Thiết lập phương trình trạng thái khí lí tưởng

Sau bài này, em thiết lập được phương trình trạng thái khí lí tưởng từ ba quy luật đã học, nhận ra ba quá trình Boyle, đẳng tích, đẳng áp chỉ là các trường hợp riêng của phương trình này, và vận dụng được nó cho các bài toán mà cả ba đại lượng $p$, $V$, $T$ cùng thay đổi.

Ba bài trước đã cho em ba công thức riêng lẻ: $p_1V_1 = p_2V_2$ (T không đổi), $p_1/T_1 = p_2/T_2$ (V không đổi), $V_1/T_1 = V_2/T_2$ (p không đổi). Mỗi công thức chỉ dùng được khi có đúng một đại lượng giữ cố định. Nhưng phần lớn tình huống thực tế — một khối khí bị nén trong máy nén, hay một khí cầu bay lên cao — cả ba đại lượng đều thay đổi cùng lúc, không đại lượng nào đứng yên. Bài này gộp ba quy luật riêng lẻ ấy thành một công thức tổng quát duy nhất.

Ta suy ra công thức tổng quát bằng cách nối hai trạng thái qua một trạng thái trung gian giả định. Giả sử khối khí đi từ trạng thái 1 $(p_1, V_1, T_1)$ sang trạng thái 2 $(p_2, V_2, T_2)$. Tưởng tượng một bước trung gian: trước tiên giữ nhiệt độ ở $T_1$, nén/giãn đẳng nhiệt để thể tích đổi từ $V_1$ thành $V_2$, đưa áp suất tới một giá trị trung gian $p'$; theo Boyle: $p_1V_1 = p'V_2$, suy ra $p' = p_1V_1/V_2$. Sau đó, giữ thể tích ở $V_2$, tiếp tục đổi nhiệt độ từ $T_1$ sang $T_2$ theo quá trình đẳng tích: $p'/T_1 = p_2/T_2$. Thay $p'$ từ bước trên vào, ta được $\dfrac{p_1V_1}{V_2T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$, sắp xếp lại thành: $$\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}$$ Đây là **phương trình trạng thái khí lí tưởng**, đúng cho MỌI cách biến đổi giữa hai trạng thái của một lượng khí xác định — dù cả ba đại lượng cùng thay đổi hay chỉ một đại lượng thay đổi. Ba công thức đã học đều là trường hợp riêng: cho $T_1 = T_2$ thì phương trình rút gọn đúng thành định luật Boyle; cho $V_1 = V_2$ thì rút gọn thành quy luật đẳng tích; cho $p_1 = p_2$ thì rút gọn thành quy luật đẳng áp. Vì vậy, khi làm bài, em không cần phân vân nên dùng công thức nào trong ba công thức riêng — chỉ cần nhớ đúng một phương trình trạng thái tổng quát này, thay đúng số vào, phần "đại lượng nào không đổi" sẽ tự động rút gọn ra nếu có.

Kiểm tra lại phép suy ra bằng một trường hợp giới hạn cụ thể: lấy $p_1=1\times10^5$ Pa, $V_1=2$ lít, $T_1=300$K, rồi cho $T_2=T_1=300$K (không đun nóng) và $V_2=1$ lít (chỉ nén). Thay vào phương trình trạng thái: $p_2 = p_1V_1T_2/(T_1V_2) = 1\times10^5\times2\times300/(300\times1) = 2\times10^5$ Pa — đúng bằng kết quả nếu dùng thẳng định luật Boyle $p_2=p_1V_1/V_2=1\times10^5\times2/1=2\times10^5$ Pa. Hai cách tính khớp nhau tuyệt đối, xác nhận phương trình trạng thái không hề mâu thuẫn với ba công thức riêng mà chỉ đơn giản là một phiên bản tổng quát hơn của chúng — dùng được cho mọi trường hợp, kể cả những trường hợp đặc biệt mà một đại lượng tình cờ không đổi.

Đáng chú ý là bước trung gian dùng để suy ra phương trình trạng thái có thể chọn theo thứ tự khác mà vẫn ra cùng một kết quả. Thay vì đi qua đẳng nhiệt rồi đẳng tích như ở trên, ta có thể đi qua đẳng áp rồi đẳng tích: trước tiên giữ áp suất ở $p_1$, đổi thể tích từ $V_1$ sang $V_2$ bằng cách đổi nhiệt độ tới một giá trị trung gian $T'$ theo quá trình đẳng áp ($V_1/T_1 = V_2/T'$, suy ra $T' = T_1V_2/V_1$); sau đó giữ thể tích ở $V_2$, tiếp tục đổi nhiệt độ từ $T'$ sang $T_2$ theo quá trình đẳng tích ($p_1/T' = p_2/T_2$). Thay $T'$ vào, rút gọn, ta lại ra đúng $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$ — không phụ thuộc việc chọn đi qua đẳng nhiệt trước hay đẳng áp trước. Điều này không phải ngẫu nhiên: vì $p$, $V$, $T$ là các đại lượng mô tả TRẠNG THÁI của khối khí tại một thời điểm, không phải mô tả quá trình đã trải qua, nên hai trạng thái đầu và cuối hoàn toàn quyết định phương trình, bất kể con đường trung gian nào được chọn để suy luận ra nó.