Bài học

Con lắc đơn dao động điều hòa

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em mô tả được cấu tạo con lắc đơn, nêu được điều kiện góc lệch nhỏ để con lắc dao động điều hòa, và viết được biểu thức gần đúng của lực kéo về theo li độ cong $s$ .

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã học lực kéo về của con lắc lò xo $F=-kx$ — tỉ lệ thuận và ngược dấu với li độ, đó là điều kiện để có dao động điều hòa. Bài này xét một hệ dao động khác hẳn về cấu tạo: một vật nhỏ treo vào đầu một sợi dây nhẹ, không dãn, đầu kia cố định — gọi là con lắc đơn. Kiến thức cần dùng lại là cách phân tích một lực thành hai thành phần vuông góc, đã học ở phần lực và chuyển động của lớp 10.

Khởi động

Một chiếc đồng hồ quả lắc cổ hoạt động nhờ một con lắc đơn dao động đều đặn. Nếu kéo quả lắc lệch một góc rất lớn (gần 90°) rồi thả, đồng hồ có còn chạy đúng như khi lệch một góc nhỏ hay không? Vì sao góc lệch lại quan trọng đến vậy?

Kiến thức trọng tâm

Tại vị trí lệch góc $\alpha$ , trọng lực $\vec{P}=m\vec{g}$ tác dụng lên vật được phân tích thành hai thành phần: một thành phần dọc theo dây (bị dây treo cân bằng, không gây chuyển động), và một thành phần vuông góc với dây, có độ lớn $mg\sin\alpha$ , tiếp tuyến với quỹ đạo tại vị trí đó. Chính thành phần $mg\sin\alpha$ này luôn hướng về vị trí cân bằng — bất kể vật đang lệch sang trái hay sang phải — nên nó đóng vai trò lực kéo về của con lắc đơn.

Vấn đề là lực kéo về $mg\sin\alpha$ không tỉ lệ thuận trực tiếp với li độ cong $s$ (vì $\sin\alpha$ không tỉ lệ thuận với $\alpha$ khi $\alpha$ lớn), nên nói chung con lắc đơn KHÔNG dao động điều hòa. Tuy nhiên, khi góc lệch đủ nhỏ — theo quy ước của chương trình phổ thông là $\alpha \le 10°$ — có một xấp xỉ toán học rất hữu ích: $\sin\alpha \approx \alpha$ (radian). Khi đó lực kéo về xấp xỉ bằng: $F \approx -mg\alpha = -mg\dfrac{s}{\ell}$ (dấu trừ được thêm vào vì lực luôn ngược chiều với li độ cong $s$ , giống hệt cách lập luận với con lắc lò xo ở bài trước). Biểu thức này có đúng dạng $F=-\left(\dfrac{mg}{\ell}\right)s$ — tỉ lệ thuận và ngược dấu với li độ $s$ , với hệ số tỉ lệ không đổi $mg/\ell$ đóng vai trò tương tự độ cứng $k$ của lò xo. Vậy, với điều kiện góc lệch nhỏ, con lắc đơn dao động điều hòa theo li độ cong $s$ .

Điều kiện $\alpha \le 10°$ không phải một con số tuỳ tiện: ở góc này, sai số giữa $\sin\alpha$ và $\alpha$ (tính theo radian) nhỏ hơn khoảng $0{,}5\%$ , đủ nhỏ để coi gần đúng là chấp nhận được trong các bài toán phổ thông. Nếu góc lệch lớn hơn 10° — chẳng hạn kéo quả lắc đồng hồ lệch gần 90° như ở phần khởi động — xấp xỉ $\sin\alpha\approx\alpha$ không còn chính xác, lực kéo về không còn tỉ lệ thuận với li độ, và con lắc dao động nhưng KHÔNG còn là dao động điều hòa theo đúng định nghĩa.

Đây là lí do vì sao khi lắp đặt đồng hồ quả lắc, người thợ luôn chỉnh biên độ lắc rất nhỏ (chỉ vài độ) chứ không để quả lắc đung đưa mạnh: giữ góc lệch nhỏ chính là giữ cho con lắc dao động điều hòa, để chu kì ổn định và đồng hồ chạy đúng giờ.

Có một điểm dễ gây nhầm lẫn cần làm rõ: con lắc lò xo ở hai bài trước dao động điều hòa với BẤT KÌ biên độ nào (miễn còn trong giới hạn đàn hồi của lò xo), trong khi con lắc đơn chỉ dao động điều hòa khi biên độ GÓC đủ nhỏ ( $\alpha\le10°$ ). Sự khác biệt này bắt nguồn từ bản chất toán học của hai hệ: lực đàn hồi của lò xo tuân theo định luật Hooke $F=-kx$ một cách CHÍNH XÁC (không phải gần đúng) trong toàn bộ giới hạn đàn hồi, còn lực kéo về của con lắc đơn chỉ TIỆM CẬN dạng tuyến tính $F\approx-mg(s/\ell)$ khi góc lệch đủ nhỏ để xấp xỉ $\sin\alpha\approx\alpha$ có hiệu lực; với góc lớn, con lắc đơn vẫn dao động tuần hoàn (lặp lại theo thời gian) nhưng không còn điều hòa theo đúng định nghĩa toán học đã học.

Con lắc đơn gồm một vật nhỏ khối lượng $m$ (coi như chất điểm) treo vào đầu một sợi dây mảnh, không dãn, chiều dài $\ell$, đầu kia của dây cố định. Khi kéo vật lệch khỏi phương thẳng đứng một góc $\alpha$ rồi thả nhẹ, vật dao động qua lại quanh vị trí cân bằng (vị trí dây thẳng đứng) trên một cung tròn bán kính $\ell$. Vị trí của vật trên cung tròn đó được xác định bằng li độ cong $s$ — độ dài cung tính từ vị trí cân bằng đến vị trí hiện tại của vật, liên hệ với góc lệch bởi $s=\ell\alpha$ (với $\alpha$ tính bằng radian). Tại vị trí lệch góc $\alpha$, trọng lực $\vec{P}=m\vec{g}$ tác dụng lên vật được phân tích thành hai thành phần: một thành phần dọc theo dây (bị dây treo cân bằng, không gây chuyển động), và một thành phần vuông góc với dây, có độ lớn $mg\sin\alpha$, tiếp tuyến với quỹ đạo tại vị trí đó. Chính thành phần $mg\sin\alpha$ này luôn hướng về vị trí cân bằng — bất kể vật đang lệch sang trái hay sang phải — nên nó đóng vai trò lực kéo về của con lắc đơn. Vấn đề là lực kéo về $mg\sin\alpha$ không tỉ lệ thuận trực tiếp với li độ cong $s$ (vì $\sin\alpha$ không tỉ lệ thuận với $\alpha$ khi $\alpha$ lớn), nên nói chung con lắc đơn KHÔNG dao động điều hòa. Tuy nhiên, khi góc lệch đủ nhỏ — theo quy ước của chương trình phổ thông là $\alpha \le 10°$ — có một xấp xỉ toán học rất hữu ích: $\sin\alpha \approx \alpha$ (radian). Khi đó lực kéo về xấp xỉ bằng: $$F \approx -mg\alpha = -mg\dfrac{s}{\ell}$$ (dấu trừ được thêm vào vì lực luôn ngược chiều với li độ cong $s$, giống hệt cách lập luận với con lắc lò xo ở bài trước). Biểu thức này có đúng dạng $F=-\left(\dfrac{mg}{\ell}\right)s$ — tỉ lệ thuận và ngược dấu với li độ $s$, với hệ số tỉ lệ không đổi $mg/\ell$ đóng vai trò tương tự độ cứng $k$ của lò xo. Vậy, với điều kiện góc lệch nhỏ, con lắc đơn dao động điều hòa theo li độ cong $s$. Điều kiện $\alpha \le 10°$ không phải một con số tuỳ tiện: ở góc này, sai số giữa $\sin\alpha$ và $\alpha$ (tính theo radian) nhỏ hơn khoảng $0{,}5\%$, đủ nhỏ để coi gần đúng là chấp nhận được trong các bài toán phổ thông. Nếu góc lệch lớn hơn 10° — chẳng hạn kéo quả lắc đồng hồ lệch gần 90° như ở phần khởi động — xấp xỉ $\sin\alpha\approx\alpha$ không còn chính xác, lực kéo về không còn tỉ lệ thuận với li độ, và con lắc dao động nhưng KHÔNG còn là dao động điều hòa theo đúng định nghĩa. Đây là lí do vì sao khi lắp đặt đồng hồ quả lắc, người thợ luôn chỉnh biên độ lắc rất nhỏ (chỉ vài độ) chứ không để quả lắc đung đưa mạnh: giữ góc lệch nhỏ chính là giữ cho con lắc dao động điều hòa, để chu kì ổn định và đồng hồ chạy đúng giờ. Có một điểm dễ gây nhầm lẫn cần làm rõ: con lắc lò xo ở hai bài trước dao động điều hòa với BẤT KÌ biên độ nào (miễn còn trong giới hạn đàn hồi của lò xo), trong khi con lắc đơn chỉ dao động điều hòa khi biên độ GÓC đủ nhỏ ($\alpha\le10°$). Sự khác biệt này bắt nguồn từ bản chất toán học của hai hệ: lực đàn hồi của lò xo tuân theo định luật Hooke $F=-kx$ một cách CHÍNH XÁC (không phải gần đúng) trong toàn bộ giới hạn đàn hồi, còn lực kéo về của con lắc đơn chỉ TIỆM CẬN dạng tuyến tính $F\approx-mg(s/\ell)$ khi góc lệch đủ nhỏ để xấp xỉ $\sin\alpha\approx\alpha$ có hiệu lực; với góc lớn, con lắc đơn vẫn dao động tuần hoàn (lặp lại theo thời gian) nhưng không còn điều hòa theo đúng định nghĩa toán học đã học.

Ví dụ

Kiểm tra điều kiện góc nhỏ và tính li độ cong ban đầu

1
Một con lắc đơn có chiều dài $\ell=1$ m, được kéo lệch đến góc $\alpha=5°$ rồi thả nhẹ. Kiểm tra xem con lắc có dao động điều hòa hay không, và tính li độ cong ban đầu $s_0$ .
Một con lắc đơn có chiều dài $\ell=1$ m, được kéo lệch đến góc $\alpha=5°$ rồi thả nhẹ. Kiểm tra xem con lắc có dao động điều hòa hay không, và tính li độ cong ban đầu $s_0$.
2
Ta có $\alpha=5° < 10°$ , thoả điều kiện góc lệch nhỏ của chương trình phổ thông.
Ta có $\alpha=5° < 10°$, thoả điều kiện góc lệch nhỏ của chương trình phổ thông.
3
Đổi $\alpha=5° = 5 \times \pi/180 \approx 0{,}0873$ rad. Li độ cong ban đầu (cũng là biên độ cong) $s_0 = \ell\alpha \approx 1 \times 0{,}0873 = 0{,}0873$ m $\approx 8{,}7$ cm.
Đổi $\alpha=5° = 5 \times \pi/180 \approx 0{,}0873$ rad. Li độ cong ban đầu (cũng là biên độ cong) $s_0 = \ell\alpha \approx 1 \times 0{,}0873 = 0{,}0873$ m $\approx 8{,}7$ cm.
4
Vì $\alpha=5°\le 10°$ , lực kéo về xấp xỉ $F\approx -mg(s/\ell)$ , tỉ lệ thuận và ngược dấu với $s$ . Vậy con lắc dao động điều hòa với biên độ cong $s_0 \approx 8{,}7$ cm.
Vì $\alpha=5°\le 10°$, lực kéo về xấp xỉ $F\approx -mg(s/\ell)$, tỉ lệ thuận và ngược dấu với $s$. Vậy con lắc dao động điều hòa với biên độ cong $s_0 \approx 8{,}7$ cm.
5
So sánh $s_0\approx8{,}7$ cm với chiều dài dây $\ell=1$ m: biên độ cong chỉ bằng chưa đến $9\%$ chiều dài dây, một tỉ lệ nhỏ hợp lí với một dao động biên độ nhỏ như đề bài mô tả, càng củng cố việc áp dụng xấp xỉ góc nhỏ ở đây là an toàn.
So sánh $s_0\approx8{,}7$ cm với chiều dài dây $\ell=1$ m: biên độ cong chỉ bằng chưa đến $9\%$ chiều dài dây, một tỉ lệ nhỏ hợp lí với một dao động biên độ nhỏ như đề bài mô tả, càng củng cố việc áp dụng xấp xỉ góc nhỏ ở đây là an toàn.

Ví dụ

Xác định góc lệch từ li độ cong và kiểm tra điều kiện điều hòa

1
Một con lắc đơn dài $\ell=0{,}8$ m được kéo lệch đến vị trí có li độ cong $s_0=10$ cm rồi thả nhẹ. Xác định góc lệch ban đầu và cho biết con lắc có dao động điều hòa hay không.
Một con lắc đơn dài $\ell=0{,}8$ m được kéo lệch đến vị trí có li độ cong $s_0=10$ cm rồi thả nhẹ. Xác định góc lệch ban đầu và cho biết con lắc có dao động điều hòa hay không.
2
Từ $s_0=\ell\alpha$ , suy ra $\alpha = s_0/\ell = 0{,}10/0{,}8 = 0{,}125$ rad. Đổi sang độ: $\alpha = 0{,}125 \times 180/\pi \approx 7{,}16°$ .
Từ $s_0=\ell\alpha$, suy ra $\alpha = s_0/\ell = 0{,}10/0{,}8 = 0{,}125$ rad. Đổi sang độ: $\alpha = 0{,}125 \times 180/\pi \approx 7{,}16°$.
3
So sánh với điều kiện góc nhỏ: $7{,}16° < 10°$ , vẫn thoả điều kiện.
So sánh với điều kiện góc nhỏ: $7{,}16° < 10°$, vẫn thoả điều kiện.
4
Vậy con lắc đơn này dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng, với biên độ cong $s_0=10$ cm và biên độ góc $\alpha_0\approx7{,}16°$ .
Vậy con lắc đơn này dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng, với biên độ cong $s_0=10$ cm và biên độ góc $\alpha_0\approx7{,}16°$.
5
Nếu đề đổi $s_0$ thành $s_0=14$ cm (giữ nguyên $\ell=0{,}8$ m), góc lệch sẽ là $\alpha=0{,}14/0{,}8=0{,}175$ rad $\approx10{,}03°$ , vừa vượt quá $10°$ — cho thấy điều kiện góc nhỏ có thể bị phá vỡ chỉ với một thay đổi nhỏ của li độ cong ban đầu, nên luôn phải kiểm tra lại điều kiện này với từng bộ số liệu cụ thể, không suy luận từ bài trước.
Nếu đề đổi $s_0$ thành $s_0=14$ cm (giữ nguyên $\ell=0{,}8$ m), góc lệch sẽ là $\alpha=0{,}14/0{,}8=0{,}175$ rad $\approx10{,}03°$, vừa vượt quá $10°$ — cho thấy điều kiện góc nhỏ có thể bị phá vỡ chỉ với một thay đổi nhỏ của li độ cong ban đầu, nên luôn phải kiểm tra lại điều kiện này với từng bộ số liệu cụ thể, không suy luận từ bài trước.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp: cho rằng con lắc đơn LUÔN dao động điều hòa bất kể góc lệch bao nhiêu — thực ra điều kiện $\alpha\le10°$ là bắt buộc, nếu đề cho góc lệch lớn hơn (ví dụ 30°, 45°) thì công thức $F\approx-mg(s/\ell)$ không còn áp dụng được. Một sai lầm khác là nhầm lẫn giữa li độ cong $s$ (đơn vị mét, đo dọc theo cung tròn) và góc lệch $\alpha$ (đơn vị radian hoặc độ) — hai đại lượng liên hệ với nhau qua $s=\ell\alpha$ chứ không bằng nhau.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Con lắc đơn dao động điều hòa khi góc lệch đủ nhỏ ( $\alpha\le10°$ ), vì khi đó $\sin\alpha\approx\alpha$ và lực kéo về xấp xỉ $F\approx-mg(s/\ell)$ — tỉ lệ thuận và ngược dấu với li độ cong $s$ , giống hệt dạng lực kéo về của con lắc lò xo.

Con lắc đơn dao động điều hòa khi góc lệch đủ nhỏ ($\alpha\le10°$), vì khi đó $\sin\alpha\approx\alpha$ và lực kéo về xấp xỉ $F\approx-mg(s/\ell)$ — tỉ lệ thuận và ngược dấu với li độ cong $s$, giống hệt dạng lực kéo về của con lắc lò xo.

Bài tiếp theo tìm công thức chu kì của con lắc đơn khi đã thoả điều kiện góc nhỏ này, và so sánh với công thức chu kì của con lắc lò xo đã học.