Bài học

Phương trình cân bằng nhiệt

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em viết và vận dụng được phương trình cân bằng nhiệt $Q_{toả}=Q_{thu}$ cho một hệ cô lập gồm hai vật trao đổi nhiệt trực tiếp với nhau, tìm được nhiệt độ khi hệ đạt cân bằng.

Kiến thức nền cần nhớ

Định luật I nhiệt động lực học (Chương 2, Course 1 của khoá Vật lí 12) khẳng định năng lượng không tự sinh ra hay mất đi trong một hệ cô lập. Bài này áp dụng đúng nguyên lí đó cho một trường hợp riêng: hai vật có nhiệt độ khác nhau được đặt cùng nhau, không trao đổi nhiệt với bên ngoài, chỉ trao đổi nhiệt với nhau.

Khởi động

Thả một thỏi kim loại đang nóng vào một cốc nước lạnh. Dự đoán nhiệt độ cuối cùng của cả hệ nằm ở đâu: bằng nhiệt độ ban đầu của kim loại, bằng nhiệt độ ban đầu của nước, hay một giá trị nằm giữa hai nhiệt độ đó?

Kiến thức trọng tâm

Vì hệ cô lập không mất năng lượng ra ngoài, toàn bộ nhiệt lượng toả ra từ vật nóng phải bằng đúng nhiệt lượng thu vào của vật lạnh. Đó là nội dung của phương trình cân bằng nhiệt: $Q_{toả} = Q_{thu}$ Nếu vật 1 (khối lượng $m_1$ , nhiệt dung riêng $c_1$ , nhiệt độ đầu $t_1$ ) toả nhiệt và vật 2 (khối lượng $m_2$ , nhiệt dung riêng $c_2$ , nhiệt độ đầu $t_2$ , với $t_2<t_1$ ) thu nhiệt, và cả hai không đổi thể trong quá trình này, thì: $m_1c_1(t_1-t) = m_2c_2(t-t_2)$ Vế trái là nhiệt lượng vật 1 toả ra khi nguội từ $t_1$ xuống $t$ ; vế phải là nhiệt lượng vật 2 thu vào khi nóng lên từ $t_2$ tới $t$ . Giải phương trình này theo $t$ (ẩn duy nhất) sẽ ra nhiệt độ cân bằng.

Nếu hệ có nhiều hơn hai vật, hoặc có cả bình chứa (nhiệt lượng kế) tham gia trao đổi nhiệt, nguyên tắc không đổi: tổng nhiệt lượng toả ra của TẤT CẢ các vật nóng hơn bằng tổng nhiệt lượng thu vào của TẤT CẢ các vật lạnh hơn.

Nguyên lí $Q_{toả}=Q_{thu}$ không phải một định luật riêng biệt, mà là hệ quả trực tiếp của định luật bảo toàn năng lượng đã học ở định luật I nhiệt động lực học: trong một hệ cô lập, tổng nội năng không đổi, nên phần nội năng vật nóng mất đi, biểu hiện qua nhiệt lượng toả ra, phải đúng bằng phần nội năng vật lạnh nhận thêm, biểu hiện qua nhiệt lượng thu vào. Chính nhờ nguyên lí bảo toàn năng lượng tổng quát này mà phương trình cân bằng nhiệt áp dụng được cho bất kì cặp chất nào, không riêng kim loại và nước, miễn là hệ thực sự cô lập với môi trường.

Có một cách nhìn khác cho nhiệt độ cân bằng, tương đương với việc giải phương trình ở trên nhưng nhanh hơn: khai triển $m_1c_1(t_1-t)=m_2c_2(t-t_2)$ rồi nhóm các số hạng chứa $t$ về một vế, ta được công thức rút gọn: $t=\frac{m_1c_1t_1+m_2c_2t_2}{m_1c_1+m_2c_2}$ Đây chính là trung bình CÓ TRỌNG SỐ của hai nhiệt độ ban đầu, với trọng số là nhiệt dung $m_1c_1$ và $m_2c_2$ của mỗi vật. Vật nào có nhiệt dung lớn hơn sẽ kéo nhiệt độ cân bằng về phía nhiệt độ ban đầu của nó nhiều hơn, đúng như quan sát ở ví dụ dưới đây: nước có nhiệt dung lớn hơn đồng nên nhiệt độ cân bằng gần 20°C (nhiệt độ của nước) hơn là gần 100°C (nhiệt độ của đồng). Công thức rút gọn này hữu ích để kiểm tra nhanh kết quả, nhưng vẫn nên trình bày đầy đủ bước lập phương trình $Q_{toả}=Q_{thu}$ trong bài làm, vì đó là cách chấm điểm của đề thi mong đợi.

Trong thực tế, không có bình chứa nào cách nhiệt hoàn hảo tuyệt đối: luôn có một phần nhiệt lượng thất thoát ra không khí xung quanh trong lúc chờ hệ đạt cân bằng. Đó là lí do đề bài luôn nêu rõ giả thiết bỏ qua nhiệt lượng toả ra môi trường khi muốn học sinh áp dụng đúng phương trình lí tưởng $Q_{toả}=Q_{thu}$ ; nếu đề không nêu giả thiết đó, như ở ví dụ dạng thi thứ hai dưới đây, phải điều chỉnh phương trình theo đúng phần trăm hao phí đã cho. Bình chứa thí nghiệm chuyên dụng cho dạng bài này gọi là nhiệt lượng kế, một bình cách nhiệt tốt, thường có vỏ ngoài bằng vật liệu cách nhiệt để giảm tối đa sự thất thoát nhiệt ra ngoài. Bài tiếp theo đưa chính nhiệt lượng kế này vào phương trình cân bằng nhiệt như một vật tham gia trao đổi nhiệt.

Xét một hệ cô lập với môi trường bên ngoài (không có nhiệt lượng thoát ra hay từ ngoài vào), gồm hai vật có nhiệt độ ban đầu khác nhau được đặt tiếp xúc nhiệt với nhau. Vật có nhiệt độ cao hơn sẽ toả nhiệt, vật có nhiệt độ thấp hơn sẽ thu nhiệt, cho đến khi cả hai đạt cùng một nhiệt độ chung, gọi là nhiệt độ cân bằng $t$. Vì hệ cô lập không mất năng lượng ra ngoài, toàn bộ nhiệt lượng toả ra từ vật nóng phải bằng đúng nhiệt lượng thu vào của vật lạnh. Đó là nội dung của phương trình cân bằng nhiệt: $$Q_{toả} = Q_{thu}$$ Nếu vật 1 (khối lượng $m_1$, nhiệt dung riêng $c_1$, nhiệt độ đầu $t_1$) toả nhiệt và vật 2 (khối lượng $m_2$, nhiệt dung riêng $c_2$, nhiệt độ đầu $t_2$, với $t_2<t_1$) thu nhiệt, và cả hai không đổi thể trong quá trình này, thì: $$m_1c_1(t_1-t) = m_2c_2(t-t_2)$$ Vế trái là nhiệt lượng vật 1 toả ra khi nguội từ $t_1$ xuống $t$; vế phải là nhiệt lượng vật 2 thu vào khi nóng lên từ $t_2$ tới $t$. Giải phương trình này theo $t$ (ẩn duy nhất) sẽ ra nhiệt độ cân bằng. Nếu hệ có nhiều hơn hai vật, hoặc có cả bình chứa (nhiệt lượng kế) tham gia trao đổi nhiệt, nguyên tắc không đổi: tổng nhiệt lượng toả ra của TẤT CẢ các vật nóng hơn bằng tổng nhiệt lượng thu vào của TẤT CẢ các vật lạnh hơn. Nguyên lí $Q_{toả}=Q_{thu}$ không phải một định luật riêng biệt, mà là hệ quả trực tiếp của định luật bảo toàn năng lượng đã học ở định luật I nhiệt động lực học: trong một hệ cô lập, tổng nội năng không đổi, nên phần nội năng vật nóng mất đi, biểu hiện qua nhiệt lượng toả ra, phải đúng bằng phần nội năng vật lạnh nhận thêm, biểu hiện qua nhiệt lượng thu vào. Chính nhờ nguyên lí bảo toàn năng lượng tổng quát này mà phương trình cân bằng nhiệt áp dụng được cho bất kì cặp chất nào, không riêng kim loại và nước, miễn là hệ thực sự cô lập với môi trường. Có một cách nhìn khác cho nhiệt độ cân bằng, tương đương với việc giải phương trình ở trên nhưng nhanh hơn: khai triển $m_1c_1(t_1-t)=m_2c_2(t-t_2)$ rồi nhóm các số hạng chứa $t$ về một vế, ta được công thức rút gọn: $$t=\frac{m_1c_1t_1+m_2c_2t_2}{m_1c_1+m_2c_2}$$ Đây chính là trung bình CÓ TRỌNG SỐ của hai nhiệt độ ban đầu, với trọng số là nhiệt dung $m_1c_1$ và $m_2c_2$ của mỗi vật. Vật nào có nhiệt dung lớn hơn sẽ kéo nhiệt độ cân bằng về phía nhiệt độ ban đầu của nó nhiều hơn, đúng như quan sát ở ví dụ dưới đây: nước có nhiệt dung lớn hơn đồng nên nhiệt độ cân bằng gần 20°C (nhiệt độ của nước) hơn là gần 100°C (nhiệt độ của đồng). Công thức rút gọn này hữu ích để kiểm tra nhanh kết quả, nhưng vẫn nên trình bày đầy đủ bước lập phương trình $Q_{toả}=Q_{thu}$ trong bài làm, vì đó là cách chấm điểm của đề thi mong đợi. Trong thực tế, không có bình chứa nào cách nhiệt hoàn hảo tuyệt đối: luôn có một phần nhiệt lượng thất thoát ra không khí xung quanh trong lúc chờ hệ đạt cân bằng. Đó là lí do đề bài luôn nêu rõ giả thiết bỏ qua nhiệt lượng toả ra môi trường khi muốn học sinh áp dụng đúng phương trình lí tưởng $Q_{toả}=Q_{thu}$; nếu đề không nêu giả thiết đó, như ở ví dụ dạng thi thứ hai dưới đây, phải điều chỉnh phương trình theo đúng phần trăm hao phí đã cho. Bình chứa thí nghiệm chuyên dụng cho dạng bài này gọi là nhiệt lượng kế, một bình cách nhiệt tốt, thường có vỏ ngoài bằng vật liệu cách nhiệt để giảm tối đa sự thất thoát nhiệt ra ngoài. Bài tiếp theo đưa chính nhiệt lượng kế này vào phương trình cân bằng nhiệt như một vật tham gia trao đổi nhiệt.

Ví dụ

Thả một miếng đồng nóng vào nước — bài toán cân bằng nhiệt cơ bản

1
Thả một miếng đồng khối lượng 0,5kg đang ở 100°C vào 0,5kg nước ở 20°C, đựng trong một bình cách nhiệt hoàn toàn (bỏ qua nhiệt dung của bình). Cho $c_{đồng}=380$ J/(kg.K), $c_{nước}=4200$ J/(kg.K). Tìm nhiệt độ cân bằng, làm tròn đến hàng phần mười.
Thả một miếng đồng khối lượng 0,5kg đang ở 100°C vào 0,5kg nước ở 20°C, đựng trong một bình cách nhiệt hoàn toàn (bỏ qua nhiệt dung của bình). Cho $c_{đồng}=380$ J/(kg.K), $c_{nước}=4200$ J/(kg.K). Tìm nhiệt độ cân bằng, làm tròn đến hàng phần mười.
2
Đồng toả nhiệt (nguội từ 100°C xuống $t$ ), nước thu nhiệt (nóng lên từ 20°C tới $t$ ): $m_1c_1(t_1-t)=m_2c_2(t-t_2)$ với $m_1c_1=0{,}5\times380=190$ , $m_2c_2=0{,}5\times4200=2100$ .
Đồng toả nhiệt (nguội từ 100°C xuống $t$), nước thu nhiệt (nóng lên từ 20°C tới $t$): $m_1c_1(t_1-t)=m_2c_2(t-t_2)$ với $m_1c_1=0{,}5\times380=190$, $m_2c_2=0{,}5\times4200=2100$.
3
$190(100-t)=2100(t-20)$ , khai triển: $19000-190t=2100t-42000$ , suy ra $19000+42000=2100t+190t$ , tức $61000=2290t$ , do đó $t=61000/2290\approx26{,}6$ °C.
$190(100-t)=2100(t-20)$, khai triển: $19000-190t=2100t-42000$, suy ra $19000+42000=2100t+190t$, tức $61000=2290t$, do đó $t=61000/2290\approx26{,}6$°C.
4
Nhiệt độ cân bằng $26{,}6$ °C nằm giữa 20°C (nước) và 100°C (đồng), gần về phía 20°C hơn vì khối lượng và nhiệt dung riêng của nước lớn hơn đồng rất nhiều — hợp lí về mặt vật lí. Vậy $t\approx26{,}6$ °C.
Nhiệt độ cân bằng $26{,}6$°C nằm giữa 20°C (nước) và 100°C (đồng), gần về phía 20°C hơn vì khối lượng và nhiệt dung riêng của nước lớn hơn đồng rất nhiều — hợp lí về mặt vật lí. Vậy $t\approx26{,}6$°C.

Ví dụ

Bình cách nhiệt không hoàn toàn — bài toán dạng thi

1
Thả một miếng thép khối lượng 0,4kg ở 150°C vào 0,6kg nước ở 25°C, đựng trong một bình cách nhiệt KHÔNG hoàn toàn: 10% nhiệt lượng thép toả ra bị thất thoát ra môi trường trước khi hệ đạt cân bằng. Cho $c_{thép}=460$ J/(kg.K), $c_{nước}=4200$ J/(kg.K). Tìm nhiệt độ cân bằng, làm tròn đến hàng phần mười.
Thả một miếng thép khối lượng 0,4kg ở 150°C vào 0,6kg nước ở 25°C, đựng trong một bình cách nhiệt KHÔNG hoàn toàn: 10% nhiệt lượng thép toả ra bị thất thoát ra môi trường trước khi hệ đạt cân bằng. Cho $c_{thép}=460$ J/(kg.K), $c_{nước}=4200$ J/(kg.K). Tìm nhiệt độ cân bằng, làm tròn đến hàng phần mười.
2
Chỉ 90% nhiệt lượng thép toả ra thực sự truyền cho nước: $0{,}9\times m_1c_1(t_1-t)=m_2c_2(t-t_2)$ , với $m_1c_1=0{,}4\times460=184$ , $m_2c_2=0{,}6\times4200=2520$ .
Chỉ 90% nhiệt lượng thép toả ra thực sự truyền cho nước: $0{,}9\times m_1c_1(t_1-t)=m_2c_2(t-t_2)$, với $m_1c_1=0{,}4\times460=184$, $m_2c_2=0{,}6\times4200=2520$.
3
$0{,}9\times184(150-t)=2520(t-25)$ , tức $165{,}6(150-t)=2520(t-25)$ . Khai triển: $24840-165{,}6t=2520t-63000$ , suy ra $87840=2685{,}6t$ , do đó $t\approx32{,}7$ °C.
$0{,}9\times184(150-t)=2520(t-25)$, tức $165{,}6(150-t)=2520(t-25)$. Khai triển: $24840-165{,}6t=2520t-63000$, suy ra $87840=2685{,}6t$, do đó $t\approx32{,}7$°C.
4
Nhiệt độ cân bằng thấp hơn so với trường hợp cách nhiệt hoàn toàn, đúng như dự đoán vì một phần nhiệt lượng đã thất thoát ra ngoài thay vì truyền hết cho nước. Vậy $t\approx32{,}7$ °C.
Nhiệt độ cân bằng thấp hơn so với trường hợp cách nhiệt hoàn toàn, đúng như dự đoán vì một phần nhiệt lượng đã thất thoát ra ngoài thay vì truyền hết cho nước. Vậy $t\approx32{,}7$°C.
5
Nếu bình cách nhiệt hoàn toàn (không hao phí), phương trình trở lại dạng chuẩn $184(150-t)=2520(t-25)$ , giải ra $t=90600/2704\approx33{,}5$ °C. Kết quả $32{,}7$ °C khi có hao phí thấp hơn $33{,}5$ °C khi không hao phí, đúng như dự đoán, vì một phần nhiệt lượng của thép đã mất ra môi trường thay vì truyền hết cho nước.
Nếu bình cách nhiệt hoàn toàn (không hao phí), phương trình trở lại dạng chuẩn $184(150-t)=2520(t-25)$, giải ra $t=90600/2704\approx33{,}5$°C. Kết quả $32{,}7$°C khi có hao phí thấp hơn $33{,}5$°C khi không hao phí, đúng như dự đoán, vì một phần nhiệt lượng của thép đã mất ra môi trường thay vì truyền hết cho nước.

Sai lầm thường gặp

Một sai lầm phổ biến là gán nhầm chiều toả/thu: cho vật có nhiệt độ ban đầu THẤP HƠN là vật toả nhiệt. Luôn xác định vật nào có nhiệt độ ban đầu cao hơn trước khi viết phương trình — vật đó toả nhiệt, vật còn lại thu nhiệt. Khi đề cho biết có hao phí ra môi trường, phải nhân hệ số hiệu suất vào đúng vế toả nhiệt, không phải vế thu nhiệt.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Trong một hệ cô lập, nhiệt lượng toả ra của vật nóng hơn bằng đúng nhiệt lượng thu vào của vật lạnh hơn: $Q_{toả}=Q_{thu}$ . Luôn xác định đúng vật nào toả, vật nào thu trước khi viết phương trình.

Trong một hệ cô lập, nhiệt lượng toả ra của vật nóng hơn bằng đúng nhiệt lượng thu vào của vật lạnh hơn: $Q_{toả}=Q_{thu}$. Luôn xác định đúng vật nào toả, vật nào thu trước khi viết phương trình.

Bài này mới xét hệ đơn giản gồm hai vật, không có bình chứa. Bài tiếp theo mở rộng sang hệ có từ ba vật trở lên, kể cả nhiệt lượng kế, nơi việc cộng đúng nhiệt dung của TẤT CẢ các vật tham gia trở thành kĩ năng quyết định.