Bài học

Chu kì và tần số của con lắc lò xo

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em viết và vận dụng được công thức chu kì $T=2\pi\sqrt{m/k}$ và tần số $f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$ của con lắc lò xo, đồng thời giải thích được $T$ thay đổi ra sao khi $m$ hoặc $k$ thay đổi.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã chỉ ra lực kéo về của con lắc lò xo là $F=-kx$ , tỉ lệ thuận và ngược dấu với li độ — đây chính là dấu hiệu của một dao động điều hòa. Khái niệm chu kì (thời gian thực hiện một dao động toàn phần, kí hiệu $T$ , đơn vị giây) và tần số (số dao động toàn phần trong một giây, $f=1/T$ , đơn vị Hz) đã được giới thiệu ở phần đại cương về dao động điều hòa. Bài này áp dụng hai khái niệm đó cho riêng con lắc lò xo, tìm công thức cụ thể theo $m$ và $k$ .

Bài trước đã chỉ ra lực kéo về của con lắc lò xo là $F=-kx$, tỉ lệ thuận và ngược dấu với li độ — đây chính là dấu hiệu của một dao động điều hòa. Khái niệm chu kì (thời gian thực hiện một dao động toàn phần, kí hiệu $T$, đơn vị giây) và tần số (số dao động toàn phần trong một giây, $f=1/T$, đơn vị Hz) đã được giới thiệu ở phần đại cương về dao động điều hòa. Bài này áp dụng hai khái niệm đó cho riêng con lắc lò xo, tìm công thức cụ thể theo $m$ và $k$.

Khởi động

Nếu treo hai vật có khối lượng khác nhau vào cùng một lò xo, vật nào dao động nhanh hơn — vật nặng hơn hay vật nhẹ hơn? Và nếu dùng hai lò xo có độ cứng khác nhau treo cùng một vật, lò xo nào cho dao động nhanh hơn?

Kiến thức trọng tâm

Hai công thức này có một đặc điểm đáng chú ý: cả $T$ lẫn $f$ chỉ phụ thuộc vào $m$ và $k$ — tức là phụ thuộc vào chính bản thân con lắc — chứ không phụ thuộc vào biên độ dao động $A$ . Dù em kéo vật lệch nhiều hay ít trước khi thả, con lắc vẫn dao động với đúng một chu kì, miễn là biên độ đó chưa đủ lớn để phá vỡ điều kiện đàn hồi ở bài trước.

Xét cách $T$ biến đổi khi thay đổi $m$ hoặc $k$ . Vì $m$ nằm trong căn ở tử số, khi $m$ tăng, $T$ cũng tăng: vật càng nặng thì càng có quán tính lớn, khó đổi hướng chuyển động hơn, nên dao động chậm lại, chu kì dài ra. Ngược lại, vì $k$ nằm trong căn ở mẫu số, khi $k$ tăng (lò xo càng cứng), $T$ giảm: lò xo cứng sinh ra lực kéo về lớn hơn ở cùng một li độ, kéo vật về vị trí cân bằng nhanh hơn, nên dao động nhanh hơn, chu kì ngắn lại. Vì $m$ và $k$ đều nằm trong căn bậc hai chứ không phải tỉ lệ bậc nhất, quan hệ giữa chúng và $T$ không phải tỉ lệ thuận (hay nghịch) trực tiếp: khi $m$ tăng gấp 4 lần, $T$ chỉ tăng gấp $\sqrt{4}=2$ lần, chứ không tăng gấp 4 lần. Đây là điểm học sinh cần hết sức lưu ý khi làm bài toán tỉ lệ.

Đơn vị của mọi đại lượng trong công thức phải là đơn vị SI trước khi thay số: $m$ tính bằng kilôgam (kg), $k$ tính bằng niutơn trên mét (N/m), khi đó $T$ ra đơn vị giây (s) và $f$ ra đơn vị héc (Hz). Đổi thiếu đơn vị — chẳng hạn để $m$ ở dạng gam — là nguồn sai số phổ biến nhất khi giải bài tập dạng này.

Vì $T$ phụ thuộc trực tiếp vào $m$ theo một quy luật xác định, người ta có thể đo chu kì dao động của một vật gắn vào lò xo đã biết $k$ để suy ra khối lượng vật đó — đây là nguyên tắc của cân lò xo dao động, dùng cả trong phòng thí nghiệm trên Trái Đất lẫn trên các trạm vũ trụ, nơi cân thông thường dựa vào trọng lượng không hoạt động được vì không có trọng lực đáng kể.

Một điểm nữa đáng so sánh ngay từ bây giờ, dù chương sau mới học kĩ: công thức $T=2\pi\sqrt{m/k}$ của con lắc lò xo hoàn toàn không chứa gia tốc trọng trường $g$ . Điều đó có nghĩa một con lắc lò xo dao động với đúng cùng một chu kì dù đặt trên mặt đất, trên đỉnh núi cao, hay thậm chí trong trạm vũ trụ không trọng lượng — miễn là $m$ và $k$ không đổi. Đây chính là lí do các nhà du hành vũ trụ dùng con lắc lò xo (chứ không phải con lắc đơn, vốn cần trọng lực để dao động) khi cần đo khối lượng cơ thể trong môi trường không trọng lượng. Ngược lại, tần số góc $\omega=\sqrt{k/m}$ hoàn toàn do cấu tạo cơ học của hệ (vật và lò xo) quyết định, không phụ thuộc cách con lắc được kích thích ban đầu — dù em kéo vật ra rồi thả nhẹ, hay đẩy vật một cú rồi buông tay, $\omega$ (và do đó $T$ ) vẫn giữ nguyên; chỉ biên độ dao động là khác nhau giữa hai cách kích thích đó.

Trong dao động điều hòa nói chung, chu kì $T$ liên hệ với tần số góc $\omega$ theo công thức $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$. Với con lắc lò xo, tần số góc được xác định từ chính hai đại lượng đặc trưng cho hệ dao động — độ cứng lò xo $k$ và khối lượng vật $m$ — theo công thức $\omega = \sqrt{k/m}$. Thay vào biểu thức chu kì, ta được công thức riêng cho con lắc lò xo: $$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$$ Tần số tương ứng là nghịch đảo của chu kì: $$f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$$ Hai công thức này có một đặc điểm đáng chú ý: cả $T$ lẫn $f$ chỉ phụ thuộc vào $m$ và $k$ — tức là phụ thuộc vào chính bản thân con lắc — chứ không phụ thuộc vào biên độ dao động $A$. Dù em kéo vật lệch nhiều hay ít trước khi thả, con lắc vẫn dao động với đúng một chu kì, miễn là biên độ đó chưa đủ lớn để phá vỡ điều kiện đàn hồi ở bài trước. Xét cách $T$ biến đổi khi thay đổi $m$ hoặc $k$. Vì $m$ nằm trong căn ở tử số, khi $m$ tăng, $T$ cũng tăng: vật càng nặng thì càng có quán tính lớn, khó đổi hướng chuyển động hơn, nên dao động chậm lại, chu kì dài ra. Ngược lại, vì $k$ nằm trong căn ở mẫu số, khi $k$ tăng (lò xo càng cứng), $T$ giảm: lò xo cứng sinh ra lực kéo về lớn hơn ở cùng một li độ, kéo vật về vị trí cân bằng nhanh hơn, nên dao động nhanh hơn, chu kì ngắn lại. Vì $m$ và $k$ đều nằm trong căn bậc hai chứ không phải tỉ lệ bậc nhất, quan hệ giữa chúng và $T$ không phải tỉ lệ thuận (hay nghịch) trực tiếp: khi $m$ tăng gấp 4 lần, $T$ chỉ tăng gấp $\sqrt{4}=2$ lần, chứ không tăng gấp 4 lần. Đây là điểm học sinh cần hết sức lưu ý khi làm bài toán tỉ lệ. Đơn vị của mọi đại lượng trong công thức phải là đơn vị SI trước khi thay số: $m$ tính bằng kilôgam (kg), $k$ tính bằng niutơn trên mét (N/m), khi đó $T$ ra đơn vị giây (s) và $f$ ra đơn vị héc (Hz). Đổi thiếu đơn vị — chẳng hạn để $m$ ở dạng gam — là nguồn sai số phổ biến nhất khi giải bài tập dạng này. Vì $T$ phụ thuộc trực tiếp vào $m$ theo một quy luật xác định, người ta có thể đo chu kì dao động của một vật gắn vào lò xo đã biết $k$ để suy ra khối lượng vật đó — đây là nguyên tắc của cân lò xo dao động, dùng cả trong phòng thí nghiệm trên Trái Đất lẫn trên các trạm vũ trụ, nơi cân thông thường dựa vào trọng lượng không hoạt động được vì không có trọng lực đáng kể. Một điểm nữa đáng so sánh ngay từ bây giờ, dù chương sau mới học kĩ: công thức $T=2\pi\sqrt{m/k}$ của con lắc lò xo hoàn toàn không chứa gia tốc trọng trường $g$. Điều đó có nghĩa một con lắc lò xo dao động với đúng cùng một chu kì dù đặt trên mặt đất, trên đỉnh núi cao, hay thậm chí trong trạm vũ trụ không trọng lượng — miễn là $m$ và $k$ không đổi. Đây chính là lí do các nhà du hành vũ trụ dùng con lắc lò xo (chứ không phải con lắc đơn, vốn cần trọng lực để dao động) khi cần đo khối lượng cơ thể trong môi trường không trọng lượng. Ngược lại, tần số góc $\omega=\sqrt{k/m}$ hoàn toàn do cấu tạo cơ học của hệ (vật và lò xo) quyết định, không phụ thuộc cách con lắc được kích thích ban đầu — dù em kéo vật ra rồi thả nhẹ, hay đẩy vật một cú rồi buông tay, $\omega$ (và do đó $T$) vẫn giữ nguyên; chỉ biên độ dao động là khác nhau giữa hai cách kích thích đó.

Với

k=40

N/m không đổi, khi

m

tăng gấp 4, 9, 16 lần so với

0{,}1

kg thì

T

tăng gấp

2

3

4

lần tương ứng — đúng quy luật

T\propto\sqrt{m}

.Với $k=40$ N/m không đổi, khi $m$ tăng gấp 4, 9, 16 lần so với $0{,}1$ kg thì $T$ tăng gấp $2$, $3$, $4$ lần tương ứng — đúng quy luật $T\propto\sqrt{m}$.

Ví dụ

Tính chu kì và tần số từ khối lượng và độ cứng

1
Một con lắc lò xo có khối lượng vật $m=0{,}4$ kg, độ cứng lò xo $k=40$ N/m. Tính chu kì và tần số dao động của con lắc.
Một con lắc lò xo có khối lượng vật $m=0{,}4$ kg, độ cứng lò xo $k=40$ N/m. Tính chu kì và tần số dao động của con lắc.
2
Áp dụng $T=2\pi\sqrt{m/k}$ : $T = 2\pi\sqrt{0{,}4/40} = 2\pi\sqrt{0{,}01} = 2\pi \times 0{,}1 \approx 0{,}628$ s.
Áp dụng $T=2\pi\sqrt{m/k}$: $T = 2\pi\sqrt{0{,}4/40} = 2\pi\sqrt{0{,}01} = 2\pi \times 0{,}1 \approx 0{,}628$ s.
3
$f = 1/T = 1/0{,}628 \approx 1{,}59$ Hz.
$f = 1/T = 1/0{,}628 \approx 1{,}59$ Hz.
4
Có thể kiểm chứng lại bằng đường khác: $\omega=\sqrt{k/m}=\sqrt{40/0{,}4}=\sqrt{100}=10$ rad/s, suy ra $T=2\pi/\omega=2\pi/10\approx0{,}628$ s — khớp đúng với kết quả tính trực tiếp ở bước trên.
Có thể kiểm chứng lại bằng đường khác: $\omega=\sqrt{k/m}=\sqrt{40/0{,}4}=\sqrt{100}=10$ rad/s, suy ra $T=2\pi/\omega=2\pi/10\approx0{,}628$ s — khớp đúng với kết quả tính trực tiếp ở bước trên.
5
Với lò xo có độ cứng vừa phải ( $40$ N/m) và vật nhẹ ( $0{,}4$ kg), chu kì cỡ vài phần mười giây là hợp lí — con lắc lò xo trong phòng thí nghiệm phổ thông thường dao động với $T$ trong khoảng $0{,}3$ đến $1$ giây. Vậy $T\approx0{,}628$ s, $f\approx1{,}59$ Hz.
Với lò xo có độ cứng vừa phải ($40$ N/m) và vật nhẹ ($0{,}4$ kg), chu kì cỡ vài phần mười giây là hợp lí — con lắc lò xo trong phòng thí nghiệm phổ thông thường dao động với $T$ trong khoảng $0{,}3$ đến $1$ giây. Vậy $T\approx0{,}628$ s, $f\approx1{,}59$ Hz.

Ví dụ

Tìm độ cứng từ chu kì, rồi dự đoán chu kì mới khi đổi khối lượng

1
Một con lắc lò xo có khối lượng vật $m=0{,}5$ kg dao động với chu kì $T=1$ s. a) Tính độ cứng $k$ của lò xo. b) Nếu thay vật bằng một vật khác có khối lượng gấp 4 lần vật ban đầu (giữ nguyên lò xo), chu kì dao động mới bằng bao nhiêu?
Một con lắc lò xo có khối lượng vật $m=0{,}5$ kg dao động với chu kì $T=1$ s. a) Tính độ cứng $k$ của lò xo. b) Nếu thay vật bằng một vật khác có khối lượng gấp 4 lần vật ban đầu (giữ nguyên lò xo), chu kì dao động mới bằng bao nhiêu?
2
Từ $T=2\pi\sqrt{m/k}$ , bình phương hai vế: $T^2 = 4\pi^2 \dfrac{m}{k}$ , suy ra $k = \dfrac{4\pi^2 m}{T^2} = \dfrac{4\pi^2 \times 0{,}5}{1^2} \approx 19{,}7$ N/m.
Từ $T=2\pi\sqrt{m/k}$, bình phương hai vế: $T^2 = 4\pi^2 \dfrac{m}{k}$, suy ra $k = \dfrac{4\pi^2 m}{T^2} = \dfrac{4\pi^2 \times 0{,}5}{1^2} \approx 19{,}7$ N/m.
3
Khối lượng mới $m' = 4m$ . Vì $T \propto \sqrt{m}$ (với $k$ không đổi), ta có $T' = T\sqrt{m'/m} = T\sqrt{4} = 2T = 2 \times 1 = 2$ s.
Khối lượng mới $m' = 4m$. Vì $T \propto \sqrt{m}$ (với $k$ không đổi), ta có $T' = T\sqrt{m'/m} = T\sqrt{4} = 2T = 2 \times 1 = 2$ s.
4
Kết quả câu b khớp với nhận xét đã nêu ở phần lí thuyết: khối lượng tăng gấp 4 lần thì chu kì chỉ tăng gấp $\sqrt{4}=2$ lần, không tăng gấp 4 lần. Vậy $k\approx19{,}7$ N/m và $T'=2$ s.
Kết quả câu b khớp với nhận xét đã nêu ở phần lí thuyết: khối lượng tăng gấp 4 lần thì chu kì chỉ tăng gấp $\sqrt{4}=2$ lần, không tăng gấp 4 lần. Vậy $k\approx19{,}7$ N/m và $T'=2$ s.
5
Nếu đề tiếp tục hỏi tần số mới $f'$ , chỉ cần lấy nghịch đảo: $f'=1/T'=1/2=0{,}5$ Hz, bằng đúng một nửa tần số ban đầu $f=1/T=1$ Hz — vì $f$ và $T$ luôn tỉ lệ nghịch với nhau, khi $T$ tăng gấp đôi thì $f$ giảm đi một nửa.
Nếu đề tiếp tục hỏi tần số mới $f'$, chỉ cần lấy nghịch đảo: $f'=1/T'=1/2=0{,}5$ Hz, bằng đúng một nửa tần số ban đầu $f=1/T=1$ Hz — vì $f$ và $T$ luôn tỉ lệ nghịch với nhau, khi $T$ tăng gấp đôi thì $f$ giảm đi một nửa.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp: nghĩ rằng khi khối lượng tăng gấp 4 lần thì chu kì cũng tăng gấp 4 lần — quên rằng $m$ nằm trong căn bậc hai. Một sai lầm khác là gán nhầm $k$ và $m$ vào sai vị trí trong biểu thức tần số góc $\omega=\sqrt{k/m}$ .

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Chu kì và tần số của con lắc lò xo chỉ phụ thuộc vào khối lượng vật $m$ và độ cứng lò xo $k$ , không phụ thuộc biên độ: $T=2\pi\sqrt{m/k}$ , $f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$ . Khối lượng tăng thì $T$ tăng (theo căn bậc hai); độ cứng tăng thì $T$ giảm (cũng theo căn bậc hai).

Chu kì và tần số của con lắc lò xo chỉ phụ thuộc vào khối lượng vật $m$ và độ cứng lò xo $k$, không phụ thuộc biên độ: $T=2\pi\sqrt{m/k}$, $f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$. Khối lượng tăng thì $T$ tăng (theo căn bậc hai); độ cứng tăng thì $T$ giảm (cũng theo căn bậc hai).

Chương tiếp theo chuyển sang một loại con lắc khác — con lắc đơn — để xem lực kéo về và điều kiện dao động điều hòa của nó khác con lắc lò xo ở điểm nào.