Bài học

Động năng và thế năng trong dao động điều hòa

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em viết được công thức động năng $W_đ=\frac12mv^2$ và thế năng $W_t=\frac12kx^2$ của một vật dao động điều hòa, và mô tả được hai đại lượng này biến đổi theo thời gian như thế nào.

Kiến thức nền cần nhớ

Bốn bài trước đã xây dựng công thức lực kéo về và chu kì cho cả con lắc lò xo lẫn con lắc đơn. Bài này quay lại xét riêng con lắc lò xo (công thức năng lượng của con lắc đơn có dạng tương tự nhưng phức tạp hơn về mặt lượng giác, không nằm trong yêu cầu chương trình) để khảo sát năng lượng của dao động điều hòa — dùng lại công thức động năng $W_đ=\frac12mv^2$ đã học ở phần cơ học lớp 10, và công thức thế năng đàn hồi $W_t=\frac12kx^2$ đã học khi xét lò xo bị biến dạng.

Khởi động

Khi một con lắc lò xo dao động, tốc độ của vật không phải lúc nào cũng như nhau — có lúc vật chuyển động rất nhanh, có lúc vật gần như dừng lại rồi đổi chiều. Vật chuyển động nhanh nhất ở vị trí nào, và chậm nhất (dừng hẳn) ở vị trí nào? Năng lượng của vật lúc đó nằm ở dạng nào?

Kiến thức trọng tâm

Cả hai đại lượng đều biến thiên theo thời gian khi vật dao động, nhưng biến thiên theo một quy luật đặc biệt: cả $W_đ$ và $W_t$ đều KHÔNG bao giờ âm (vì đều chứa bình phương), và mỗi đại lượng lặp lại giá trị của nó sau mỗi nửa chu kì $T/2$ , chứ không phải sau cả chu kì $T$ như li độ hay vận tốc. Điều này dễ hình dung nếu để ý: tại hai thời điểm vật ở hai biên đối xứng $x=+A$ và $x=-A$ (cách nhau đúng nửa chu kì), độ lớn li độ bằng nhau nên $W_t$ bằng nhau; tương tự tại hai thời điểm vật qua vị trí cân bằng theo hai chiều ngược nhau (cũng cách nhau nửa chu kì), tốc độ có cùng độ lớn nên $W_đ$ bằng nhau.

Hai đại lượng này còn biến đổi ngược pha nhau: khi vật ở biên ( $x=\pm A$ ), tốc độ bằng 0 (vật vừa dừng lại để đổi chiều), nên $W_đ=0$ trong khi $W_t$ đạt giá trị lớn nhất. Ngược lại, khi vật đi qua vị trí cân bằng ( $x=0$ ), thế năng bằng 0 (vì $W_t=\frac12k\cdot0^2=0$ ) trong khi tốc độ của vật đạt giá trị lớn nhất, nên $W_đ$ đạt giá trị lớn nhất đúng tại vị trí này. Ở các vị trí trung gian, cả $W_đ$ lẫn $W_t$ đều khác 0 đồng thời — năng lượng lúc đó chia sẻ giữa hai dạng.

Đồ thị dưới đây minh hoạ tỉ lệ $W_đ$ và $W_t$ so với tổng năng lượng, biến đổi theo thời gian trong nửa đầu một chu kì dao động. Hai đường cong đối xứng nhau qua đường nằm ngang ở mức $0{,}5$ , cắt nhau tại đúng những thời điểm mà $W_đ=W_t$ , và mỗi đường lặp lại hình dạng của nó sau mỗi khoảng thời gian bằng $T/2$ — đúng như lập luận ở trên.

Cần phân biệt rõ hai loại chu kì đang xuất hiện trong cùng một bài: chu kì dao động $T$ của vật (thời gian để li độ $x$ trở lại đúng giá trị và chiều chuyển động ban đầu) khác với chu kì biến thiên $T/2$ của năng lượng. Sở dĩ có sự khác nhau này là vì cả $W_đ=\frac12mv^2$ và $W_t=\frac12kx^2$ đều là hàm bậc hai theo $v$ và $x$ : khi vật đi từ biên này sang biên kia (mất nửa chu kì $T/2$ ), li độ $x$ đổi dấu (từ $+A$ sang $-A$ ) nhưng bình phương $x^2$ thì không đổi dấu, nên $W_t$ đã lặp lại đúng hình dạng biến thiên của nó chỉ sau $T/2$ , thay vì phải chờ đủ một chu kì $T$ như bản thân li độ. Đây là một điểm học sinh mới học dễ nhầm: thấy đại lượng "biến đổi tuần hoàn" liền mặc định chu kì của nó bằng $T$ của dao động, trong khi với các đại lượng bậc hai theo li độ hoặc vận tốc thì không phải vậy.

Một vật dao động điều hòa mang hai dạng năng lượng cơ học: động năng, gắn với tốc độ chuyển động của vật, và thế năng đàn hồi, gắn với độ biến dạng của lò xo. Động năng tại một thời điểm bất kì được tính bằng công thức quen thuộc: $$W_đ = \dfrac{1}{2}mv^2$$ với $v$ là tốc độ tức thời của vật tại thời điểm đó. Thế năng đàn hồi, tính theo độ biến dạng của lò xo — mà với con lắc lò xo dao động quanh vị trí cân bằng, độ biến dạng thêm chính là li độ $x$ — được tính bằng: $$W_t = \dfrac{1}{2}kx^2$$ (công thức này cũng có thể viết dưới dạng $W_t=\frac12m\omega^2x^2$, dùng $k=m\omega^2$, tiện lợi khi đề bài cho $\omega$ thay vì $k$). Cả hai đại lượng đều biến thiên theo thời gian khi vật dao động, nhưng biến thiên theo một quy luật đặc biệt: cả $W_đ$ và $W_t$ đều KHÔNG bao giờ âm (vì đều chứa bình phương), và mỗi đại lượng lặp lại giá trị của nó sau mỗi nửa chu kì $T/2$, chứ không phải sau cả chu kì $T$ như li độ hay vận tốc. Điều này dễ hình dung nếu để ý: tại hai thời điểm vật ở hai biên đối xứng $x=+A$ và $x=-A$ (cách nhau đúng nửa chu kì), độ lớn li độ bằng nhau nên $W_t$ bằng nhau; tương tự tại hai thời điểm vật qua vị trí cân bằng theo hai chiều ngược nhau (cũng cách nhau nửa chu kì), tốc độ có cùng độ lớn nên $W_đ$ bằng nhau. Hai đại lượng này còn biến đổi ngược pha nhau: khi vật ở biên ($x=\pm A$), tốc độ bằng 0 (vật vừa dừng lại để đổi chiều), nên $W_đ=0$ trong khi $W_t$ đạt giá trị lớn nhất. Ngược lại, khi vật đi qua vị trí cân bằng ($x=0$), thế năng bằng 0 (vì $W_t=\frac12k\cdot0^2=0$) trong khi tốc độ của vật đạt giá trị lớn nhất, nên $W_đ$ đạt giá trị lớn nhất đúng tại vị trí này. Ở các vị trí trung gian, cả $W_đ$ lẫn $W_t$ đều khác 0 đồng thời — năng lượng lúc đó chia sẻ giữa hai dạng. Đồ thị dưới đây minh hoạ tỉ lệ $W_đ$ và $W_t$ so với tổng năng lượng, biến đổi theo thời gian trong nửa đầu một chu kì dao động. Hai đường cong đối xứng nhau qua đường nằm ngang ở mức $0{,}5$, cắt nhau tại đúng những thời điểm mà $W_đ=W_t$, và mỗi đường lặp lại hình dạng của nó sau mỗi khoảng thời gian bằng $T/2$ — đúng như lập luận ở trên. Cần phân biệt rõ hai loại chu kì đang xuất hiện trong cùng một bài: chu kì dao động $T$ của vật (thời gian để li độ $x$ trở lại đúng giá trị và chiều chuyển động ban đầu) khác với chu kì biến thiên $T/2$ của năng lượng. Sở dĩ có sự khác nhau này là vì cả $W_đ=\frac12mv^2$ và $W_t=\frac12kx^2$ đều là hàm bậc hai theo $v$ và $x$: khi vật đi từ biên này sang biên kia (mất nửa chu kì $T/2$), li độ $x$ đổi dấu (từ $+A$ sang $-A$) nhưng bình phương $x^2$ thì không đổi dấu, nên $W_t$ đã lặp lại đúng hình dạng biến thiên của nó chỉ sau $T/2$, thay vì phải chờ đủ một chu kì $T$ như bản thân li độ. Đây là một điểm học sinh mới học dễ nhầm: thấy đại lượng "biến đổi tuần hoàn" liền mặc định chu kì của nó bằng $T$ của dao động, trong khi với các đại lượng bậc hai theo li độ hoặc vận tốc thì không phải vậy.

Hai đường cong minh hoạ

W_đ/W

và

W_t/W

biến đổi ngược pha nhau, mỗi đường lặp lại sau khoảng thời gian

T/2

; tại mọi thời điểm, tổng hai tỉ lệ này luôn bằng 1.Hai đường cong minh hoạ $W_đ/W$ và $W_t/W$ biến đổi ngược pha nhau, mỗi đường lặp lại sau khoảng thời gian $T/2$; tại mọi thời điểm, tổng hai tỉ lệ này luôn bằng 1.

Ví dụ

Tính động năng và thế năng tại một thời điểm

1
Một con lắc lò xo có $m=0{,}2$ kg, $k=50$ N/m. Tại một thời điểm, vật có li độ $x=3$ cm và tốc độ $v=40$ cm/s. Tính động năng và thế năng của vật tại thời điểm đó.
Một con lắc lò xo có $m=0{,}2$ kg, $k=50$ N/m. Tại một thời điểm, vật có li độ $x=3$ cm và tốc độ $v=40$ cm/s. Tính động năng và thế năng của vật tại thời điểm đó.
2
Đổi về SI: $x=0{,}03$ m, $v=0{,}4$ m/s.
Đổi về SI: $x=0{,}03$ m, $v=0{,}4$ m/s.
3
$W_đ = \frac12 m v^2 = \frac12 \times 0{,}2 \times 0{,}4^2 = 0{,}1 \times 0{,}16 = 0{,}016$ J.
$W_đ = \frac12 m v^2 = \frac12 \times 0{,}2 \times 0{,}4^2 = 0{,}1 \times 0{,}16 = 0{,}016$ J.
4
$W_t = \frac12 k x^2 = \frac12 \times 50 \times 0{,}03^2 = 25 \times 0{,}0009 = 0{,}0225$ J.
$W_t = \frac12 k x^2 = \frac12 \times 50 \times 0{,}03^2 = 25 \times 0{,}0009 = 0{,}0225$ J.
5
Cả hai giá trị đều dương và cùng bậc độ lớn ( $0{,}016$ J và $0{,}0225$ J, cỡ vài phần trăm jun), hợp lí với một dao động biên độ nhỏ. Tổng $W_đ+W_t=0{,}0385$ J — bài sau sẽ chỉ ra tổng này chính là cơ năng, không đổi theo thời gian.
Cả hai giá trị đều dương và cùng bậc độ lớn ($0{,}016$ J và $0{,}0225$ J, cỡ vài phần trăm jun), hợp lí với một dao động biên độ nhỏ. Tổng $W_đ+W_t=0{,}0385$ J — bài sau sẽ chỉ ra tổng này chính là cơ năng, không đổi theo thời gian.
6
Nếu đề cho thêm thời điểm khác cùng con lắc, ví dụ vật đi qua $x=1{,}5$ cm với $v=0{,}45$ m/s, ta tính lại: $W_t=\frac12\times50\times0{,}015^2=0{,}005625$ J, $W_đ=\frac12\times0{,}2\times0{,}45^2=0{,}02025$ J, tổng $\approx0{,}0259$ J — khác với tổng $0{,}0385$ J ở trên. Sự khác biệt này gợi ý hai bộ số liệu không thuộc cùng một dao động (biên độ khác nhau), vì với cùng một con lắc, tổng $W_đ+W_t$ phải luôn bằng đúng một hằng số.
Nếu đề cho thêm thời điểm khác cùng con lắc, ví dụ vật đi qua $x=1{,}5$ cm với $v=0{,}45$ m/s, ta tính lại: $W_t=\frac12\times50\times0{,}015^2=0{,}005625$ J, $W_đ=\frac12\times0{,}2\times0{,}45^2=0{,}02025$ J, tổng $\approx0{,}0259$ J — khác với tổng $0{,}0385$ J ở trên. Sự khác biệt này gợi ý hai bộ số liệu không thuộc cùng một dao động (biên độ khác nhau), vì với cùng một con lắc, tổng $W_đ+W_t$ phải luôn bằng đúng một hằng số.

Ví dụ

Tính năng lượng tại một thời điểm và xác định vị trí Wđ lớn nhất

1
Một con lắc lò xo có $m=0{,}1$ kg, $k=40$ N/m. a) Tại thời điểm vật có li độ $x=2$ cm và tốc độ $v=30$ cm/s, tính $W_đ$ và $W_t$ . b) Tại vị trí nào trên quỹ đạo thì $W_đ$ đạt giá trị lớn nhất? Giải thích.
Một con lắc lò xo có $m=0{,}1$ kg, $k=40$ N/m. a) Tại thời điểm vật có li độ $x=2$ cm và tốc độ $v=30$ cm/s, tính $W_đ$ và $W_t$. b) Tại vị trí nào trên quỹ đạo thì $W_đ$ đạt giá trị lớn nhất? Giải thích.
2
Đổi $x=0{,}02$ m, $v=0{,}3$ m/s. $W_đ=\frac12\times0{,}1\times0{,}3^2 = 0{,}05\times0{,}09=0{,}0045$ J. $W_t=\frac12\times40\times0{,}02^2=20\times0{,}0004=0{,}008$ J.
Đổi $x=0{,}02$ m, $v=0{,}3$ m/s. $W_đ=\frac12\times0{,}1\times0{,}3^2 = 0{,}05\times0{,}09=0{,}0045$ J. $W_t=\frac12\times40\times0{,}02^2=20\times0{,}0004=0{,}008$ J.
3
Thế năng $W_t=\frac12kx^2$ đạt giá trị nhỏ nhất (bằng 0) khi $x=0$ , tức là tại vị trí cân bằng. Vì tổng $W_đ+W_t$ không đổi trong suốt quá trình dao động, tại vị trí cân bằng toàn bộ năng lượng lúc đó nằm dưới dạng động năng — nên $W_đ$ đạt giá trị lớn nhất đúng tại vị trí cân bằng $x=0$ .
Thế năng $W_t=\frac12kx^2$ đạt giá trị nhỏ nhất (bằng 0) khi $x=0$, tức là tại vị trí cân bằng. Vì tổng $W_đ+W_t$ không đổi trong suốt quá trình dao động, tại vị trí cân bằng toàn bộ năng lượng lúc đó nằm dưới dạng động năng — nên $W_đ$ đạt giá trị lớn nhất đúng tại vị trí cân bằng $x=0$.
4
Đây chính là lúc vật đi qua $O$ với tốc độ lớn nhất $v_{max}$ trong toàn bộ quá trình dao động, khớp với nhận xét đã nêu ở phần lí thuyết.
Đây chính là lúc vật đi qua $O$ với tốc độ lớn nhất $v_{max}$ trong toàn bộ quá trình dao động, khớp với nhận xét đã nêu ở phần lí thuyết.
5
Bằng lập luận tương tự, tại vị trí nào thì $W_t$ đạt giá trị lớn nhất? Vì $W_t=\frac12kx^2$ tăng theo $x^2$ , $W_t$ lớn nhất khi $|x|$ lớn nhất, tức là tại hai vị trí biên $x=\pm A$ — đúng là hai vị trí mà ở câu a, nếu thay $x=2$ cm bằng $x=A$ , vật đang dừng lại ( $v=0$ ) nên $W_đ=0$ và toàn bộ năng lượng dồn hết vào $W_t$ .
Bằng lập luận tương tự, tại vị trí nào thì $W_t$ đạt giá trị lớn nhất? Vì $W_t=\frac12kx^2$ tăng theo $x^2$, $W_t$ lớn nhất khi $|x|$ lớn nhất, tức là tại hai vị trí biên $x=\pm A$ — đúng là hai vị trí mà ở câu a, nếu thay $x=2$ cm bằng $x=A$, vật đang dừng lại ($v=0$) nên $W_đ=0$ và toàn bộ năng lượng dồn hết vào $W_t$.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp: quên đổi $x$ và $v$ về đơn vị SI (mét, mét/giây) trước khi thay vào công thức, khiến $W_đ$ hoặc $W_t$ sai lệch hàng trăm hoặc hàng chục nghìn lần. Một sai lầm khác là nhầm vị trí đạt $W_đ$ lớn nhất và $W_t$ lớn nhất — nhớ rằng $W_t$ lớn nhất ở biên (nơi vật đứng yên), còn $W_đ$ lớn nhất ở vị trí cân bằng (nơi vật nhanh nhất), hai vị trí này ngược hẳn với trực giác của nhiều học sinh mới học.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Động năng $W_đ=\frac12mv^2$ lớn nhất tại vị trí cân bằng và bằng 0 tại biên; thế năng $W_t=\frac12kx^2$ thì ngược lại — lớn nhất tại biên và bằng 0 tại vị trí cân bằng. Cả hai đều biến thiên với chu kì $T/2$ , nhanh gấp đôi so với chu kì dao động $T$ của vật.

Động năng $W_đ=\frac12mv^2$ lớn nhất tại vị trí cân bằng và bằng 0 tại biên; thế năng $W_t=\frac12kx^2$ thì ngược lại — lớn nhất tại biên và bằng 0 tại vị trí cân bằng. Cả hai đều biến thiên với chu kì $T/2$, nhanh gấp đôi so với chu kì dao động $T$ của vật.

Bài tiếp theo cộng hai đại lượng này lại với nhau để tìm ra một đại lượng không đổi theo thời gian — cơ năng của dao động điều hòa — và dùng nó để tính nhanh tốc độ tại bất kì li độ nào.