên: $p_{trước} = 0$ . (1) Sau khi nhảy: $p_{người} = 50 \cdot 2 = 100 (kg.m/s)$ , $p_{thuyền} = 100 \cdot v_{thuyền}$ . Bảo toàn động lượng: $p_{người} + p_{thuyền} = 0 \Rightarrow 100 + 100v_{thuyền} = 0 \Rightarrow v_{thuyền} = -1 (m/s)$ . (2)
Chọn chiều dương là chiều người nhảy tới. Trước khi nhảy, cả hệ đứng yên: $p_{trước} = 0$. (1) Sau khi nhảy: $p_{người} = 50 \cdot 2 = 100 (kg.m/s)$, $p_{thuyền} = 100 \cdot v_{thuyền}$. Bảo toàn động lượng: $p_{người} + p_{thuyền} = 0 \Rightarrow 100 + 100v_{thuyền} = 0 \Rightarrow v_{thuyền} = -1 (m/s)$. (2)
4
Dấu âm ở (2) cho biết thuyền chuyển động ngược chiều với người nhảy — đúng với trực giác: người nhảy về phía trước thì thuyền bị đẩy giật lùi về phía sau.
5
Vậy ngay sau khi người nhảy, thuyền trượt giật lùi với tốc độ 1m/s, ngược chiều với hướng người nhảy.

Ví dụ

Hai xe chuyển động ngược chiều rồi dính vào nhau (dạng thi)

1
Hai xe lăn A và B chuyển động ngược chiều nhau trên cùng một đường ray nằm ngang không ma sát rồi va chạm và dính vào nhau. Xe A có khối lượng 3kg, tốc độ 4m/s; xe B có khối lượng 2kg, tốc độ 3m/s (ngược chiều xe A). Tính độ lớn và hướng vận tốc của hai xe sau va chạm.
2
Chọn chiều dương là chiều chuyển động ban đầu của xe A, khi đó vận tốc xe B mang dấu âm. Áp dụng bảo toàn động lượng cho hệ kín.
3
Ta có $v_A = +4m/s$ , $v_B = -3m/s$ (ngược chiều A). Động lượng trước va chạm: $p_{trước} = m_Av_A + m_Bv_B = 3 \cdot 4 + 2 \cdot (-3) = 12 - 6 = 6 (kg.m/s)$ . (1) Sau va chạm, hai xe dính nhau: $p_{sau} = (m_A+m_B)v = 5v$ . (2) Từ (1) và (2): $5v = 6 \Rightarrow v = 1,2 (m/s)$ .
Ta có $v_A = +4m/s$, $v_B = -3m/s$ (ngược chiều A). Động lượng trước va chạm: $p_{trước} = m_Av_A + m_Bv_B = 3 \cdot 4 + 2 \cdot (-3) = 12 - 6 = 6 (kg.m/s)$. (1) Sau va chạm, hai xe dính nhau: $p_{sau} = (m_A+m_B)v = 5v$. (2) Từ (1) và (2): $5v = 6 \Rightarrow v = 1,2 (m/s)$.
4
Kết quả v dương, tức là cùng chiều dương đã chọn (chiều xe A ban đầu) — hợp lí vì động lượng ban đầu của xe A (12kg.m/s) lớn hơn động lượng ngược chiều của xe B (6kg.m/s), nên hệ vẫn 'thắng thế' theo chiều A.
5
Vậy sau va chạm, hai xe dính nhau chuyển động với tốc độ 1,2m/s theo chiều ban đầu của xe A.

Ví dụ

Kiểm tra một lời giải bằng cách tính lại động lượng hai vế

1
Hai xe lăn trên đường ray không ma sát: xe 4kg chuyển động với tốc độ 5m/s va vào xe 2kg đứng yên rồi hai xe dính lại. Một bạn học sinh tính ra vận tốc chung là 10m/s. Bằng cách tính lại động lượng trước và sau, hãy kiểm tra bạn đó đúng hay sai, và tìm đáp số đúng nếu bạn sai.
2
Cách kiểm tra nhanh nhất một đáp số bảo toàn động lượng: thay đáp số vào để tính $p_{sau}$ , rồi so sánh với $p_{trước}$ đã tính từ đề bài — nếu không khớp, đáp số sai.
Cách kiểm tra nhanh nhất một đáp số bảo toàn động lượng: thay đáp số vào để tính $p_{sau}$, rồi so sánh với $p_{trước}$ đã tính từ đề bài — nếu không khớp, đáp số sai.
3
Động lượng trước va chạm: $p_{trước} = 4 \cdot 5 = 20 (kg.m/s)$ . (1) Nếu $v=10m/s$ như bạn tính, thì $p_{sau} = (4+2) \cdot 10 = 60 (kg.m/s)$ . (2) Từ (1) và (2), $60 \ne 20$ — bạn đó tính SAI. Giải lại đúng: $(4+2)v = 20 \Rightarrow v = \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3} \approx 3,33 (m/s)$ .
Động lượng trước va chạm: $p_{trước} = 4 \cdot 5 = 20 (kg.m/s)$. (1) Nếu $v=10m/s$ như bạn tính, thì $p_{sau} = (4+2) \cdot 10 = 60 (kg.m/s)$. (2) Từ (1) và (2), $60 \ne 20$ — bạn đó tính SAI. Giải lại đúng: $(4+2)v = 20 \Rightarrow v = \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3} \approx 3,33 (m/s)$.
4
Đây là cách tự kiểm tra bài làm rất hiệu quả: sau khi ra đáp số, thay ngược lại vào để tính $p_{sau}$ ; nếu không bằng $p_{trước}$ đã tính từ đề, chắc chắn có lỗi tính toán ở đâu đó.
Đây là cách tự kiểm tra bài làm rất hiệu quả: sau khi ra đáp số, thay ngược lại vào để tính $p_{sau}$; nếu không bằng $p_{trước}$ đã tính từ đề, chắc chắn có lỗi tính toán ở đâu đó.
5
Vậy đáp số 10m/s của bạn học sinh là SAI; vận tốc chung đúng là $v = \dfrac{10}{3} \approx 3,33 (m/s)$ .
Vậy đáp số 10m/s của bạn học sinh là SAI; vận tốc chung đúng là $v = \dfrac{10}{3} \approx 3,33 (m/s)$.

Sai lầm thường gặp

Nhiều em áp dụng bảo toàn động lượng mà quên kiểm tra hệ có phải hệ kín hay không — ví dụ hệ có ma sát lớn hoặc đang chịu lực đẩy liên tục từ động cơ thì định luật bảo toàn động lượng KHÔNG áp dụng được nguyên vẹn. Luôn hỏi 'có ngoại lực đáng kể nào không' trước khi viết phương trình bảo toàn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hệ kín: tổng ngoại lực bằng 0. Trong hệ kín, tổng động lượng bảo toàn: $m_1v_1+m_2v_2 = m_1v_1'+m_2v_2'$ . Luôn kiểm tra hệ có kín hay không trước khi áp dụng, và chọn một chiều dương chung cho mọi vật.

Hệ kín: tổng ngoại lực bằng 0. Trong hệ kín, tổng động lượng bảo toàn: $m_1v_1+m_2v_2 = m_1v_1'+m_2v_2'$. Luôn kiểm tra hệ có kín hay không trước khi áp dụng, và chọn một chiều dương chung cho mọi vật.

Bài tiếp theo luyện thêm các bài toán bảo toàn động lượng phức tạp hơn — vật đứng yên nổ tách thành nhiều mảnh, súng giật lùi — trước khi bước sang phân loại các kiểu va chạm cụ thể.