Bài học

Cân bằng nhiệt của hệ nhiều vật trong nhiệt lượng kế

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em viết được phương trình cân bằng nhiệt cho một hệ từ ba vật trở lên, kể cả nhiệt lượng kế (bình chứa), và giải thích được vì sao bỏ sót nhiệt dung của bình chứa làm sai kết quả.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước mới xét hệ đơn giản gồm đúng hai vật. Kiến thức nền cần dùng là phương trình cân bằng nhiệt $Q_{toả}=Q_{thu}$ vừa học, và công thức $Q=mc\Delta t$ từ Chương 1 — tất cả đều nằm trong chính khoá học này.

Khởi động

Nếu bài toán cân bằng nhiệt không nói "bỏ qua nhiệt dung của bình chứa", em có được phép tự ý bỏ qua nó không? Vì sao?

Kiến thức trọng tâm

Khi hệ có từ ba vật trở lên cùng trao đổi nhiệt, nguyên tắc $Q_{toả}=Q_{thu}$ vẫn giữ nguyên, chỉ cần cộng đúng nhiệt dung của TẤT CẢ các vật ở mỗi vế. Nếu nhiệt lượng kế (khối lượng $m_k$ , nhiệt dung riêng $c_k$ ) và nước (khối lượng $m_n$ , nhiệt dung riêng $c_n$ ) cùng ở nhiệt độ đầu $t_2$ , cùng thu nhiệt từ một vật nóng hơn (khối lượng $m_1$ , nhiệt dung riêng $c_1$ , nhiệt độ đầu $t_1$ ), phương trình cân bằng nhiệt trở thành: $m_1c_1(t_1-t) = (m_kc_k+m_nc_n)(t-t_2)$ Vế phải là tổng nhiệt lượng mà nhiệt lượng kế VÀ nước cùng thu vào — bỏ sót số hạng $m_kc_k$ sẽ làm vế phải nhỏ hơn thực tế, kéo theo nhiệt độ cân bằng tính ra bị lệch khỏi giá trị đúng.

Công thức trung bình có trọng số giới thiệu ở bài trước mở rộng tự nhiên cho hệ nhiều vật: khi biết chắc hệ sẽ đạt một nhiệt độ cân bằng chung (không vật nào đổi thể), có thể viết thẳng $t=\dfrac{\sum m_ic_it_i}{\sum m_ic_i}$ , lấy tổng trên TẤT CẢ các vật trong hệ mà không cần phân biệt vật nào toả, vật nào thu — công thức tự cho kết quả đúng vì mỗi vật chỉ đóng góp đúng $m_ic_it_i$ của riêng nó, với $t_i$ là nhiệt độ BAN ĐẦU của chính vật đó. Với ví dụ dưới đây, đây là một cách kiểm tra nhanh kết quả: $(88\times20+2100\times20+138\times120)/2326=(1760+42000+16560)/2326=60320/2326\approx25{,}9$ °C, khớp đúng với kết quả tính theo cách lập phương trình toả/thu ở dưới.

Không phải bài toán nào có nhiệt lượng kế cũng bắt buộc phải tính đến nhiệt dung của nó. Khi đề bài nói rõ "bỏ qua nhiệt dung của bình" hoặc "nhiệt lượng kế lí tưởng", em được phép coi bình chứa không hấp thụ nhiệt, y như các bài ở chương trước. Chỉ khi đề bài cho khối lượng và nhiệt dung riêng cụ thể của bình chứa, như ví dụ dưới đây, đó là tín hiệu rõ ràng rằng bình chứa PHẢI được cộng vào phương trình. Đọc kĩ đề để phân biệt hai tình huống này quan trọng không kém việc nhớ đúng công thức.

Đại lượng $mc$ xuất hiện xuyên suốt bài này có đơn vị J/K, khác với J/(kg.K) của nhiệt dung riêng vì khối lượng đã được nhân vào, và được gọi là nhiệt dung của vật. Nhiệt dung của một vật cho biết vật đó cần bao nhiêu Joule để tăng thêm 1K, không quan tâm vật làm bằng gì hay nặng bao nhiêu riêng lẻ, chỉ quan tâm tích số $mc$ của chính vật đó. Khi so sánh nhiệt dung giữa các vật trong cùng một hệ, như biểu đồ dưới đây, ta đang so sánh trực tiếp mức độ mỗi vật kéo nhiệt độ cân bằng về phía nhiệt độ ban đầu của mình.

Một cách kiểm tra nhanh sau khi giải xong bất kì bài toán cân bằng nhiệt nào: nhiệt độ cân bằng luôn phải nằm trong khoảng giữa nhiệt độ thấp nhất và nhiệt độ cao nhất trong số các vật ban đầu, không thể nhỏ hơn nhiệt độ thấp nhất, cũng không thể lớn hơn nhiệt độ cao nhất. Nếu kết quả tính ra nằm ngoài khoảng đó, chắc chắn đã có sai sót ở một bước nào đó, thường là nhầm dấu hoặc nhầm vai trò toả/thu của một trong các vật.

Trong thực tế thí nghiệm, một vật nóng thường được thả vào một bình chứa nước, gọi là nhiệt lượng kế, chứ không tiếp xúc trực tiếp với môi trường. Bản thân nhiệt lượng kế (thường làm bằng kim loại) cũng có khối lượng và nhiệt dung riêng, nên nó cũng hấp thụ một phần nhiệt lượng, y hệt như nước bên trong nó. Khi hệ có từ ba vật trở lên cùng trao đổi nhiệt, nguyên tắc $Q_{toả}=Q_{thu}$ vẫn giữ nguyên, chỉ cần cộng đúng nhiệt dung của TẤT CẢ các vật ở mỗi vế. Nếu nhiệt lượng kế (khối lượng $m_k$, nhiệt dung riêng $c_k$) và nước (khối lượng $m_n$, nhiệt dung riêng $c_n$) cùng ở nhiệt độ đầu $t_2$, cùng thu nhiệt từ một vật nóng hơn (khối lượng $m_1$, nhiệt dung riêng $c_1$, nhiệt độ đầu $t_1$), phương trình cân bằng nhiệt trở thành: $$m_1c_1(t_1-t) = (m_kc_k+m_nc_n)(t-t_2)$$ Vế phải là tổng nhiệt lượng mà nhiệt lượng kế VÀ nước cùng thu vào — bỏ sót số hạng $m_kc_k$ sẽ làm vế phải nhỏ hơn thực tế, kéo theo nhiệt độ cân bằng tính ra bị lệch khỏi giá trị đúng. Công thức trung bình có trọng số giới thiệu ở bài trước mở rộng tự nhiên cho hệ nhiều vật: khi biết chắc hệ sẽ đạt một nhiệt độ cân bằng chung (không vật nào đổi thể), có thể viết thẳng $t=\dfrac{\sum m_ic_it_i}{\sum m_ic_i}$, lấy tổng trên TẤT CẢ các vật trong hệ mà không cần phân biệt vật nào toả, vật nào thu — công thức tự cho kết quả đúng vì mỗi vật chỉ đóng góp đúng $m_ic_it_i$ của riêng nó, với $t_i$ là nhiệt độ BAN ĐẦU của chính vật đó. Với ví dụ dưới đây, đây là một cách kiểm tra nhanh kết quả: $(88\times20+2100\times20+138\times120)/2326=(1760+42000+16560)/2326=60320/2326\approx25{,}9$°C, khớp đúng với kết quả tính theo cách lập phương trình toả/thu ở dưới. Không phải bài toán nào có nhiệt lượng kế cũng bắt buộc phải tính đến nhiệt dung của nó. Khi đề bài nói rõ "bỏ qua nhiệt dung của bình" hoặc "nhiệt lượng kế lí tưởng", em được phép coi bình chứa không hấp thụ nhiệt, y như các bài ở chương trước. Chỉ khi đề bài cho khối lượng và nhiệt dung riêng cụ thể của bình chứa, như ví dụ dưới đây, đó là tín hiệu rõ ràng rằng bình chứa PHẢI được cộng vào phương trình. Đọc kĩ đề để phân biệt hai tình huống này quan trọng không kém việc nhớ đúng công thức. Đại lượng $mc$ xuất hiện xuyên suốt bài này có đơn vị J/K, khác với J/(kg.K) của nhiệt dung riêng vì khối lượng đã được nhân vào, và được gọi là nhiệt dung của vật. Nhiệt dung của một vật cho biết vật đó cần bao nhiêu Joule để tăng thêm 1K, không quan tâm vật làm bằng gì hay nặng bao nhiêu riêng lẻ, chỉ quan tâm tích số $mc$ của chính vật đó. Khi so sánh nhiệt dung giữa các vật trong cùng một hệ, như biểu đồ dưới đây, ta đang so sánh trực tiếp mức độ mỗi vật kéo nhiệt độ cân bằng về phía nhiệt độ ban đầu của mình. Một cách kiểm tra nhanh sau khi giải xong bất kì bài toán cân bằng nhiệt nào: nhiệt độ cân bằng luôn phải nằm trong khoảng giữa nhiệt độ thấp nhất và nhiệt độ cao nhất trong số các vật ban đầu, không thể nhỏ hơn nhiệt độ thấp nhất, cũng không thể lớn hơn nhiệt độ cao nhất. Nếu kết quả tính ra nằm ngoài khoảng đó, chắc chắn đã có sai sót ở một bước nào đó, thường là nhầm dấu hoặc nhầm vai trò toả/thu của một trong các vật.

Nước chiếm phần lớn nhiệt dung của hệ dù nhiệt lượng kế không được bỏ qua.

Ví dụ

Cân bằng nhiệt trong nhiệt lượng kế — ba vật

1
Một nhiệt lượng kế bằng nhôm khối lượng 0,1kg chứa 0,5kg nước, cả hai đang ở 20°C. Thả vào đó một miếng sắt khối lượng 0,3kg đang ở 120°C. Bỏ qua nhiệt lượng toả ra môi trường. Cho $c_{nhôm}=880$ , $c_{nước}=4200$ , $c_{sắt}=460$ (J/(kg.K)). Tìm nhiệt độ cân bằng, làm tròn đến hàng phần mười.
Một nhiệt lượng kế bằng nhôm khối lượng 0,1kg chứa 0,5kg nước, cả hai đang ở 20°C. Thả vào đó một miếng sắt khối lượng 0,3kg đang ở 120°C. Bỏ qua nhiệt lượng toả ra môi trường. Cho $c_{nhôm}=880$, $c_{nước}=4200$, $c_{sắt}=460$ (J/(kg.K)). Tìm nhiệt độ cân bằng, làm tròn đến hàng phần mười.
2
Sắt toả nhiệt; nhiệt lượng kế và nước cùng thu nhiệt: $m_{sắt}c_{sắt}(120-t)=(m_{nhôm}c_{nhôm}+m_{nước}c_{nước})(t-20)$ . Ta có $m_{sắt}c_{sắt}=0{,}3\times460=138$ ; $m_{nhôm}c_{nhôm}=0{,}1\times880=88$ ; $m_{nước}c_{nước}=0{,}5\times4200=2100$ ; tổng vế thu $=88+2100=2188$ .
Sắt toả nhiệt; nhiệt lượng kế và nước cùng thu nhiệt: $m_{sắt}c_{sắt}(120-t)=(m_{nhôm}c_{nhôm}+m_{nước}c_{nước})(t-20)$. Ta có $m_{sắt}c_{sắt}=0{,}3\times460=138$; $m_{nhôm}c_{nhôm}=0{,}1\times880=88$; $m_{nước}c_{nước}=0{,}5\times4200=2100$; tổng vế thu $=88+2100=2188$.
3
$138(120-t)=2188(t-20)$ , khai triển: $16560-138t=2188t-43760$ , suy ra $16560+43760=2188t+138t$ , tức $60320=2326t$ , do đó $t\approx25{,}9$ °C.
$138(120-t)=2188(t-20)$, khai triển: $16560-138t=2188t-43760$, suy ra $16560+43760=2188t+138t$, tức $60320=2326t$, do đó $t\approx25{,}9$°C.
4
Nhiệt độ cân bằng $t\approx25{,}9$ °C, gần với 20°C hơn nhiều so với 120°C vì tổng nhiệt dung của nhiệt lượng kế và nước lớn hơn hẳn nhiệt dung của miếng sắt.
Nhiệt độ cân bằng $t\approx25{,}9$°C, gần với 20°C hơn nhiều so với 120°C vì tổng nhiệt dung của nhiệt lượng kế và nước lớn hơn hẳn nhiệt dung của miếng sắt.

Ví dụ

Bỏ sót nhiệt lượng kế sai lệch bao nhiêu — bài toán dạng thi

1
Với cùng số liệu ở ví dụ trên, nếu một học sinh BỎ QUA nhiệt dung của nhiệt lượng kế nhôm (chỉ tính nước), nhiệt độ cân bằng học sinh đó tính ra là bao nhiêu, và sai lệch bao nhiêu so với đáp số đúng $25{,}9$ °C?
Với cùng số liệu ở ví dụ trên, nếu một học sinh BỎ QUA nhiệt dung của nhiệt lượng kế nhôm (chỉ tính nước), nhiệt độ cân bằng học sinh đó tính ra là bao nhiêu, và sai lệch bao nhiêu so với đáp số đúng $25{,}9$°C?
2
$138(120-t)=2100(t-20)$ (chỉ còn $m_{nước}c_{nước}=2100$ ở vế phải). Khai triển: $16560-138t=2100t-42000$ , suy ra $58560=2238t$ , do đó $t\approx26{,}2$ °C.
$138(120-t)=2100(t-20)$ (chỉ còn $m_{nước}c_{nước}=2100$ ở vế phải). Khai triển: $16560-138t=2100t-42000$, suy ra $58560=2238t$, do đó $t\approx26{,}2$°C.
3
Sai lệch: $26{,}2-25{,}9\approx0{,}3$ °C. Con số này có vẻ nhỏ trong ví dụ này vì nhiệt dung của nhiệt lượng kế ( $88$ J/K) khá nhỏ so với nước ( $2100$ J/K), nhưng nếu đề dùng một nhiệt lượng kế nặng hơn hoặc làm từ vật liệu có nhiệt dung riêng lớn hơn, sai lệch sẽ tăng đáng kể. Nguyên tắc đúng luôn là cộng đủ mọi vật tham gia trao đổi nhiệt trong hệ.
Sai lệch: $26{,}2-25{,}9\approx0{,}3$°C. Con số này có vẻ nhỏ trong ví dụ này vì nhiệt dung của nhiệt lượng kế ($88$ J/K) khá nhỏ so với nước ($2100$ J/K), nhưng nếu đề dùng một nhiệt lượng kế nặng hơn hoặc làm từ vật liệu có nhiệt dung riêng lớn hơn, sai lệch sẽ tăng đáng kể. Nguyên tắc đúng luôn là cộng đủ mọi vật tham gia trao đổi nhiệt trong hệ.
4
Nếu nhiệt lượng kế nặng hơn, chẳng hạn $0{,}5$ kg nhôm thay vì $0{,}1$ kg ( $m_kc_k=440$ J/K), phương trình đúng trở thành $138(120-t)=(440+2100)(t-20)=2540(t-20)$ , giải ra $t\approx25{,}2$ °C, trong khi bỏ qua nhiệt lượng kế vẫn ra $t\approx26{,}2$ °C như ở bước trên — sai lệch lúc này tăng lên khoảng $1{,}0$ °C, gấp hơn ba lần sai lệch $0{,}3$ °C của nhiệt lượng kế nhẹ hơn. Nhiệt lượng kế càng nặng hoặc càng làm từ vật liệu có nhiệt dung riêng lớn, bỏ sót nó càng gây sai số lớn hơn.
Nếu nhiệt lượng kế nặng hơn, chẳng hạn $0{,}5$kg nhôm thay vì $0{,}1$kg ($m_kc_k=440$ J/K), phương trình đúng trở thành $138(120-t)=(440+2100)(t-20)=2540(t-20)$, giải ra $t\approx25{,}2$°C, trong khi bỏ qua nhiệt lượng kế vẫn ra $t\approx26{,}2$°C như ở bước trên — sai lệch lúc này tăng lên khoảng $1{,}0$°C, gấp hơn ba lần sai lệch $0{,}3$°C của nhiệt lượng kế nhẹ hơn. Nhiệt lượng kế càng nặng hoặc càng làm từ vật liệu có nhiệt dung riêng lớn, bỏ sót nó càng gây sai số lớn hơn.

Sai lầm thường gặp

Bỏ sót nhiệt dung của nhiệt lượng kế là lỗi phổ biến nhất ở dạng bài này, đặc biệt khi đề bài không nhắc lại rõ ràng chi tiết đó ở mỗi câu. Một lỗi khác là cộng nhầm nhiệt lượng kế vào vế toả nhiệt thay vì vế thu nhiệt, dù thực tế nhiệt lượng kế và nước luôn cùng phía với vật có nhiệt độ ban đầu thấp hơn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Với hệ từ ba vật trở lên, vế thu nhiệt của phương trình cân bằng nhiệt phải cộng đủ nhiệt dung ( $mc$ ) của TẤT CẢ các vật cùng thu nhiệt, kể cả nhiệt lượng kế. Bỏ sót một vật làm sai toàn bộ kết quả.

Với hệ từ ba vật trở lên, vế thu nhiệt của phương trình cân bằng nhiệt phải cộng đủ nhiệt dung ($mc$) của TẤT CẢ các vật cùng thu nhiệt, kể cả nhiệt lượng kế. Bỏ sót một vật làm sai toàn bộ kết quả.

Đến đây, mọi bài toán cân bằng nhiệt đều giả định các chất không đổi trạng thái trong quá trình trao đổi nhiệt. Bài tiếp theo xét trường hợp phức tạp hơn: khi một trong các vật là nước đá, có thể tan một phần, tan hết, hoặc không tan chút nào, tuỳ vào lượng nhiệt sẵn có.