Bài học

Chu kì của con lắc đơn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em viết và vận dụng được công thức chu kì con lắc đơn $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$ , và giải thích được vì sao $T$ không phụ thuộc khối lượng vật hay biên độ dao động.

Sau bài này, em viết và vận dụng được công thức chu kì con lắc đơn $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$, và giải thích được vì sao $T$ không phụ thuộc khối lượng vật hay biên độ dao động.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã chỉ ra rằng với góc lệch nhỏ ( $\alpha\le10°$ ), con lắc đơn dao động điều hòa với lực kéo về xấp xỉ $F\approx-mg(s/\ell) = -\left(\dfrac{mg}{\ell}\right)s$ , có dạng giống hệt lực kéo về của con lắc lò xo nếu coi $mg/\ell$ đóng vai trò của $k$ . Bài này dùng lại chính sự tương tự đó, cùng công thức chu kì tổng quát đã dùng cho con lắc lò xo, để suy ra công thức chu kì riêng cho con lắc đơn.

Bài trước đã chỉ ra rằng với góc lệch nhỏ ($\alpha\le10°$), con lắc đơn dao động điều hòa với lực kéo về xấp xỉ $F\approx-mg(s/\ell) = -\left(\dfrac{mg}{\ell}\right)s$, có dạng giống hệt lực kéo về của con lắc lò xo nếu coi $mg/\ell$ đóng vai trò của $k$. Bài này dùng lại chính sự tương tự đó, cùng công thức chu kì tổng quát đã dùng cho con lắc lò xo, để suy ra công thức chu kì riêng cho con lắc đơn.

Khởi động

Nếu hai con lắc đơn có cùng chiều dài dây nhưng một cái treo quả cầu sắt nặng, một cái treo quả cầu gỗ nhẹ, con lắc nào dao động nhanh hơn? Và nếu mang cùng một con lắc đơn lên Mặt Trăng (nơi trọng lực yếu hơn Trái Đất), chu kì của nó thay đổi ra sao?

Kiến thức trọng tâm

Kết quả này có một điểm rất đáng chú ý: khối lượng $m$ đã bị triệt tiêu hoàn toàn trong phép rút gọn phân số, nên chu kì con lắc đơn KHÔNG phụ thuộc vào khối lượng vật nặng — chỉ phụ thuộc vào chiều dài dây $\ell$ và gia tốc trọng trường $g$ tại nơi treo con lắc. Đây chính là câu trả lời cho câu hỏi khởi động: một quả cầu sắt nặng và một quả cầu gỗ nhẹ, nếu treo vào hai sợi dây cùng chiều dài, sẽ dao động với đúng cùng một chu kì, miễn là cả hai đều thoả điều kiện góc lệch nhỏ.

Cũng như con lắc lò xo, công thức trên không chứa biên độ dao động, nên $T$ cũng không phụ thuộc biên độ, miễn là góc lệch ban đầu vẫn nằm trong giới hạn $\alpha\le10°$ . Tính chất chu kì không đổi dù biên độ thay đổi (trong giới hạn nhỏ) gọi là tính đẳng thời của con lắc đơn, và chính tính chất này khiến con lắc đơn được dùng làm bộ phận giữ nhịp trong đồng hồ quả lắc cơ học từ thế kỉ 17: dù ma sát không khí làm biên độ dao động giảm dần theo thời gian, chu kì gần như không đổi, nên đồng hồ vẫn chạy đúng giờ trong một khoảng thời gian dài.

Vì $g$ xuất hiện ở mẫu số trong căn, chu kì con lắc đơn phụ thuộc vào nơi đặt con lắc: ở nơi có $g$ lớn hơn, $T$ nhỏ hơn — con lắc dao động nhanh hơn. Ngược lại, ở nơi có $g$ nhỏ hơn (lên núi cao, hoặc mang lên Mặt Trăng, nơi $g$ chỉ bằng khoảng 1/6 so với Trái Đất), $T$ lớn hơn — con lắc dao động chậm hơn, và một chiếc đồng hồ quả lắc mang lên Mặt Trăng, nếu không hiệu chỉnh lại chiều dài dây, sẽ chạy chậm đi rất nhiều so với ở Trái Đất.

Vì lí do này, các đài quan trắc trọng lực từng dùng chính con lắc đơn — đo chính xác chu kì dao động của nó tại một địa điểm — để suy ngược ra giá trị $g$ tại nơi đó, trước khi có các thiết bị đo trọng lực điện tử hiện đại.

So sánh lại với bài Chu kì và tần số của con lắc lò xo: hai công thức $T=2\pi\sqrt{m/k}$ và $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$ trông rất giống nhau về hình thức (đều là $2\pi$ nhân căn bậc hai của một tỉ số), nhưng ý nghĩa vật lí của từng đại lượng trong căn hoàn toàn khác nhau. Với con lắc lò xo, $m$ ở tử số là khối lượng vật dao động — càng nặng càng dao động chậm vì quán tính lớn hơn. Với con lắc đơn, không có khối lượng nào xuất hiện; thay vào đó, $\ell$ ở tử số là một đại lượng hình học (chiều dài dây), còn $g$ ở mẫu số là một đại lượng của môi trường (gia tốc trọng trường tại nơi treo), không phải của bản thân con lắc. Việc nhớ đúng vai trò của từng kí hiệu trong mỗi công thức — chứ không chỉ nhớ mặt chữ — là chìa khoá để tránh áp dụng nhầm công thức khi làm bài tổng hợp, nhất là khi đề bài đưa cả hai loại con lắc vào chung một câu hỏi.

Một hệ quả thực tế của công thức $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$ : muốn thiết kế một con lắc đơn có chu kì đúng bằng 1 giây (thường dùng làm chuẩn đếm giây), người thợ đồng hồ chỉ cần chọn đúng chiều dài dây theo công thức $\ell=gT^2/(4\pi^2)$ ứng với $T=1$ s và giá trị $g$ tại nơi lắp đặt đồng hồ — không cần biết trước khối lượng quả lắc sẽ dùng, vì chu kì hoàn toàn không phụ thuộc vào đó.

Ở bài trước, lực kéo về gần đúng của con lắc đơn là $F\approx-\left(\dfrac{mg}{\ell}\right)s$. So sánh với lực kéo về của con lắc lò xo $F=-kx$, ta thấy hai công thức có cùng một dạng, chỉ khác ở hệ số tỉ lệ: với con lắc lò xo hệ số đó là $k$, với con lắc đơn hệ số đó là $mg/\ell$. Áp dụng công thức chu kì $T=2\pi\sqrt{m/(\text{hệ số tỉ lệ})}$ đã dùng cho con lắc lò xo, với con lắc đơn ta thay hệ số tỉ lệ bằng $mg/\ell$: $$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{mg/\ell}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$$ Kết quả này có một điểm rất đáng chú ý: khối lượng $m$ đã bị triệt tiêu hoàn toàn trong phép rút gọn phân số, nên chu kì con lắc đơn KHÔNG phụ thuộc vào khối lượng vật nặng — chỉ phụ thuộc vào chiều dài dây $\ell$ và gia tốc trọng trường $g$ tại nơi treo con lắc. Đây chính là câu trả lời cho câu hỏi khởi động: một quả cầu sắt nặng và một quả cầu gỗ nhẹ, nếu treo vào hai sợi dây cùng chiều dài, sẽ dao động với đúng cùng một chu kì, miễn là cả hai đều thoả điều kiện góc lệch nhỏ. Cũng như con lắc lò xo, công thức trên không chứa biên độ dao động, nên $T$ cũng không phụ thuộc biên độ, miễn là góc lệch ban đầu vẫn nằm trong giới hạn $\alpha\le10°$. Tính chất chu kì không đổi dù biên độ thay đổi (trong giới hạn nhỏ) gọi là tính đẳng thời của con lắc đơn, và chính tính chất này khiến con lắc đơn được dùng làm bộ phận giữ nhịp trong đồng hồ quả lắc cơ học từ thế kỉ 17: dù ma sát không khí làm biên độ dao động giảm dần theo thời gian, chu kì gần như không đổi, nên đồng hồ vẫn chạy đúng giờ trong một khoảng thời gian dài. Vì $g$ xuất hiện ở mẫu số trong căn, chu kì con lắc đơn phụ thuộc vào nơi đặt con lắc: ở nơi có $g$ lớn hơn, $T$ nhỏ hơn — con lắc dao động nhanh hơn. Ngược lại, ở nơi có $g$ nhỏ hơn (lên núi cao, hoặc mang lên Mặt Trăng, nơi $g$ chỉ bằng khoảng 1/6 so với Trái Đất), $T$ lớn hơn — con lắc dao động chậm hơn, và một chiếc đồng hồ quả lắc mang lên Mặt Trăng, nếu không hiệu chỉnh lại chiều dài dây, sẽ chạy chậm đi rất nhiều so với ở Trái Đất. Vì lí do này, các đài quan trắc trọng lực từng dùng chính con lắc đơn — đo chính xác chu kì dao động của nó tại một địa điểm — để suy ngược ra giá trị $g$ tại nơi đó, trước khi có các thiết bị đo trọng lực điện tử hiện đại. So sánh lại với bài Chu kì và tần số của con lắc lò xo: hai công thức $T=2\pi\sqrt{m/k}$ và $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$ trông rất giống nhau về hình thức (đều là $2\pi$ nhân căn bậc hai của một tỉ số), nhưng ý nghĩa vật lí của từng đại lượng trong căn hoàn toàn khác nhau. Với con lắc lò xo, $m$ ở tử số là khối lượng vật dao động — càng nặng càng dao động chậm vì quán tính lớn hơn. Với con lắc đơn, không có khối lượng nào xuất hiện; thay vào đó, $\ell$ ở tử số là một đại lượng hình học (chiều dài dây), còn $g$ ở mẫu số là một đại lượng của môi trường (gia tốc trọng trường tại nơi treo), không phải của bản thân con lắc. Việc nhớ đúng vai trò của từng kí hiệu trong mỗi công thức — chứ không chỉ nhớ mặt chữ — là chìa khoá để tránh áp dụng nhầm công thức khi làm bài tổng hợp, nhất là khi đề bài đưa cả hai loại con lắc vào chung một câu hỏi. Một hệ quả thực tế của công thức $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$: muốn thiết kế một con lắc đơn có chu kì đúng bằng 1 giây (thường dùng làm chuẩn đếm giây), người thợ đồng hồ chỉ cần chọn đúng chiều dài dây theo công thức $\ell=gT^2/(4\pi^2)$ ứng với $T=1$ s và giá trị $g$ tại nơi lắp đặt đồng hồ — không cần biết trước khối lượng quả lắc sẽ dùng, vì chu kì hoàn toàn không phụ thuộc vào đó.

Với

g=9{,}8

m/s² không đổi, khi

\ell

tăng gấp 4, 9, 16 lần so với

0{,}25

m thì

T

tăng gấp

2

3

4

lần — đúng quy luật

T\propto\sqrt{\ell}

.Với $g=9{,}8$ m/s² không đổi, khi $\ell$ tăng gấp 4, 9, 16 lần so với $0{,}25$ m thì $T$ tăng gấp $2$, $3$, $4$ lần — đúng quy luật $T\propto\sqrt{\ell}$.

Ví dụ

Tính chu kì con lắc đơn từ chiều dài dây

1
Một con lắc đơn có chiều dài $\ell=0{,}994$ m, dao động tại nơi có $g=9{,}8$ m/s². Tính chu kì dao động của con lắc.
Một con lắc đơn có chiều dài $\ell=0{,}994$ m, dao động tại nơi có $g=9{,}8$ m/s². Tính chu kì dao động của con lắc.
2
$T=2\pi\sqrt{\ell/g} = 2\pi\sqrt{0{,}994/9{,}8} = 2\pi\sqrt{0{,}1014} \approx 2\pi \times 0{,}3185 \approx 2{,}00$ s.
$T=2\pi\sqrt{\ell/g} = 2\pi\sqrt{0{,}994/9{,}8} = 2\pi\sqrt{0{,}1014} \approx 2\pi \times 0{,}3185 \approx 2{,}00$ s.
3
Một con lắc dài khoảng 1 mét dao động với chu kì khoảng 2 giây là con số quen thuộc trong thực tế — đây gần đúng là chiều dài dây của quả lắc trong nhiều đồng hồ quả lắc cổ, được thiết kế có chủ đích để mỗi lần lắc mất đúng 1 giây (nửa chu kì). Vậy $T\approx2{,}00$ s.
Một con lắc dài khoảng 1 mét dao động với chu kì khoảng 2 giây là con số quen thuộc trong thực tế — đây gần đúng là chiều dài dây của quả lắc trong nhiều đồng hồ quả lắc cổ, được thiết kế có chủ đích để mỗi lần lắc mất đúng 1 giây (nửa chu kì). Vậy $T\approx2{,}00$ s.
4
Nếu đề không cho $\ell=0{,}994$ m tròn trịa mà cho $\ell=1$ m đúng, kết quả sẽ là $T=2\pi\sqrt{1/9{,}8}\approx2{,}007$ s — chỉ lệch khoảng $0{,}007$ s so với kết quả trên, cho thấy công thức khá nhạy nhưng vẫn cho một con số rất gần $2$ s với chiều dài dây khoảng 1 mét, dù $\ell$ lệch một chút.
Nếu đề không cho $\ell=0{,}994$ m tròn trịa mà cho $\ell=1$ m đúng, kết quả sẽ là $T=2\pi\sqrt{1/9{,}8}\approx2{,}007$ s — chỉ lệch khoảng $0{,}007$ s so với kết quả trên, cho thấy công thức khá nhạy nhưng vẫn cho một con số rất gần $2$ s với chiều dài dây khoảng 1 mét, dù $\ell$ lệch một chút.

Ví dụ

Tìm chiều dài dây từ chu kì, rồi xét ảnh hưởng khi đổi nơi treo

1
Một con lắc đơn của đồng hồ quả lắc dao động đúng với chu kì $T=2$ s tại nơi có $g=9{,}8$ m/s². a) Tính chiều dài dây treo $\ell$ . b) Mang chính con lắc này đến một nơi khác có $g'=9{,}78$ m/s² (không đổi chiều dài dây), tính chu kì mới $T'$ và cho biết đồng hồ chạy nhanh hay chậm hơn.
Một con lắc đơn của đồng hồ quả lắc dao động đúng với chu kì $T=2$ s tại nơi có $g=9{,}8$ m/s². a) Tính chiều dài dây treo $\ell$. b) Mang chính con lắc này đến một nơi khác có $g'=9{,}78$ m/s² (không đổi chiều dài dây), tính chu kì mới $T'$ và cho biết đồng hồ chạy nhanh hay chậm hơn.
2
Từ $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$ , bình phương hai vế: $T^2=4\pi^2\ell/g$ , suy ra $\ell = \dfrac{gT^2}{4\pi^2} = \dfrac{9{,}8\times2^2}{4\pi^2} = \dfrac{39{,}2}{39{,}48} \approx 0{,}993$ m.
Từ $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$, bình phương hai vế: $T^2=4\pi^2\ell/g$, suy ra $\ell = \dfrac{gT^2}{4\pi^2} = \dfrac{9{,}8\times2^2}{4\pi^2} = \dfrac{39{,}2}{39{,}48} \approx 0{,}993$ m.
3
Với $\ell\approx0{,}993$ m không đổi, $T' = 2\pi\sqrt{\ell/g'} = 2\pi\sqrt{0{,}993/9{,}78} \approx 2\pi\sqrt{0{,}1015} \approx 2{,}002$ s.
Với $\ell\approx0{,}993$ m không đổi, $T' = 2\pi\sqrt{\ell/g'} = 2\pi\sqrt{0{,}993/9{,}78} \approx 2\pi\sqrt{0{,}1015} \approx 2{,}002$ s.
4
Vì $g' < g$ (nơi mới có trọng lực yếu hơn), $T' > T$ : mỗi dao động mất nhiều thời gian hơn một chút ( $2{,}002$ s so với $2$ s), nên đồng hồ chạy CHẬM hơn tại nơi có trọng lực yếu hơn.
Vì $g' < g$ (nơi mới có trọng lực yếu hơn), $T' > T$: mỗi dao động mất nhiều thời gian hơn một chút ($2{,}002$ s so với $2$ s), nên đồng hồ chạy CHẬM hơn tại nơi có trọng lực yếu hơn.
5
Để đồng hồ chạy đúng trở lại tại nơi có $g'=9{,}78$ m/s², người thợ cần rút ngắn dây treo một chút, tính lại theo $\ell'=g'T^2/(4\pi^2)=9{,}78\times4/39{,}48\approx0{,}991$ m — ngắn hơn $\ell\approx0{,}993$ m ban đầu một khoảng rất nhỏ, đúng bằng lượng bù trừ cho sự thay đổi của $g$ .
Để đồng hồ chạy đúng trở lại tại nơi có $g'=9{,}78$ m/s², người thợ cần rút ngắn dây treo một chút, tính lại theo $\ell'=g'T^2/(4\pi^2)=9{,}78\times4/39{,}48\approx0{,}991$ m — ngắn hơn $\ell\approx0{,}993$ m ban đầu một khoảng rất nhỏ, đúng bằng lượng bù trừ cho sự thay đổi của $g$.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp: nghĩ rằng con lắc nặng hơn dao động chậm hơn (giống trực giác về quán tính của con lắc lò xo) — với con lắc đơn, khối lượng không xuất hiện trong công thức $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$ nên hoàn toàn không ảnh hưởng đến chu kì. Một sai lầm khác là quên rằng $g$ thay đổi theo vị trí địa lí, nên áp dụng máy móc $g=9{,}8$ m/s² cho mọi bài toán dù đề đã cho giá trị $g$ khác.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Chu kì con lắc đơn chỉ phụ thuộc vào chiều dài dây $\ell$ và gia tốc trọng trường $g$ tại nơi treo: $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$ , hoàn toàn không phụ thuộc khối lượng vật hay biên độ dao động (khi góc lệch còn nhỏ).

Chu kì con lắc đơn chỉ phụ thuộc vào chiều dài dây $\ell$ và gia tốc trọng trường $g$ tại nơi treo: $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$, hoàn toàn không phụ thuộc khối lượng vật hay biên độ dao động (khi góc lệch còn nhỏ).

Chương tiếp theo chuyển sang tìm hiểu năng lượng của các dao động điều hòa vừa học — động năng, thế năng và cơ năng biến đổi ra sao trong suốt quá trình con lắc dao động.