Bài học

Va chạm đàn hồi

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân biệt được va chạm đàn hồi với va chạm mềm, viết được đồng thời hai phương trình bảo toàn (động lượng và động năng) cho va chạm đàn hồi trực diện trên một đường thẳng, và giải được hệ hai phương trình đó để tìm vận tốc của hai vật sau va chạm.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã học va chạm mềm — hai vật dính vào nhau, chỉ động lượng bảo toàn còn động năng thì giảm. Bài này xét kiểu va chạm còn lại: hai vật tách rời sau va chạm, và điều đặc biệt là cả động lượng LẪN động năng đều được bảo toàn. Em cũng cần dùng lại kỹ năng giải hệ hai phương trình đã quen thuộc từ môn Toán.

Khởi động

Hai viên bi-a va chạm trực diện trên bàn: viên đang lăn tới đập vào viên đang đứng yên rồi cả hai tách rời nhau, không dính lại. Nếu đo kỹ, em sẽ thấy động năng của cả hệ trước và sau va chạm gần như bằng nhau — khác hẳn va chạm mềm ở bài trước. Vì sao lại có sự khác biệt này?

Kiến thức trọng tâm

Va chạm đàn hồi (va chạm đàn hồi trực diện, khi hai vật chuyển động trên cùng một đường thẳng) là va chạm mà sau khi tương tác, hai vật tách rời nhau và chuyển động với vận tốc riêng — không dính vào nhau như va chạm mềm. Điều làm nên tên gọi 'đàn hồi': trong quá trình va chạm, hai vật biến dạng đàn hồi rồi trở lại hình dạng ban đầu, gần như không mất năng lượng dưới dạng nhiệt hay âm thanh. Vì vậy va chạm đàn hồi có tính chất đặc biệt: CẢ động lượng LẪN động năng của hệ đều được bảo toàn.

Với hệ hai vật khối lượng $m_1, m_2$ , vận tốc trước va chạm $v_1, v_2$ và sau va chạm $v_1', v_2'$ , ta viết đồng thời hai phương trình: bảo toàn động lượng $m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$ , và bảo toàn động năng $\dfrac{1}{2}m_1v_1^2 + \dfrac{1}{2}m_2v_2^2 = \dfrac{1}{2}m_1v_1'^2 + \dfrac{1}{2}m_2v_2'^2$ . Đây là một hệ hai phương trình với hai ẩn số $v_1'$ và $v_2'$ — khác hẳn va chạm mềm chỉ có MỘT ẩn số (vận tốc chung).

Giải hệ này thường dẫn tới một phương trình bậc hai với HAI nghiệm. Một trong hai nghiệm luôn là nghiệm 'tầm thường' — ứng với trường hợp hai vật giữ nguyên vận tốc ban đầu, tức là KHÔNG hề va chạm. Nghiệm này thoả mãn cả hai phương trình một cách hiển nhiên (vì trước = sau) nhưng vô nghĩa về mặt vật lí trong một bài toán có va chạm thật sự xảy ra. Kỹ năng quan trọng nhất của bài học này là loại bỏ đúng nghiệm tầm thường đó và chọn nghiệm còn lại làm đáp án.

**Va chạm đàn hồi** (va chạm đàn hồi trực diện, khi hai vật chuyển động trên cùng một đường thẳng) là va chạm mà sau khi tương tác, hai vật tách rời nhau và chuyển động với vận tốc riêng — không dính vào nhau như va chạm mềm. Điều làm nên tên gọi 'đàn hồi': trong quá trình va chạm, hai vật biến dạng đàn hồi rồi trở lại hình dạng ban đầu, gần như không mất năng lượng dưới dạng nhiệt hay âm thanh. Vì vậy va chạm đàn hồi có tính chất đặc biệt: CẢ động lượng LẪN động năng của hệ đều được bảo toàn. Với hệ hai vật khối lượng $m_1, m_2$, vận tốc trước va chạm $v_1, v_2$ và sau va chạm $v_1', v_2'$, ta viết đồng thời hai phương trình: bảo toàn động lượng $m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$, và bảo toàn động năng $\dfrac{1}{2}m_1v_1^2 + \dfrac{1}{2}m_2v_2^2 = \dfrac{1}{2}m_1v_1'^2 + \dfrac{1}{2}m_2v_2'^2$. Đây là một hệ hai phương trình với hai ẩn số $v_1'$ và $v_2'$ — khác hẳn va chạm mềm chỉ có MỘT ẩn số (vận tốc chung). Giải hệ này thường dẫn tới một phương trình bậc hai với HAI nghiệm. Một trong hai nghiệm luôn là nghiệm 'tầm thường' — ứng với trường hợp hai vật giữ nguyên vận tốc ban đầu, tức là KHÔNG hề va chạm. Nghiệm này thoả mãn cả hai phương trình một cách hiển nhiên (vì trước = sau) nhưng vô nghĩa về mặt vật lí trong một bài toán có va chạm thật sự xảy ra. Kỹ năng quan trọng nhất của bài học này là loại bỏ đúng nghiệm tầm thường đó và chọn nghiệm còn lại làm đáp án.

Ví dụ

Va chạm đàn hồi giữa hai vật cùng khối lượng

1
Một viên bi khối lượng 1kg chuyển động với tốc độ 4m/s đến va chạm đàn hồi trực diện với một viên bi khác cùng khối lượng 1kg đang đứng yên. Tính vận tốc của mỗi viên bi ngay sau va chạm.
2
Viết đồng thời hai phương trình bảo toàn động lượng và bảo toàn động năng cho hệ hai viên bi, với $m_1=m_2=1kg$ .
Viết đồng thời hai phương trình bảo toàn động lượng và bảo toàn động năng cho hệ hai viên bi, với $m_1=m_2=1kg$.
3
Bảo toàn động lượng: $1 \cdot 4 + 1 \cdot 0 = v_1' + v_2' \Rightarrow v_1' + v_2' = 4$ . (1) Bảo toàn động năng: $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4^2 = \dfrac{1}{2}v_1'^2 + \dfrac{1}{2}v_2'^2 \Rightarrow v_1'^2 + v_2'^2 = 16$ . (2) Bình phương hai vế của (1): $(v_1'+v_2')^2 = 16 \Rightarrow v_1'^2 + 2v_1'v_2' + v_2'^2 = 16$ . Kết hợp với (2): $16 + 2v_1'v_2' = 16 \Rightarrow v_1'v_2' = 0$ .
Bảo toàn động lượng: $1 \cdot 4 + 1 \cdot 0 = v_1' + v_2' \Rightarrow v_1' + v_2' = 4$. (1) Bảo toàn động năng: $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4^2 = \dfrac{1}{2}v_1'^2 + \dfrac{1}{2}v_2'^2 \Rightarrow v_1'^2 + v_2'^2 = 16$. (2) Bình phương hai vế của (1): $(v_1'+v_2')^2 = 16 \Rightarrow v_1'^2 + 2v_1'v_2' + v_2'^2 = 16$. Kết hợp với (2): $16 + 2v_1'v_2' = 16 \Rightarrow v_1'v_2' = 0$.
4
Từ $v_1'v_2'=0$ : hoặc $v_1'=0$ hoặc $v_2'=0$ . Nếu $v_2'=0$ thì từ (1), $v_1'=4$ — đây là nghiệm TẦM THƯỜNG, ứng với việc viên bi thứ nhất giữ nguyên vận tốc còn viên thứ hai vẫn đứng yên, tức là KHÔNG hề va chạm. Nghiệm đúng của bài toán là $v_1'=0$ và $v_2'=4$ , từ (1).
Từ $v_1'v_2'=0$: hoặc $v_1'=0$ hoặc $v_2'=0$. Nếu $v_2'=0$ thì từ (1), $v_1'=4$ — đây là nghiệm TẦM THƯỜNG, ứng với việc viên bi thứ nhất giữ nguyên vận tốc còn viên thứ hai vẫn đứng yên, tức là KHÔNG hề va chạm. Nghiệm đúng của bài toán là $v_1'=0$ và $v_2'=4$, từ (1).
5
Thay lại: động lượng sau $= 1 \cdot 0 + 1 \cdot 4 = 4$ , bằng động lượng trước. Động năng sau $= \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4^2 = 8J$ , bằng động năng trước ( $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 16 = 8J$ ). Cả hai đại lượng đều khớp.
Thay lại: động lượng sau $= 1 \cdot 0 + 1 \cdot 4 = 4$, bằng động lượng trước. Động năng sau $= \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4^2 = 8J$, bằng động năng trước ($\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 16 = 8J$). Cả hai đại lượng đều khớp.
6
Vậy sau va chạm, viên bi thứ nhất đứng yên ( $v_1'=0$ ) và viên bi thứ hai chuyển động với vận tốc đúng bằng vận tốc ban đầu của viên thứ nhất ( $v_2'=4m/s$ ) — hai vật CÙNG khối lượng va chạm đàn hồi thì TRAO ĐỔI vận tốc cho nhau.
Vậy sau va chạm, viên bi thứ nhất đứng yên ($v_1'=0$) và viên bi thứ hai chuyển động với vận tốc đúng bằng vận tốc ban đầu của viên thứ nhất ($v_2'=4m/s$) — hai vật CÙNG khối lượng va chạm đàn hồi thì TRAO ĐỔI vận tốc cho nhau.

Ví dụ

Va chạm đàn hồi giữa hai vật khác khối lượng (dạng thi)

1
Một viên bi khối lượng 1kg chuyển động với tốc độ 6m/s đến va chạm đàn hồi trực diện với một viên bi khối lượng 2kg đang đứng yên. Tính vận tốc của mỗi viên bi ngay sau va chạm.
2
Viết bảo toàn động lượng và bảo toàn động năng cho hệ, với $m_1=1kg$ , $v_1=6m/s$ , $m_2=2kg$ , $v_2=0$ .
Viết bảo toàn động lượng và bảo toàn động năng cho hệ, với $m_1=1kg$, $v_1=6m/s$, $m_2=2kg$, $v_2=0$.
3
Bảo toàn động lượng: $1 \cdot 6 + 2 \cdot 0 = v_1' + 2v_2' \Rightarrow v_1' = 6 - 2v_2'$ . (1) Bảo toàn động năng: $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 36 = \dfrac{1}{2}v_1'^2 + \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot v_2'^2 \Rightarrow v_1'^2 + 2v_2'^2 = 36$ . (2) Thế (1) vào (2): $(6-2v_2')^2 + 2v_2'^2 = 36 \Rightarrow 36 - 24v_2' + 4v_2'^2 + 2v_2'^2 = 36 \Rightarrow 6v_2'^2 - 24v_2' = 0 \Rightarrow 6v_2'(v_2'-4) = 0$ .
Bảo toàn động lượng: $1 \cdot 6 + 2 \cdot 0 = v_1' + 2v_2' \Rightarrow v_1' = 6 - 2v_2'$. (1) Bảo toàn động năng: $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 36 = \dfrac{1}{2}v_1'^2 + \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot v_2'^2 \Rightarrow v_1'^2 + 2v_2'^2 = 36$. (2) Thế (1) vào (2): $(6-2v_2')^2 + 2v_2'^2 = 36 \Rightarrow 36 - 24v_2' + 4v_2'^2 + 2v_2'^2 = 36 \Rightarrow 6v_2'^2 - 24v_2' = 0 \Rightarrow 6v_2'(v_2'-4) = 0$.
4
Phương trình cho hai nghiệm $v_2'=0$ hoặc $v_2'=4$ . Nghiệm $v_2'=0$ ứng với viên bi thứ hai vẫn đứng yên như trước — nghiệm TẦM THƯỜNG, không va chạm. Chọn $v_2'=4 (m/s)$ ; từ (1) suy ra $v_1' = 6 - 2 \cdot 4 = -2 (m/s)$ .
Phương trình cho hai nghiệm $v_2'=0$ hoặc $v_2'=4$. Nghiệm $v_2'=0$ ứng với viên bi thứ hai vẫn đứng yên như trước — nghiệm TẦM THƯỜNG, không va chạm. Chọn $v_2'=4 (m/s)$; từ (1) suy ra $v_1' = 6 - 2 \cdot 4 = -2 (m/s)$.
5
Kiểm tra động lượng sau: $1 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 = -2+8=6$ , đúng bằng động lượng trước. Kiểm tra động năng sau: $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 + \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 16 = 2+16=18(J)$ , đúng bằng động năng trước ( $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 36=18J$ ).
Kiểm tra động lượng sau: $1 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 = -2+8=6$, đúng bằng động lượng trước. Kiểm tra động năng sau: $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 + \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 16 = 2+16=18(J)$, đúng bằng động năng trước ($\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 36=18J$).
6
Vậy sau va chạm, viên bi thứ nhất bật ngược trở lại với vận tốc $v_1'=-2m/s$ (đổi chiều chuyển động), còn viên bi thứ hai chuyển động tiếp với vận tốc $v_2'=4m/s$ theo chiều ban đầu.
Vậy sau va chạm, viên bi thứ nhất bật ngược trở lại với vận tốc $v_1'=-2m/s$ (đổi chiều chuyển động), còn viên bi thứ hai chuyển động tiếp với vận tốc $v_2'=4m/s$ theo chiều ban đầu.

Tổng động lượng không đổi (6 kg.m/s) dù từng viên bi đổi vận tốc riêng — viên 1 đổi chiều (từ +6 xuống −2) còn viên 2 tăng tốc (từ 0 lên 4).

Động năng bằng nhau ở cả hai thời điểm (18J) — đây chính là đặc điểm phân biệt va chạm đàn hồi với va chạm mềm ở bài trước, nơi động năng luôn giảm.

Ví dụ

Kiểm tra một lời giải sai về va chạm đàn hồi

1
Vật 2kg tốc độ 5m/s va chạm đàn hồi trực diện với vật 2kg đang đứng yên. Một bạn học sinh cho rằng cả hai vật sẽ cùng chuyển động với tốc độ 2,5m/s sau va chạm (giống công thức va chạm mềm). Kiểm tra xem lời giải đó có đúng không.
2
Nếu hai vật thật sự cùng chuyển động với một vận tốc chung sau va chạm, đó chính là ĐỊNH NGHĨA của va chạm mềm (dính nhau), không phải va chạm đàn hồi. Kiểm tra bằng bảo toàn động năng để xác nhận.
3
Nếu cả hai cùng $v=2,5m/s$ như bạn tính: $W_{đ,sau} = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2,5^2 = 12,5 (J)$ . (1) Động năng trước: $W_{đ,trước} = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5^2 = 25 (J)$ . (2) Từ (1) và (2), $12,5J \ne 25J$ — vi phạm bảo toàn động năng, mà va chạm đàn hồi BẮT BUỘC phải bảo toàn động năng.
Nếu cả hai cùng $v=2,5m/s$ như bạn tính: $W_{đ,sau} = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2,5^2 = 12,5 (J)$. (1) Động năng trước: $W_{đ,trước} = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5^2 = 25 (J)$. (2) Từ (1) và (2), $12,5J \ne 25J$ — vi phạm bảo toàn động năng, mà va chạm đàn hồi BẮT BUỘC phải bảo toàn động năng.
4
Bạn học sinh đã áp dụng nhầm công thức va chạm MỀM (hai vật dính nhau, chung một vận tốc) cho một bài toán va chạm ĐÀN HỒI (hai vật tách rời, vận tốc riêng). Với hai vật cùng khối lượng va chạm đàn hồi, đáp số đúng là trao đổi vận tốc: $v_1'=0$ , $v_2'=5m/s$ .
Bạn học sinh đã áp dụng nhầm công thức va chạm MỀM (hai vật dính nhau, chung một vận tốc) cho một bài toán va chạm ĐÀN HỒI (hai vật tách rời, vận tốc riêng). Với hai vật cùng khối lượng va chạm đàn hồi, đáp số đúng là trao đổi vận tốc: $v_1'=0$, $v_2'=5m/s$.
5
Vậy lời giải của bạn học sinh là SAI; đáp số đúng là vật thứ nhất đứng yên ( $v_1'=0$ ) và vật thứ hai chuyển động với $v_2'=5m/s$ .
Vậy lời giải của bạn học sinh là SAI; đáp số đúng là vật thứ nhất đứng yên ($v_1'=0$) và vật thứ hai chuyển động với $v_2'=5m/s$.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất ở va chạm đàn hồi là chỉ viết MỘT phương trình (thường là bảo toàn động lượng) rồi cố 'đoán' vận tốc còn lại, hoặc giải ra phương trình bậc hai nhưng lại chọn nhầm nghiệm tầm thường (nghiệm ứng với việc không có va chạm nào xảy ra) làm đáp án cuối cùng. Va chạm đàn hồi luôn cần ĐỦ hai phương trình — bảo toàn động lượng và bảo toàn động năng — vì có hai ẩn số cần tìm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Va chạm đàn hồi: hai vật tách rời sau va chạm, CẢ động lượng LẪN động năng đều bảo toàn — cần viết đủ hai phương trình. Khi giải ra phương trình bậc hai, luôn loại nghiệm tầm thường (ứng với không va chạm) trước khi chọn đáp án.

Đến đây em đã học đủ hai kiểu va chạm cơ bản: va chạm mềm (dính nhau, chỉ động lượng bảo toàn) và va chạm đàn hồi (tách rời, cả động lượng và động năng đều bảo toàn). Bài ôn tập cuối chương sẽ luyện các bài toán tổng hợp, đòi hỏi em tự nhận diện đúng kiểu va chạm trước khi chọn công thức.