Bài học

Biến dạng đàn hồi và định luật Hooke — ôn tập vận dụng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em áp dụng đúng định luật Hooke để tính lực đàn hồi, xác định giới hạn đàn hồi của lò xo, tính thế năng đàn hồi, và kết hợp với bảo toàn cơ năng để giải bài toán lò xo phóng vật.

Kiến thức nền cần nhớ

Chương 3 đã ôn thế năng trọng trường và động năng. Bài này bổ sung dạng thế năng thứ ba: thế năng đàn hồi, dự trữ trong một lò xo (hoặc vật đàn hồi khác) khi nó bị biến dạng, rồi dùng lại chính định luật bảo toàn cơ năng của Chương 3 để giải bài toán lò xo phóng vật.

Khởi động

Một lò xo bị nén lại rồi thả ra, đẩy một viên bi bắn đi. Năng lượng làm viên bi chuyển động đã tồn tại ở đâu TRƯỚC khi lò xo được thả ra?

Kiến thức trọng tâm

Mỗi lò xo có một giới hạn đàn hồi: nếu biến dạng vượt quá giới hạn này, lò xo không còn tuân theo định luật Hooke và không trở lại hình dạng ban đầu được nữa (biến dạng dẻo, thậm chí gãy hỏng). Khi giải bài toán, luôn cần kiểm tra biến dạng tính được có nằm trong giới hạn đàn hồi hay không — đây là bước kiểm tra điều kiện áp dụng, giống hệt tinh thần kiểm tra ĐKXĐ trong đại số.

Thế năng đàn hồi dự trữ trong lò xo khi biến dạng một đoạn $\Delta l$ được tính bằng $W_{đh} = \dfrac{1}{2}k(\Delta l)^2$ — công thức có dạng giống hệt động năng nhưng thay $m$ bằng $k$ và $v$ bằng $\Delta l$ . Khi lò xo được thả ra và đẩy vật chuyển động, toàn bộ thế năng đàn hồi (nếu bỏ qua ma sát) chuyển hoá hết thành động năng của vật ngay tại thời điểm lò xo trở về chiều dài tự nhiên — đây chính là một dạng khác của định luật bảo toàn cơ năng đã học ở Chương 3, chỉ thay thế năng trọng trường bằng thế năng đàn hồi. Nếu sau đó vật tiếp tục bay lên cao (ví dụ lò xo đặt thẳng đứng), năng lượng lại tiếp tục chuyển hoá từ động năng sang thế năng trọng trường, đúng theo cùng một nguyên lý bảo toàn duy nhất áp dụng xuyên suốt cả quá trình.

Độ cứng $k$ không phải là hằng số vật lý phổ quát như $g$ — nó phụ thuộc vật liệu, tiết diện và số vòng dây của từng lò xo cụ thể, nên luôn được cho sẵn trong đề bài chứ không tra bảng. Giới hạn đàn hồi cũng vậy: một lò xo thép cứng chịu được biến dạng tương đối nhỏ trước khi biến dạng dẻo, trong khi một sợi dây cao su có thể giãn dài gấp nhiều lần chiều dài tự nhiên mà vẫn co lại được — đây là lý do vì sao đề bài luôn cho rõ giới hạn đàn hồi bằng số liệu cụ thể thay vì để học sinh tự đoán.

Biến dạng đàn hồi là biến dạng mà vật tự trở lại hình dạng ban đầu khi thôi tác dụng lực gây biến dạng (ngược với biến dạng dẻo — biến dạng còn lại vĩnh viễn). Định luật Hooke phát biểu: trong giới hạn đàn hồi, lực đàn hồi của một lò xo tỉ lệ thuận với độ biến dạng của nó: $F_{đh} = k|\Delta l|$, trong đó $k$ là độ cứng của lò xo (đơn vị N/m), $\Delta l$ là độ giãn hoặc độ nén so với chiều dài tự nhiên. Lực đàn hồi luôn có xu hướng đưa lò xo về chiều dài tự nhiên — ngược hướng với biến dạng. Mỗi lò xo có một giới hạn đàn hồi: nếu biến dạng vượt quá giới hạn này, lò xo không còn tuân theo định luật Hooke và không trở lại hình dạng ban đầu được nữa (biến dạng dẻo, thậm chí gãy hỏng). Khi giải bài toán, luôn cần kiểm tra biến dạng tính được có nằm trong giới hạn đàn hồi hay không — đây là bước kiểm tra điều kiện áp dụng, giống hệt tinh thần kiểm tra ĐKXĐ trong đại số. Thế năng đàn hồi dự trữ trong lò xo khi biến dạng một đoạn $\Delta l$ được tính bằng $W_{đh} = \dfrac{1}{2}k(\Delta l)^2$ — công thức có dạng giống hệt động năng nhưng thay $m$ bằng $k$ và $v$ bằng $\Delta l$. Khi lò xo được thả ra và đẩy vật chuyển động, toàn bộ thế năng đàn hồi (nếu bỏ qua ma sát) chuyển hoá hết thành động năng của vật ngay tại thời điểm lò xo trở về chiều dài tự nhiên — đây chính là một dạng khác của định luật bảo toàn cơ năng đã học ở Chương 3, chỉ thay thế năng trọng trường bằng thế năng đàn hồi. Nếu sau đó vật tiếp tục bay lên cao (ví dụ lò xo đặt thẳng đứng), năng lượng lại tiếp tục chuyển hoá từ động năng sang thế năng trọng trường, đúng theo cùng một nguyên lý bảo toàn duy nhất áp dụng xuyên suốt cả quá trình. Độ cứng $k$ không phải là hằng số vật lý phổ quát như $g$ — nó phụ thuộc vật liệu, tiết diện và số vòng dây của từng lò xo cụ thể, nên luôn được cho sẵn trong đề bài chứ không tra bảng. Giới hạn đàn hồi cũng vậy: một lò xo thép cứng chịu được biến dạng tương đối nhỏ trước khi biến dạng dẻo, trong khi một sợi dây cao su có thể giãn dài gấp nhiều lần chiều dài tự nhiên mà vẫn co lại được — đây là lý do vì sao đề bài luôn cho rõ giới hạn đàn hồi bằng số liệu cụ thể thay vì để học sinh tự đoán.

Độ dốc của đường thẳng chính là độ cứng lò xo

k = 150

N/m.Độ dốc của đường thẳng chính là độ cứng lò xo $k = 150$ N/m.

Ví dụ

Lò xo phóng vật theo phương thẳng đứng

1
Một lò xo có độ cứng $k = 150$ N/m được nén lại một đoạn 0,1 m rồi dùng để phóng một quả bóng khối lượng 0,3 kg theo phương thẳng đứng. Bỏ qua ma sát và khối lượng lò xo. Tính tốc độ của bóng ngay khi rời lò xo và độ cao cực đại bóng đạt được.
Một lò xo có độ cứng $k = 150$ N/m được nén lại một đoạn 0,1 m rồi dùng để phóng một quả bóng khối lượng 0,3 kg theo phương thẳng đứng. Bỏ qua ma sát và khối lượng lò xo. Tính tốc độ của bóng ngay khi rời lò xo và độ cao cực đại bóng đạt được.
2
$W_{đh} = \dfrac{1}{2}k(\Delta l)^2 = \dfrac{1}{2} \times 150 \times 0{,}1^2 = 0{,}75$ J. (1)
$W_{đh} = \dfrac{1}{2}k(\Delta l)^2 = \dfrac{1}{2} \times 150 \times 0{,}1^2 = 0{,}75$ J. (1)
3
Toàn bộ thế năng đàn hồi chuyển hoá thành động năng: từ (1), $\dfrac{1}{2}mv^2 = 0{,}75 \Rightarrow v^2 = \dfrac{2 \times 0{,}75}{0{,}3} = 5 \Rightarrow v \approx 2{,}24$ m/s. (2)
Toàn bộ thế năng đàn hồi chuyển hoá thành động năng: từ (1), $\dfrac{1}{2}mv^2 = 0{,}75 \Rightarrow v^2 = \dfrac{2 \times 0{,}75}{0{,}3} = 5 \Rightarrow v \approx 2{,}24$ m/s. (2)
4
Sau khi rời lò xo, bóng bay lên đến khi động năng chuyển hết thành thế năng trọng trường: từ (2), $mgh = \dfrac{1}{2}mv^2 \Rightarrow h = \dfrac{v^2}{2g} = \dfrac{5}{2 \times 9{,}8} \approx 0{,}255$ m.
Sau khi rời lò xo, bóng bay lên đến khi động năng chuyển hết thành thế năng trọng trường: từ (2), $mgh = \dfrac{1}{2}mv^2 \Rightarrow h = \dfrac{v^2}{2g} = \dfrac{5}{2 \times 9{,}8} \approx 0{,}255$ m.
5
Vậy bóng rời lò xo với tốc độ khoảng 2,24 m/s và đạt độ cao cực đại khoảng 0,255 m so với vị trí rời lò xo — toàn bộ quá trình chỉ dùng đúng một nguyên lý bảo toàn năng lượng, chuyển hoá liên tiếp giữa ba dạng: đàn hồi, động năng, rồi trọng trường.

Ví dụ

Kiểm tra giới hạn đàn hồi khi treo vật

1
Một lò xo có độ cứng $k = 200$ N/m, giới hạn đàn hồi ứng với độ biến dạng tối đa 0,1 m. Treo thẳng đứng một vật khối lượng 1,5 kg vào lò xo (g = 9,8 m/s²). Tính độ giãn của lò xo khi vật cân bằng, và cho biết lò xo có vượt quá giới hạn đàn hồi hay không. Nếu treo vật khối lượng lớn nhất trong giới hạn đàn hồi, khối lượng đó là bao nhiêu?
Một lò xo có độ cứng $k = 200$ N/m, giới hạn đàn hồi ứng với độ biến dạng tối đa 0,1 m. Treo thẳng đứng một vật khối lượng 1,5 kg vào lò xo (g = 9,8 m/s²). Tính độ giãn của lò xo khi vật cân bằng, và cho biết lò xo có vượt quá giới hạn đàn hồi hay không. Nếu treo vật khối lượng lớn nhất trong giới hạn đàn hồi, khối lượng đó là bao nhiêu?
2
Khi vật cân bằng, lực đàn hồi cân bằng với trọng lực: $k\Delta l = mg \Rightarrow \Delta l = \dfrac{mg}{k} = \dfrac{1{,}5 \times 9{,}8}{200} = \dfrac{14{,}7}{200} \approx 0{,}0735$ m. (1)
Khi vật cân bằng, lực đàn hồi cân bằng với trọng lực: $k\Delta l = mg \Rightarrow \Delta l = \dfrac{mg}{k} = \dfrac{1{,}5 \times 9{,}8}{200} = \dfrac{14{,}7}{200} \approx 0{,}0735$ m. (1)
3
Từ (1): $\Delta l \approx 0{,}0735$ m $< 0{,}1$ m (giới hạn đàn hồi). Vậy lò xo vẫn trong giới hạn đàn hồi, chưa bị biến dạng dẻo.
Từ (1): $\Delta l \approx 0{,}0735$ m $< 0{,}1$ m (giới hạn đàn hồi). Vậy lò xo vẫn trong giới hạn đàn hồi, chưa bị biến dạng dẻo.
4
Ứng với $\Delta l_{max} = 0{,}1$ m: $F_{max} = k\Delta l_{max} = 200 \times 0{,}1 = 20$ N. Khối lượng lớn nhất: $m_{max} = \dfrac{F_{max}}{g} = \dfrac{20}{9{,}8} \approx 2{,}04$ kg. (3)
Ứng với $\Delta l_{max} = 0{,}1$ m: $F_{max} = k\Delta l_{max} = 200 \times 0{,}1 = 20$ N. Khối lượng lớn nhất: $m_{max} = \dfrac{F_{max}}{g} = \dfrac{20}{9{,}8} \approx 2{,}04$ kg. (3)
5
Từ (3), $m_{max} \approx 2{,}04$ kg lớn hơn khối lượng 1,5 kg đã cho ở phần đầu — hợp lý, vì vật 1,5 kg đã được xác nhận còn nằm trong giới hạn đàn hồi ở bước trước; nếu $m_{max}$ tính ra nhỏ hơn 1,5 kg, đó sẽ là dấu hiệu có sai sót ở một trong hai phép tính.
Từ (3), $m_{max} \approx 2{,}04$ kg lớn hơn khối lượng 1,5 kg đã cho ở phần đầu — hợp lý, vì vật 1,5 kg đã được xác nhận còn nằm trong giới hạn đàn hồi ở bước trước; nếu $m_{max}$ tính ra nhỏ hơn 1,5 kg, đó sẽ là dấu hiệu có sai sót ở một trong hai phép tính.
6
Vậy với vật 1,5 kg, lò xo giãn khoảng 0,0735 m, còn trong giới hạn đàn hồi. Khối lượng lớn nhất có thể treo mà lò xo vẫn đàn hồi (không bị hỏng) là khoảng 2,04 kg — vượt qua giá trị này, lò xo sẽ bị biến dạng dẻo và không co lại đúng chiều dài ban đầu khi tháo vật ra.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp: áp dụng định luật Hooke ( $F = k\Delta l$ ) mà không kiểm tra biến dạng có vượt giới hạn đàn hồi hay không — vượt giới hạn thì công thức không còn đúng nữa. Một sai lầm khác là nhầm thế năng đàn hồi $W_{đh} = \dfrac{1}{2}k(\Delta l)^2$ với công thức động năng, quên rằng $\Delta l$ ở đây là độ biến dạng chứ không phải tốc độ.

Sai lầm hay gặp: áp dụng định luật Hooke ($F = k\Delta l$) mà không kiểm tra biến dạng có vượt giới hạn đàn hồi hay không — vượt giới hạn thì công thức không còn đúng nữa. Một sai lầm khác là nhầm thế năng đàn hồi $W_{đh} = \dfrac{1}{2}k(\Delta l)^2$ với công thức động năng, quên rằng $\Delta l$ ở đây là độ biến dạng chứ không phải tốc độ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$F_{đh} = k|\Delta l|$ trong giới hạn đàn hồi; $W_{đh} = \dfrac{1}{2}k(\Delta l)^2$ . Khi lò xo phóng vật, thế năng đàn hồi chuyển hoá thành động năng rồi có thể tiếp tục chuyển hoá thành thế năng trọng trường — cùng một nguyên lý bảo toàn cơ năng, chỉ thêm một dạng năng lượng mới.

$F_{đh} = k|\Delta l|$ trong giới hạn đàn hồi; $W_{đh} = \dfrac{1}{2}k(\Delta l)^2$. Khi lò xo phóng vật, thế năng đàn hồi chuyển hoá thành động năng rồi có thể tiếp tục chuyển hoá thành thế năng trọng trường — cùng một nguyên lý bảo toàn cơ năng, chỉ thêm một dạng năng lượng mới.

Bài cuối cùng của khoá học không giới thiệu kiến thức mới, mà kết hợp TẤT CẢ bảy mạch kiến thức đã ôn — động học, động lực học, năng lượng, động lượng, chuyển động tròn, cân bằng vật rắn và biến dạng — trong các bài toán nhiều bước, đúng đúng tinh thần một đề thi tổng hợp cuối năm.