Bài học

Cơ năng của dao động điều hòa

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em viết được công thức cơ năng $W=W_đ+W_t=\frac12kA^2$ của con lắc lò xo, giải thích được vì sao cơ năng không đổi khi bỏ qua ma sát, và dùng nó để tính tốc độ của vật tại một li độ bất kì.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã tính riêng $W_đ$ và $W_t$ tại một thời điểm cụ thể, và nhận thấy tổng của chúng dường như không đổi qua các thời điểm khác nhau — ở ví dụ với $x=3$ cm, $v=40$ cm/s, tổng $W_đ+W_t\approx0{,}0385$ J. Bài này chứng minh điều đó luôn đúng với MỌI thời điểm của cùng một dao động, và dùng chính đại lượng tổng đó — gọi là cơ năng — như một công cụ tính toán mạnh, tránh phải biết cả $x$ lẫn $v$ cùng lúc mới tính được năng lượng.

Khởi động

Nếu biết một con lắc lò xo có biên độ $A$ và độ cứng $k$ , nhưng KHÔNG biết vận tốc tại một vị trí bất kì, liệu có cách nào tính được cơ năng của nó mà không cần đo tốc độ hay không? Và nếu biết trước cơ năng, có thể suy ngược ra tốc độ tại một vị trí bất kì mà không cần công thức nào khác hay không?

Nếu biết một con lắc lò xo có biên độ $A$ và độ cứng $k$, nhưng KHÔNG biết vận tốc tại một vị trí bất kì, liệu có cách nào tính được cơ năng của nó mà không cần đo tốc độ hay không? Và nếu biết trước cơ năng, có thể suy ngược ra tốc độ tại một vị trí bất kì mà không cần công thức nào khác hay không?

Kiến thức trọng tâm

Tại vị trí biên $x=A$ (biên độ dao động), vật tạm dừng lại trước khi đổi chiều, nên $v=0$ và do đó $W_đ=0$ . Toàn bộ năng lượng của hệ lúc này nằm dưới dạng thế năng: $W = W_t\Big|_{x=A} = \dfrac{1}{2}kA^2$ Vì hệ không chịu ma sát (theo điều kiện lí tưởng đã nêu từ bài đầu chương), năng lượng không bị tiêu hao, nên tổng động năng và thế năng tại BẤT KÌ thời điểm nào trong suốt quá trình dao động đều bằng đúng giá trị này: $W = W_đ + W_t = \dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2}m\omega^2A^2 = \text{hằng số}$ Đại lượng không đổi $W$ này gọi là cơ năng của dao động điều hòa. Cách viết thứ hai ( $\frac12m\omega^2A^2$ ) dùng khi đề cho $\omega$ hoặc $T$ thay vì $k$ (nhớ $k=m\omega^2$ ).

Công thức cơ năng có một hệ quả tính toán rất hữu ích: vì $W$ không đổi và bằng $\frac12kA^2$ , tại một li độ $x$ bất kì ta luôn có thể viết: $\dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2}kx^2 + \dfrac{1}{2}mv^2$ Từ đó, nếu biết $A$ , $k$ , $m$ và một li độ $x$ cụ thể, ta tính được tốc độ $v$ tại đúng vị trí đó mà không cần dùng đến các công thức về pha dao động — chỉ cần đại số đơn giản: $v = \sqrt{\dfrac{k(A^2-x^2)}{m}}$ Công thức này (hoặc cách lập luận dẫn ra nó từ bảo toàn cơ năng) là một trong những công cụ được dùng nhiều nhất khi giải bài tập về con lắc lò xo, vì nó nối trực tiếp ba đại lượng $A$ , $x$ , $v$ mà không cần biết thời điểm hay pha dao động.

Đồ thị dưới đây biểu diễn thế năng $W_t$ theo li độ $x$ (một đường parabol, vì $W_t\propto x^2$ ), cùng đường nằm ngang biểu diễn cơ năng không đổi $W$ . Tại mỗi li độ $x$ , khoảng cách theo phương thẳng đứng từ đường parabol lên đường nằm ngang chính là động năng $W_đ$ tại vị trí đó — nhìn vào đồ thị, em thấy ngay khoảng cách này lớn nhất tại $x=0$ (đúng bằng cả $W$ ) và bằng 0 tại $x=\pm A$ (đường parabol chạm đường nằm ngang), khớp hoàn toàn với những gì bài trước đã nêu.

Cần lưu ý cơ năng chỉ thực sự không đổi khi bỏ qua hoàn toàn ma sát và lực cản — đây là lí do vì sao các con lắc thật trong đời sống (con lắc đồng hồ, xích đu) luôn dao động tắt dần theo thời gian nếu không được tiếp thêm năng lượng, dù công thức trong bài này giả định lí tưởng. Chương trình phổ thông thường bỏ qua hiện tượng tắt dần trong các bài toán tính toán, nhưng luôn nhắc lại điều kiện này để học sinh hiểu rõ giới hạn áp dụng của công thức cơ năng không đổi.

Công thức $v=\sqrt{k(A^2-x^2)/m}$ còn cho một cách khác để tìm tốc độ lớn nhất của vật: thay $x=0$ (vị trí cân bằng, nơi $W_t=0$ và toàn bộ cơ năng là động năng), ta được $v_{max}=\sqrt{kA^2/m}=A\sqrt{k/m}=A\omega$ . Đây là một công thức quen thuộc khác của dao động điều hòa (tốc độ lớn nhất bằng biên độ nhân tần số góc), và giờ em thấy nó cũng suy ra được trực tiếp từ chính công thức bảo toàn cơ năng, chứ không phải là một công thức tách rời cần học thuộc riêng. Tương tự, thay $x=A$ (vị trí biên) vào công thức trên cho $v=0$ , đúng như đã biết: vật dừng lại hoàn toàn tại biên trước khi đổi chiều chuyển động.

Nhìn lại toàn bộ chương, bốn công thức năng lượng ( $W_đ=\frac12mv^2$ , $W_t=\frac12kx^2$ , $W=\frac12kA^2$ , và $v=\sqrt{k(A^2-x^2)/m}$ ) thực ra chỉ là bốn cách viết của cùng một định luật bảo toàn năng lượng, áp dụng riêng cho dao động điều hòa. Học sinh không cần nhớ máy móc cả bốn công thức — chỉ cần nhớ vững quan hệ gốc $W_đ+W_t=\frac12kA^2$ và biết viết lại $W_đ=\frac12mv^2$ , $W_t=\frac12kx^2$ khi cần, mọi công thức còn lại đều suy ra được bằng vài bước đại số như đã làm ở trên.

Tại vị trí biên $x=A$ (biên độ dao động), vật tạm dừng lại trước khi đổi chiều, nên $v=0$ và do đó $W_đ=0$. Toàn bộ năng lượng của hệ lúc này nằm dưới dạng thế năng: $$W = W_t\Big|_{x=A} = \dfrac{1}{2}kA^2$$ Vì hệ không chịu ma sát (theo điều kiện lí tưởng đã nêu từ bài đầu chương), năng lượng không bị tiêu hao, nên tổng động năng và thế năng tại BẤT KÌ thời điểm nào trong suốt quá trình dao động đều bằng đúng giá trị này: $$W = W_đ + W_t = \dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2}m\omega^2A^2 = \text{hằng số}$$ Đại lượng không đổi $W$ này gọi là cơ năng của dao động điều hòa. Cách viết thứ hai ($\frac12m\omega^2A^2$) dùng khi đề cho $\omega$ hoặc $T$ thay vì $k$ (nhớ $k=m\omega^2$). Công thức cơ năng có một hệ quả tính toán rất hữu ích: vì $W$ không đổi và bằng $\frac12kA^2$, tại một li độ $x$ bất kì ta luôn có thể viết: $$\dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2}kx^2 + \dfrac{1}{2}mv^2$$ Từ đó, nếu biết $A$, $k$, $m$ và một li độ $x$ cụ thể, ta tính được tốc độ $v$ tại đúng vị trí đó mà không cần dùng đến các công thức về pha dao động — chỉ cần đại số đơn giản: $$v = \sqrt{\dfrac{k(A^2-x^2)}{m}}$$ Công thức này (hoặc cách lập luận dẫn ra nó từ bảo toàn cơ năng) là một trong những công cụ được dùng nhiều nhất khi giải bài tập về con lắc lò xo, vì nó nối trực tiếp ba đại lượng $A$, $x$, $v$ mà không cần biết thời điểm hay pha dao động. Đồ thị dưới đây biểu diễn thế năng $W_t$ theo li độ $x$ (một đường parabol, vì $W_t\propto x^2$), cùng đường nằm ngang biểu diễn cơ năng không đổi $W$. Tại mỗi li độ $x$, khoảng cách theo phương thẳng đứng từ đường parabol lên đường nằm ngang chính là động năng $W_đ$ tại vị trí đó — nhìn vào đồ thị, em thấy ngay khoảng cách này lớn nhất tại $x=0$ (đúng bằng cả $W$) và bằng 0 tại $x=\pm A$ (đường parabol chạm đường nằm ngang), khớp hoàn toàn với những gì bài trước đã nêu. Cần lưu ý cơ năng chỉ thực sự không đổi khi bỏ qua hoàn toàn ma sát và lực cản — đây là lí do vì sao các con lắc thật trong đời sống (con lắc đồng hồ, xích đu) luôn dao động tắt dần theo thời gian nếu không được tiếp thêm năng lượng, dù công thức trong bài này giả định lí tưởng. Chương trình phổ thông thường bỏ qua hiện tượng tắt dần trong các bài toán tính toán, nhưng luôn nhắc lại điều kiện này để học sinh hiểu rõ giới hạn áp dụng của công thức cơ năng không đổi. Công thức $v=\sqrt{k(A^2-x^2)/m}$ còn cho một cách khác để tìm tốc độ lớn nhất của vật: thay $x=0$ (vị trí cân bằng, nơi $W_t=0$ và toàn bộ cơ năng là động năng), ta được $v_{max}=\sqrt{kA^2/m}=A\sqrt{k/m}=A\omega$. Đây là một công thức quen thuộc khác của dao động điều hòa (tốc độ lớn nhất bằng biên độ nhân tần số góc), và giờ em thấy nó cũng suy ra được trực tiếp từ chính công thức bảo toàn cơ năng, chứ không phải là một công thức tách rời cần học thuộc riêng. Tương tự, thay $x=A$ (vị trí biên) vào công thức trên cho $v=0$, đúng như đã biết: vật dừng lại hoàn toàn tại biên trước khi đổi chiều chuyển động. Nhìn lại toàn bộ chương, bốn công thức năng lượng ($W_đ=\frac12mv^2$, $W_t=\frac12kx^2$, $W=\frac12kA^2$, và $v=\sqrt{k(A^2-x^2)/m}$) thực ra chỉ là bốn cách viết của cùng một định luật bảo toàn năng lượng, áp dụng riêng cho dao động điều hòa. Học sinh không cần nhớ máy móc cả bốn công thức — chỉ cần nhớ vững quan hệ gốc $W_đ+W_t=\frac12kA^2$ và biết viết lại $W_đ=\frac12mv^2$, $W_t=\frac12kx^2$ khi cần, mọi công thức còn lại đều suy ra được bằng vài bước đại số như đã làm ở trên.

Với

A=4

cm,

k=100

N/m:

W=\frac12kA^2=0{,}08

J không đổi; tại mỗi

x

, khoảng cách từ parabol

W_t(x)

lên đường nằm ngang

W

chính là

W_đ

tại vị trí đó.Với $A=4$ cm, $k=100$ N/m: $W=\frac12kA^2=0{,}08$ J không đổi; tại mỗi $x$, khoảng cách từ parabol $W_t(x)$ lên đường nằm ngang $W$ chính là $W_đ$ tại vị trí đó.

Ví dụ

Tính cơ năng và tốc độ tại một li độ cho trước

1
Một con lắc lò xo có biên độ $A=4$ cm, độ cứng $k=100$ N/m, khối lượng vật $m=0{,}5$ kg. a) Tính cơ năng $W$ . b) Tính tốc độ $v$ của vật khi li độ $x=2$ cm.
Một con lắc lò xo có biên độ $A=4$ cm, độ cứng $k=100$ N/m, khối lượng vật $m=0{,}5$ kg. a) Tính cơ năng $W$. b) Tính tốc độ $v$ của vật khi li độ $x=2$ cm.
2
Đổi $A=0{,}04$ m. $W=\frac12kA^2=\frac12\times100\times0{,}04^2=50\times0{,}0016=0{,}08$ J.
Đổi $A=0{,}04$ m. $W=\frac12kA^2=\frac12\times100\times0{,}04^2=50\times0{,}0016=0{,}08$ J.
3
Đổi $x=0{,}02$ m. $W_t=\frac12kx^2=\frac12\times100\times0{,}02^2=50\times0{,}0004=0{,}02$ J.
Đổi $x=0{,}02$ m. $W_t=\frac12kx^2=\frac12\times100\times0{,}02^2=50\times0{,}0004=0{,}02$ J.
4
Từ $W=W_t+\frac12mv^2$ , suy ra $W_đ=W-W_t=0{,}08-0{,}02=0{,}06$ J. Vậy $v=\sqrt{2W_đ/m}=\sqrt{2\times0{,}06/0{,}5}=\sqrt{0{,}24}\approx0{,}49$ m/s.
Từ $W=W_t+\frac12mv^2$, suy ra $W_đ=W-W_t=0{,}08-0{,}02=0{,}06$ J. Vậy $v=\sqrt{2W_đ/m}=\sqrt{2\times0{,}06/0{,}5}=\sqrt{0{,}24}\approx0{,}49$ m/s.
5
$0{,}49$ m/s nhỏ hơn tốc độ lớn nhất có thể có tại $x=0$ (là $v_{max}=\sqrt{2W/m}=\sqrt{0{,}32}\approx0{,}566$ m/s), hợp lí vì $x=2$ cm chưa phải vị trí cân bằng. Vậy $W=0{,}08$ J, $v\approx0{,}49$ m/s.
$0{,}49$ m/s nhỏ hơn tốc độ lớn nhất có thể có tại $x=0$ (là $v_{max}=\sqrt{2W/m}=\sqrt{0{,}32}\approx0{,}566$ m/s), hợp lí vì $x=2$ cm chưa phải vị trí cân bằng. Vậy $W=0{,}08$ J, $v\approx0{,}49$ m/s.
6
Cách tính $v_{max}\approx0{,}566$ m/s ở bước kiểm tra trên cũng khớp với công thức thay thế $v_{max}=A\omega=A\sqrt{k/m}=0{,}04\times\sqrt{100/0{,}5}=0{,}04\times\sqrt{200}\approx0{,}04\times14{,}14\approx0{,}566$ m/s — hai cách tính độc lập cho cùng một kết quả, xác nhận cả hai công thức đều đúng và nhất quán với nhau.
Cách tính $v_{max}\approx0{,}566$ m/s ở bước kiểm tra trên cũng khớp với công thức thay thế $v_{max}=A\omega=A\sqrt{k/m}=0{,}04\times\sqrt{100/0{,}5}=0{,}04\times\sqrt{200}\approx0{,}04\times14{,}14\approx0{,}566$ m/s — hai cách tính độc lập cho cùng một kết quả, xác nhận cả hai công thức đều đúng và nhất quán với nhau.

Ví dụ

Bài toán hai phần: tìm tốc độ, rồi tìm độ cứng từ cơ năng

1
a) Một con lắc lò xo có $A=5$ cm, $k=80$ N/m, $m=0{,}2$ kg. Tính cơ năng $W$ và tốc độ $v$ khi vật ở li độ $x=3$ cm. b) Một con lắc lò xo khác có cơ năng $W=0{,}25$ J và biên độ $A=5$ cm. Tính độ cứng $k$ của lò xo này.
a) Một con lắc lò xo có $A=5$ cm, $k=80$ N/m, $m=0{,}2$ kg. Tính cơ năng $W$ và tốc độ $v$ khi vật ở li độ $x=3$ cm. b) Một con lắc lò xo khác có cơ năng $W=0{,}25$ J và biên độ $A=5$ cm. Tính độ cứng $k$ của lò xo này.
2
Đổi $A=0{,}05$ m, $x=0{,}03$ m. $W=\frac12\times80\times0{,}05^2=40\times0{,}0025=0{,}1$ J. $W_t=\frac12\times80\times0{,}03^2=40\times0{,}0009=0{,}036$ J. $W_đ=W-W_t=0{,}1-0{,}036=0{,}064$ J. $v=\sqrt{2\times0{,}064/0{,}2}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8$ m/s.
Đổi $A=0{,}05$ m, $x=0{,}03$ m. $W=\frac12\times80\times0{,}05^2=40\times0{,}0025=0{,}1$ J. $W_t=\frac12\times80\times0{,}03^2=40\times0{,}0009=0{,}036$ J. $W_đ=W-W_t=0{,}1-0{,}036=0{,}064$ J. $v=\sqrt{2\times0{,}064/0{,}2}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8$ m/s.
3
Từ $W=\frac12kA^2$ , suy ra $k=\dfrac{2W}{A^2}=\dfrac{2\times0{,}25}{0{,}05^2}=\dfrac{0{,}5}{0{,}0025}=200$ N/m.
Từ $W=\frac12kA^2$, suy ra $k=\dfrac{2W}{A^2}=\dfrac{2\times0{,}25}{0{,}05^2}=\dfrac{0{,}5}{0{,}0025}=200$ N/m.
4
Ở câu a, $v=0{,}8$ m/s là một số tròn — dấu hiệu tốt cho thấy phép tính đúng hướng. Ở câu b, $k=200$ N/m là một độ cứng hợp lí cho lò xo phòng thí nghiệm. Vậy câu a: $W=0{,}1$ J, $v=0{,}8$ m/s; câu b: $k=200$ N/m.
Ở câu a, $v=0{,}8$ m/s là một số tròn — dấu hiệu tốt cho thấy phép tính đúng hướng. Ở câu b, $k=200$ N/m là một độ cứng hợp lí cho lò xo phòng thí nghiệm. Vậy câu a: $W=0{,}1$ J, $v=0{,}8$ m/s; câu b: $k=200$ N/m.
5
Chú ý câu a và câu b là hai con lắc HOÀN TOÀN KHÁC NHAU, chỉ tình cờ có cùng biên độ $A=5$ cm — đề bài không yêu cầu so sánh trực tiếp hai lò xo này với nhau. Một lỗi thường gặp là nhầm lẫn dữ kiện của con lắc này sang con lắc kia, ví dụ dùng nhầm $k=80$ N/m của câu a khi tính câu b.
Chú ý câu a và câu b là hai con lắc HOÀN TOÀN KHÁC NHAU, chỉ tình cờ có cùng biên độ $A=5$ cm — đề bài không yêu cầu so sánh trực tiếp hai lò xo này với nhau. Một lỗi thường gặp là nhầm lẫn dữ kiện của con lắc này sang con lắc kia, ví dụ dùng nhầm $k=80$ N/m của câu a khi tính câu b.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp: tính $W_t$ rồi cộng thêm cả $\frac12kA^2$ vào kết quả (tức là tính hai lần cùng một năng lượng) thay vì trừ đúng $W_đ=W-W_t$ . Một sai lầm khác là quên rằng công thức $v=\sqrt{k(A^2-x^2)/m}$ chỉ áp dụng đúng khi lấy $x$ và $A$ theo cùng một đơn vị (mét), lẫn lộn cm với m sẽ cho kết quả sai hàng chục lần.

Sai lầm thường gặp: tính $W_t$ rồi cộng thêm cả $\frac12kA^2$ vào kết quả (tức là tính hai lần cùng một năng lượng) thay vì trừ đúng $W_đ=W-W_t$. Một sai lầm khác là quên rằng công thức $v=\sqrt{k(A^2-x^2)/m}$ chỉ áp dụng đúng khi lấy $x$ và $A$ theo cùng một đơn vị (mét), lẫn lộn cm với m sẽ cho kết quả sai hàng chục lần.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Cơ năng của dao động điều hòa $W=W_đ+W_t=\frac12kA^2$ không đổi theo thời gian khi bỏ qua ma sát. Biết $W$ , $k$ (hoặc $m$ ) và một li độ $x$ bất kì, em tính được ngay tốc độ $v$ tại vị trí đó mà không cần biết thời điểm dao động.

Cơ năng của dao động điều hòa $W=W_đ+W_t=\frac12kA^2$ không đổi theo thời gian khi bỏ qua ma sát. Biết $W$, $k$ (hoặc $m$) và một li độ $x$ bất kì, em tính được ngay tốc độ $v$ tại vị trí đó mà không cần biết thời điểm dao động.

Bài ôn tập cuối chương sẽ kết hợp cả ba nội dung của chương — con lắc lò xo, con lắc đơn và năng lượng dao động — vào những bài toán tổng hợp đúng kiểu đề kiểm tra.