Bài học

Đặc điểm và nguyên nhân dao động tắt dần

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em mô tả được đặc điểm của dao động tắt dần — biên độ giảm dần theo thời gian — giải thích được nguyên nhân là do lực cản của môi trường làm tiêu hao cơ năng thành nhiệt năng, và phân biệt được dao động tắt dần với dao động điều hòa lí tưởng đã học ở các bài trước.

Kiến thức nền cần nhớ

(same-grade bridge) Ở các bài trước cùng chương trình lớp 11, ta đã xét con lắc lò xo và con lắc đơn dao động điều hòa trong điều kiện lí tưởng: bỏ qua mọi lực cản, cơ năng $W = \frac{1}{2}kA^2$ được bảo toàn và biên độ $A$ không đổi mãi mãi. Trong thực tế, mọi con lắc đều chịu lực cản của môi trường (ma sát với không khí, ma sát tại điểm treo, sức cản của chất lỏng), nên biên độ không thể giữ nguyên vô hạn. Bài này xét đúng điều đã bị bỏ qua đó. Cần nhớ thêm: dao động điều hòa lí tưởng là một mô hình đơn giản hóa rất hữu ích để rút ra phương trình $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ và các công thức về chu kì, năng lượng — nhưng không một con lắc thật nào trong đời sống dao động mãi mãi mà không tắt. Việc học dao động tắt dần chính là bước đưa mô hình lí tưởng đó trở lại gần với thực tế hơn.

Khởi động

Đẩy nhẹ một chiếc xích đu ở sân trường rồi buông tay, không đẩy thêm lần nào nữa. Sau vài chục giây, xích đu còn đung đưa với cùng độ cao như lúc đầu không, hay biên độ cứ nhỏ dần rồi dừng hẳn? Hãy đoán nguyên nhân trước khi đọc tiếp.

Kiến thức trọng tâm

Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian. Nguyên nhân là lực cản của môi trường — ma sát, lực cản không khí, lực cản của chất lỏng — luôn ngược chiều chuyển động của vật nên sinh công âm lên hệ. Theo định luật bảo toàn năng lượng, cơ năng của hệ không tự nhiên mất đi mà chuyển hóa dần thành nhiệt năng tỏa ra môi trường xung quanh, đúng bằng phần công âm mà lực cản đã sinh ra.

Vì cơ năng của một con lắc lò xo là $W = \frac{1}{2}kA^2$ , tỉ lệ với bình phương biên độ, nên khi $W$ giảm thì $A$ cũng phải giảm theo. Lực cản càng lớn, cơ năng mất đi trong mỗi chu kì càng nhiều, biên độ giảm càng nhanh và dao động tắt càng sớm — ví dụ một con lắc dao động trong nước tắt nhanh hơn hẳn so với chính con lắc đó dao động trong không khí, vì nước cản trở chuyển động mạnh hơn không khí rất nhiều.

Một điểm cần phân biệt rõ: khi lực cản còn nhỏ, chu kì (hay tần số) của dao động tắt dần gần như không đổi so với dao động điều hòa lí tưởng cùng hệ; chỉ có biên độ là đại lượng thay đổi rõ rệt theo thời gian, còn nhịp dao động (khoảng thời gian giữa hai lần vật đi qua vị trí cân bằng) hầu như giữ nguyên cho đến khi dao động tắt hẳn.

Trong phòng thực hành, người ta nhận ra một dao động là tắt dần bằng cách đo biên độ ở những thời điểm cách đều nhau — chẳng hạn sau mỗi chu kì — rồi lập tỉ số giữa hai biên độ đo liên tiếp. Nếu lực cản của môi trường tỉ lệ với tốc độ của vật (trường hợp phổ biến với vật chuyển động chậm trong không khí hoặc chất lỏng nhớt), tỉ số đó gần như không đổi qua nhiều lần đo: biên độ giảm gần đúng theo một cấp số nhân, nghĩa là cứ sau mỗi khoảng thời gian bằng nhau, biên độ lại được nhân với cùng một hệ số nhỏ hơn 1. Đây chính là quy luật dùng để tính toán trong các bài tập dưới đây; công thức toán học đầy đủ mô tả lực cản theo tốc độ không thuộc yêu cầu của chương trình lớp 11, nên ta chỉ cần nắm quy luật thực nghiệm này để giải bài tập.

**Dao động tắt dần** là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian. Nguyên nhân là lực cản của môi trường — ma sát, lực cản không khí, lực cản của chất lỏng — luôn ngược chiều chuyển động của vật nên sinh công âm lên hệ. Theo định luật bảo toàn năng lượng, cơ năng của hệ không tự nhiên mất đi mà chuyển hóa dần thành nhiệt năng tỏa ra môi trường xung quanh, đúng bằng phần công âm mà lực cản đã sinh ra. Vì cơ năng của một con lắc lò xo là $W = \frac{1}{2}kA^2$, tỉ lệ với bình phương biên độ, nên khi $W$ giảm thì $A$ cũng phải giảm theo. Lực cản càng lớn, cơ năng mất đi trong mỗi chu kì càng nhiều, biên độ giảm càng nhanh và dao động tắt càng sớm — ví dụ một con lắc dao động trong nước tắt nhanh hơn hẳn so với chính con lắc đó dao động trong không khí, vì nước cản trở chuyển động mạnh hơn không khí rất nhiều. Một điểm cần phân biệt rõ: khi lực cản còn nhỏ, chu kì (hay tần số) của dao động tắt dần gần như không đổi so với dao động điều hòa lí tưởng cùng hệ; chỉ có biên độ là đại lượng thay đổi rõ rệt theo thời gian, còn nhịp dao động (khoảng thời gian giữa hai lần vật đi qua vị trí cân bằng) hầu như giữ nguyên cho đến khi dao động tắt hẳn. Trong phòng thực hành, người ta nhận ra một dao động là tắt dần bằng cách đo biên độ ở những thời điểm cách đều nhau — chẳng hạn sau mỗi chu kì — rồi lập tỉ số giữa hai biên độ đo liên tiếp. Nếu lực cản của môi trường tỉ lệ với tốc độ của vật (trường hợp phổ biến với vật chuyển động chậm trong không khí hoặc chất lỏng nhớt), tỉ số đó gần như không đổi qua nhiều lần đo: biên độ giảm gần đúng theo một cấp số nhân, nghĩa là cứ sau mỗi khoảng thời gian bằng nhau, biên độ lại được nhân với cùng một hệ số nhỏ hơn 1. Đây chính là quy luật dùng để tính toán trong các bài tập dưới đây; công thức toán học đầy đủ mô tả lực cản theo tốc độ không thuộc yêu cầu của chương trình lớp 11, nên ta chỉ cần nắm quy luật thực nghiệm này để giải bài tập.

Mỗi điểm là đỉnh biên độ (giá trị lớn nhất của li độ) tại một nửa chu kì; đường nối các đỉnh cho thấy rõ biên độ giảm dần theo thời gian.

Ví dụ

Tính biên độ dao động tắt dần theo thời gian

1
Một con lắc lò xo dao động tắt dần trong không khí với biên độ ban đầu $A_0 = 5$ cm. Do lực cản nhỏ và không đổi, cứ sau mỗi $0{,}5$ s biên độ lại còn một nửa so với $0{,}5$ s trước đó. Tính biên độ tại $t = 1$ s và $t = 2$ s, nêu ý nghĩa của kết quả.
Một con lắc lò xo dao động tắt dần trong không khí với biên độ ban đầu $A_0 = 5$ cm. Do lực cản nhỏ và không đổi, cứ sau mỗi $0{,}5$ s biên độ lại còn một nửa so với $0{,}5$ s trước đó. Tính biên độ tại $t = 1$ s và $t = 2$ s, nêu ý nghĩa của kết quả.
2
Ta có $A(0) = 5$ cm. Áp dụng đúng quy luật còn một nửa mỗi $0{,}5$ s: $A(0{,}5) = 2{,}5$ cm; $A(1) = 1{,}25$ cm; $A(1{,}5) = 0{,}625$ cm; $A(2) = 0{,}3125$ cm.
Ta có $A(0) = 5$ cm. Áp dụng đúng quy luật còn một nửa mỗi $0{,}5$ s: $A(0{,}5) = 2{,}5$ cm; $A(1) = 1{,}25$ cm; $A(1{,}5) = 0{,}625$ cm; $A(2) = 0{,}3125$ cm.
3
Vì $W \sim A^2$ , tỉ số cơ năng còn lại ở $t=1$ s so với ban đầu là $\left(\dfrac{1{,}25}{5}\right)^2 = 0{,}0625$ , tức chỉ còn $6{,}25\%$ cơ năng, nghĩa là $93{,}75\%$ cơ năng đã chuyển hóa thành nhiệt. Kết quả này phù hợp với việc biên độ giảm rất nhanh — đúng chiều vật lí đã học.
Vì $W \sim A^2$, tỉ số cơ năng còn lại ở $t=1$ s so với ban đầu là $\left(\dfrac{1{,}25}{5}\right)^2 = 0{,}0625$, tức chỉ còn $6{,}25\%$ cơ năng, nghĩa là $93{,}75\%$ cơ năng đã chuyển hóa thành nhiệt. Kết quả này phù hợp với việc biên độ giảm rất nhanh — đúng chiều vật lí đã học.
4
Vậy tại $t=1$ s, biên độ còn $1{,}25$ cm; tại $t=2$ s, biên độ chỉ còn khoảng $0{,}31$ cm — rất nhỏ so với $5$ cm ban đầu, coi như dao động đã tắt hẳn.
Vậy tại $t=1$ s, biên độ còn $1{,}25$ cm; tại $t=2$ s, biên độ chỉ còn khoảng $0{,}31$ cm — rất nhỏ so với $5$ cm ban đầu, coi như dao động đã tắt hẳn.

Ví dụ

Xác định tỉ lệ giảm biên độ mỗi chu kì (dạng đề kiểm tra)

1
Một con lắc lò xo dao động tắt dần có biên độ ban đầu $A_0 = 8$ cm. Sau 3 chu kì dao động, biên độ đo được còn $4{,}10$ cm. Biết tỉ lệ giảm biên độ là như nhau sau mỗi chu kì. a) Tính tỉ lệ giảm biên độ mỗi chu kì. b) Dự đoán biên độ sau 6 chu kì.
Một con lắc lò xo dao động tắt dần có biên độ ban đầu $A_0 = 8$ cm. Sau 3 chu kì dao động, biên độ đo được còn $4{,}10$ cm. Biết tỉ lệ giảm biên độ là như nhau sau mỗi chu kì. a) Tính tỉ lệ giảm biên độ mỗi chu kì. b) Dự đoán biên độ sau 6 chu kì.
2
Gọi $k$ ( $0 < k < 1$ ) là tỉ lệ biên độ còn lại sau mỗi chu kì. Ta có $A_3 = A_0 \cdot k^3$ , suy ra $k^3 = 4{,}10 / 8 = 0{,}5125$ .
Gọi $k$ ($0 < k < 1$) là tỉ lệ biên độ còn lại sau mỗi chu kì. Ta có $A_3 = A_0 \cdot k^3$, suy ra $k^3 = 4{,}10 / 8 = 0{,}5125$.
3
Từ đó $k = \sqrt[3]{0{,}5125} \approx 0{,}80$ . Vậy mỗi chu kì, biên độ còn lại khoảng $80\%$ biên độ chu kì trước.
Từ đó $k = \sqrt[3]{0{,}5125} \approx 0{,}80$. Vậy mỗi chu kì, biên độ còn lại khoảng $80\%$ biên độ chu kì trước.
4
$A_6 = A_0 \cdot k^6 = 8 \times 0{,}80^6 = 8 \times 0{,}262144 \approx 2{,}10$ cm.
$A_6 = A_0 \cdot k^6 = 8 \times 0{,}80^6 = 8 \times 0{,}262144 \approx 2{,}10$ cm.
5
Ta có $A_6 \approx 2{,}10$ cm $< A_3 = 4{,}10$ cm $< A_0 = 8$ cm — biên độ giảm liên tục theo đúng chiều tắt dần, và $k \approx 0{,}80 < 1$ khẳng định hệ đang mất dần cơ năng.
Ta có $A_6 \approx 2{,}10$ cm $< A_3 = 4{,}10$ cm $< A_0 = 8$ cm — biên độ giảm liên tục theo đúng chiều tắt dần, và $k \approx 0{,}80 < 1$ khẳng định hệ đang mất dần cơ năng.
6
Vậy mỗi chu kì biên độ còn khoảng $80\%$ biên độ chu kì trước, và sau 6 chu kì biên độ còn khoảng $2{,}10$ cm.
Vậy mỗi chu kì biên độ còn khoảng $80\%$ biên độ chu kì trước, và sau 6 chu kì biên độ còn khoảng $2{,}10$ cm.

Ví dụ

Nhận biết dao động tắt dần từ bảng số liệu đo được

1
Đo biên độ của một con lắc lò xo tại các thời điểm cách đều $1$ chu kì: $A_1 = 9$ cm, $A_2 = 7{,}2$ cm, $A_3 = 5{,}76$ cm. Dữ liệu này có phù hợp với một dao động tắt dần có tỉ lệ giảm không đổi mỗi chu kì hay không?
Đo biên độ của một con lắc lò xo tại các thời điểm cách đều $1$ chu kì: $A_1 = 9$ cm, $A_2 = 7{,}2$ cm, $A_3 = 5{,}76$ cm. Dữ liệu này có phù hợp với một dao động tắt dần có tỉ lệ giảm không đổi mỗi chu kì hay không?
2
$A_2/A_1 = 7{,}2/9 = 0{,}8$ ; $A_3/A_2 = 5{,}76/7{,}2 = 0{,}8$ .
$A_2/A_1 = 7{,}2/9 = 0{,}8$; $A_3/A_2 = 5{,}76/7{,}2 = 0{,}8$.
3
Cả hai tỉ số liên tiếp đều bằng $0{,}8$ , không đổi qua các chu kì — đúng dấu hiệu của dao động tắt dần với tỉ lệ giảm không đổi $k = 0{,}8$ mỗi chu kì.
Cả hai tỉ số liên tiếp đều bằng $0{,}8$, không đổi qua các chu kì — đúng dấu hiệu của dao động tắt dần với tỉ lệ giảm không đổi $k = 0{,}8$ mỗi chu kì.
4
Vậy dữ liệu phù hợp với một dao động tắt dần có $k = 0{,}8$ không đổi mỗi chu kì; nếu tỉ số này không đều nhau qua các lần đo, đó là dấu hiệu lực cản không tỉ lệ đơn giản với tốc độ, hoặc có sai số đo.
Vậy dữ liệu phù hợp với một dao động tắt dần có $k = 0{,}8$ không đổi mỗi chu kì; nếu tỉ số này không đều nhau qua các lần đo, đó là dấu hiệu lực cản không tỉ lệ đơn giản với tốc độ, hoặc có sai số đo.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp: nghĩ rằng chu kì hoặc tần số của dao động tắt dần cũng thay đổi giống như biên độ — thực ra khi lực cản còn nhỏ, chu kì gần như không đổi, chỉ biên độ giảm rõ rệt. Sai lầm thứ hai: nghĩ cơ năng bị mất đi 'biến mất' — thực ra nó chuyển hóa thành nhiệt năng chứ không tự sinh ra hay tự tiêu biến theo định luật bảo toàn năng lượng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Dao động tắt dần có biên độ giảm dần theo thời gian do lực cản của môi trường làm tiêu hao cơ năng thành nhiệt năng. Lực cản càng lớn, biên độ giảm càng nhanh, dao động tắt càng sớm; khi lực cản còn nhỏ, chu kì gần như không đổi.

Bài tiếp theo dùng đúng đặc điểm 'lực cản làm tắt dần' vừa học để lí giải vì sao người ta chủ động tạo ra dao động tắt dần thật nhanh trong bộ giảm xóc ô tô, và tính mức cơ năng đã tiêu hao trong những bài toán dạng đề kiểm tra.