Bài học

Định luật Boyle

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được định luật Boyle, nhận ra dấu hiệu để biết một quá trình biến đổi khí là đẳng nhiệt, và tính được áp suất hoặc thể tích của một lượng khí xác định khi nó bị nén hoặc giãn ở nhiệt độ không đổi.

Kiến thức nền cần nhớ

Khoá học trước đã dựng thuyết động học phân tử chất khí: áp suất một chất khí tác dụng lên thành bình sinh ra từ vô số phân tử khí va chạm liên tục vào thành bình đó (same-grade bridge). Số va chạm trong một giây và động năng trung bình của mỗi phân tử càng lớn thì áp suất càng lớn. Bài này dùng đúng bức tranh phân tử ấy để trả lời một câu hỏi cụ thể: nếu nén một lượng khí vào một thể tích nhỏ hơn mà vẫn giữ nhiệt độ không đổi, áp suất của nó thay đổi theo quy luật nào?

Khởi động

Em bịt kín đầu ra của một xi-lanh bơm tiêm rồi từ từ ấn pit-tông vào. Càng ấn sâu, tay càng cảm thấy khó ấn hơn — không khí bên trong "chống lại" mạnh hơn. Tay em không hề làm nóng khối khí đó lên đáng kể, vậy vì sao áp suất của nó lại tăng?

Kiến thức trọng tâm

Một quá trình biến đổi trạng thái khí trong đó nhiệt độ của khối khí được giữ không đổi trong suốt quá trình gọi là quá trình đẳng nhiệt. Với thuyết động học phân tử, nhiệt độ không đổi có nghĩa động năng trung bình của các phân tử khí không đổi, tức tốc độ trung bình của chúng cũng không đổi. Khi nén khối khí đó vào một thể tích nhỏ hơn nhưng số phân tử vẫn giữ nguyên, mật độ phân tử trong bình tăng lên: mỗi phân tử phải đi một quãng đường ngắn hơn giữa hai lần va vào thành bình liên tiếp, nên số va chạm lên một đơn vị diện tích thành bình trong một giây tăng lên. Chính điều đó làm áp suất tăng, dù tốc độ từng phân tử không đổi.

Nhà vật lí Robert Boyle là người đầu tiên đo đạc và phát biểu chính xác quy luật định lượng này: với một lượng khí xác định ở nhiệt độ không đổi, tích của áp suất và thể tích của khối khí đó là một hằng số. Viết dưới dạng công thức: $pV = \text{hằng số}$ , hay giữa hai trạng thái 1 và 2 của cùng một lượng khí ở cùng nhiệt độ: $p_1V_1 = p_2V_2$ . Từ đây suy ra ngay: nếu thể tích giảm đi bao nhiêu lần thì áp suất tăng lên đúng bấy nhiêu lần, và ngược lại — áp suất và thể tích tỉ lệ nghịch với nhau.

Định luật Boyle chỉ đúng khi có đủ hai điều kiện đi kèm, thiếu một trong hai là công thức không còn áp dụng được: (1) khối lượng khí không đổi — không được để khí thoát ra ngoài hay bơm thêm khí vào giữa hai trạng thái; (2) nhiệt độ không đổi trong suốt quá trình. Nếu vừa nén vừa làm nóng khối khí, áp suất sẽ tăng còn nhanh hơn mức định luật Boyle dự đoán, và khi đó phải dùng một công thức tổng quát hơn mà em sẽ gặp ở chương sau.

Một quá trình biến đổi trạng thái khí trong đó nhiệt độ của khối khí được giữ không đổi trong suốt quá trình gọi là **quá trình đẳng nhiệt**. Với thuyết động học phân tử, nhiệt độ không đổi có nghĩa động năng trung bình của các phân tử khí không đổi, tức tốc độ trung bình của chúng cũng không đổi. Khi nén khối khí đó vào một thể tích nhỏ hơn nhưng số phân tử vẫn giữ nguyên, mật độ phân tử trong bình tăng lên: mỗi phân tử phải đi một quãng đường ngắn hơn giữa hai lần va vào thành bình liên tiếp, nên số va chạm lên một đơn vị diện tích thành bình trong một giây tăng lên. Chính điều đó làm áp suất tăng, dù tốc độ từng phân tử không đổi. Nhà vật lí Robert Boyle là người đầu tiên đo đạc và phát biểu chính xác quy luật định lượng này: **với một lượng khí xác định ở nhiệt độ không đổi, tích của áp suất và thể tích của khối khí đó là một hằng số**. Viết dưới dạng công thức: $pV = \text{hằng số}$, hay giữa hai trạng thái 1 và 2 của cùng một lượng khí ở cùng nhiệt độ: $p_1V_1 = p_2V_2$. Từ đây suy ra ngay: nếu thể tích giảm đi bao nhiêu lần thì áp suất tăng lên đúng bấy nhiêu lần, và ngược lại — áp suất và thể tích tỉ lệ nghịch với nhau. Định luật Boyle chỉ đúng khi có đủ hai điều kiện đi kèm, thiếu một trong hai là công thức không còn áp dụng được: (1) khối lượng khí không đổi — không được để khí thoát ra ngoài hay bơm thêm khí vào giữa hai trạng thái; (2) nhiệt độ không đổi trong suốt quá trình. Nếu vừa nén vừa làm nóng khối khí, áp suất sẽ tăng còn nhanh hơn mức định luật Boyle dự đoán, và khi đó phải dùng một công thức tổng quát hơn mà em sẽ gặp ở chương sau.

Ta có thể làm bức tranh phân tử ở trên chặt chẽ hơn bằng một lập luận định lượng. Áp suất khí lên thành bình tỉ lệ với hai yếu tố: mật độ phân tử $N/V$ ( $N$ là số phân tử, không đổi vì lượng khí không đổi) và bình phương tốc độ trung bình của phân tử $\overline{v^2}$ (đại lượng chỉ phụ thuộc nhiệt độ) — viết gọn $p \propto \dfrac{N}{V}\overline{v^2}$ . Ở nhiệt độ không đổi, $\overline{v^2}$ không đổi, nên $p \propto 1/V$ — đúng là nội dung định luật Boyle. Thử với một trường hợp giới hạn để hiểu ranh giới của định luật: nếu nén khối khí xuống thể tích cực nhỏ mà vẫn giữ nguyên nhiệt độ, công thức $p=\text{hằng số}/V$ dự đoán áp suất tăng tới vô hạn khi $V \to 0$ . Điều đó không xảy ra với khí thật — ở mật độ đủ lớn, bản thân các phân tử bắt đầu chiếm một phần thể tích đáng kể và hút/đẩy lẫn nhau, nên mô hình khí lí tưởng (coi phân tử là chất điểm, bỏ qua lực tương tác) không còn chính xác. Vì vậy định luật Boyle là một mô hình gần đúng, đúng tốt nhất khi khí đủ loãng — áp suất không quá cao và nhiệt độ không quá gần điểm hoá lỏng của chất khí đó.

Ta có thể làm bức tranh phân tử ở trên chặt chẽ hơn bằng một lập luận định lượng. Áp suất khí lên thành bình tỉ lệ với hai yếu tố: mật độ phân tử $N/V$ ($N$ là số phân tử, không đổi vì lượng khí không đổi) và bình phương tốc độ trung bình của phân tử $\overline{v^2}$ (đại lượng chỉ phụ thuộc nhiệt độ) — viết gọn $p \propto \dfrac{N}{V}\overline{v^2}$. Ở nhiệt độ không đổi, $\overline{v^2}$ không đổi, nên $p \propto 1/V$ — đúng là nội dung định luật Boyle. Thử với một trường hợp giới hạn để hiểu ranh giới của định luật: nếu nén khối khí xuống thể tích cực nhỏ mà vẫn giữ nguyên nhiệt độ, công thức $p=\text{hằng số}/V$ dự đoán áp suất tăng tới vô hạn khi $V \to 0$. Điều đó không xảy ra với khí thật — ở mật độ đủ lớn, bản thân các phân tử bắt đầu chiếm một phần thể tích đáng kể và hút/đẩy lẫn nhau, nên mô hình khí lí tưởng (coi phân tử là chất điểm, bỏ qua lực tương tác) không còn chính xác. Vì vậy định luật Boyle là một mô hình gần đúng, đúng tốt nhất khi khí đủ loãng — áp suất không quá cao và nhiệt độ không quá gần điểm hoá lỏng của chất khí đó.

Đường đặc trưng của quá trình đẳng nhiệt luôn là một nhánh hyperbol vì

p = \dfrac{\text{hằng số}}{V}

; đường càng gần trục tung tương ứng khối khí bị nén càng nhỏ.Đường đặc trưng của quá trình đẳng nhiệt luôn là một nhánh hyperbol vì $p = \dfrac{\text{hằng số}}{V}$; đường càng gần trục tung tương ứng khối khí bị nén càng nhỏ.

Ví dụ

Nén khí trong xi-lanh bơm tiêm

1
Một xi-lanh bơm tiêm chứa 40 cm³ không khí ở áp suất khí quyển $p_1 = 1{,}0 \times 10^5$ Pa. Bịt kín đầu ra rồi ấn pit-tông cho thể tích khí còn lại 25 cm³, nhiệt độ coi như không đổi trong suốt quá trình ấn. Tính áp suất khí sau khi nén.
Một xi-lanh bơm tiêm chứa 40 cm³ không khí ở áp suất khí quyển $p_1 = 1{,}0 \times 10^5$ Pa. Bịt kín đầu ra rồi ấn pit-tông cho thể tích khí còn lại 25 cm³, nhiệt độ coi như không đổi trong suốt quá trình ấn. Tính áp suất khí sau khi nén.
2
Lượng khí trong xi-lanh không đổi (đầu ra đã bịt kín) và nhiệt độ không đổi (thao tác ấn diễn ra nhanh, khí chưa kịp trao đổi nhiệt đáng kể) — đây là quá trình đẳng nhiệt. Áp dụng định luật Boyle: $p_1V_1 = p_2V_2$ .
Lượng khí trong xi-lanh không đổi (đầu ra đã bịt kín) và nhiệt độ không đổi (thao tác ấn diễn ra nhanh, khí chưa kịp trao đổi nhiệt đáng kể) — đây là quá trình đẳng nhiệt. Áp dụng định luật Boyle: $p_1V_1 = p_2V_2$.
3
Ta có $p_2 = \dfrac{p_1V_1}{V_2} = \dfrac{1{,}0 \times 10^5 \times 40}{25} = 1{,}6 \times 10^5$ Pa. (Vì đây là một phương trình tỉ số, thể tích được giữ nguyên đơn vị cm³ ở cả hai vế nên không cần đổi sang mét khối.)
Ta có $p_2 = \dfrac{p_1V_1}{V_2} = \dfrac{1{,}0 \times 10^5 \times 40}{25} = 1{,}6 \times 10^5$ Pa. (Vì đây là một phương trình tỉ số, thể tích được giữ nguyên đơn vị cm³ ở cả hai vế nên không cần đổi sang mét khối.)
4
Thể tích giảm còn $25/40 = 0{,}625$ lần thể tích ban đầu, nên áp suất phải tăng lên $1/0{,}625 = 1{,}6$ lần — đúng bằng kết quả vừa tính. Vậy áp suất khí trong xi-lanh sau khi nén là $p_2 = 1{,}6 \times 10^5$ Pa.
Thể tích giảm còn $25/40 = 0{,}625$ lần thể tích ban đầu, nên áp suất phải tăng lên $1/0{,}625 = 1{,}6$ lần — đúng bằng kết quả vừa tính. Vậy áp suất khí trong xi-lanh sau khi nén là $p_2 = 1{,}6 \times 10^5$ Pa.

Ví dụ

Bọt khí nổi lên từ đáy hồ (dạng đề thi)

1
Một bọt khí nhỏ được tạo ra ở đáy một hồ nước sâu 5 m, sau đó nổi thẳng lên mặt nước. Nhiệt độ nước coi như không đổi theo độ sâu. Lấy áp suất khí quyển $p_0 = 1{,}0 \times 10^5$ Pa, khối lượng riêng của nước $\rho = 1000$ kg/m³, $g = 10$ m/s². Thể tích bọt khí thay đổi bao nhiêu lần khi nổi lên mặt nước?
Một bọt khí nhỏ được tạo ra ở đáy một hồ nước sâu 5 m, sau đó nổi thẳng lên mặt nước. Nhiệt độ nước coi như không đổi theo độ sâu. Lấy áp suất khí quyển $p_0 = 1{,}0 \times 10^5$ Pa, khối lượng riêng của nước $\rho = 1000$ kg/m³, $g = 10$ m/s². Thể tích bọt khí thay đổi bao nhiêu lần khi nổi lên mặt nước?
2
Ở đáy hồ, bọt khí chịu thêm áp suất cột nước phía trên: $p_{đáy} = p_0 + \rho g h = 1{,}0 \times 10^5 + 1000 \times 10 \times 5 = 1{,}0 \times 10^5 + 0{,}5 \times 10^5 = 1{,}5 \times 10^5$ Pa. (1)
Ở đáy hồ, bọt khí chịu thêm áp suất cột nước phía trên: $p_{đáy} = p_0 + \rho g h = 1{,}0 \times 10^5 + 1000 \times 10 \times 5 = 1{,}0 \times 10^5 + 0{,}5 \times 10^5 = 1{,}5 \times 10^5$ Pa. (1)
3
Khi bọt khí nổi lên, lượng khí trong nó không đổi và nhiệt độ nước không đổi theo đề bài, nên $p_{đáy}V_{đáy} = p_{mặt}V_{mặt}$ . Suy ra $\dfrac{V_{mặt}}{V_{đáy}} = \dfrac{p_{đáy}}{p_{mặt}} = \dfrac{1{,}5 \times 10^5}{1{,}0 \times 10^5} = 1{,}5$ . (2)
Khi bọt khí nổi lên, lượng khí trong nó không đổi và nhiệt độ nước không đổi theo đề bài, nên $p_{đáy}V_{đáy} = p_{mặt}V_{mặt}$. Suy ra $\dfrac{V_{mặt}}{V_{đáy}} = \dfrac{p_{đáy}}{p_{mặt}} = \dfrac{1{,}5 \times 10^5}{1{,}0 \times 10^5} = 1{,}5$. (2)
4
Từ (1) và (2), thể tích bọt khí ở mặt nước lớn gấp 1,5 lần thể tích của nó ở đáy hồ, tức tăng thêm 50%. Vậy bọt khí càng nổi lên cao, áp suất nước xung quanh càng giảm nên bọt khí càng phình to ra — điều em có thể quan sát được khi lặn hoặc xem video quay dưới nước.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất là áp dụng công thức $p_1V_1 = p_2V_2$ cho một quá trình mà nhiệt độ cũng thay đổi — ví dụ khí bị nén nhanh nên nóng lên, hoặc bình khí được đun nóng trong khi thể tích cũng thay đổi. Định luật Boyle chỉ đúng khi nhiệt độ THỰC SỰ không đổi; nếu đề bài cho biết cả thể tích lẫn nhiệt độ đều thay đổi, phải dùng phương trình trạng thái tổng quát ở chương sau, không được dùng $p_1V_1 = p_2V_2$ .

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Với một lượng khí xác định ở nhiệt độ không đổi: $p_1V_1 = p_2V_2$ — áp suất và thể tích tỉ lệ nghịch. Đồ thị p theo V là một nhánh hyperbol. Công thức chỉ đúng khi khối lượng khí và nhiệt độ đều không đổi.

Bài tiếp theo giữ nguyên thể tích của khối khí thay vì giữ nguyên nhiệt độ, để xem áp suất và nhiệt độ liên hệ với nhau theo quy luật nào — đó là quá trình đẳng tích.