Bài học

Sự phụ thuộc của điện trở vào chiều dài và tiết diện dây dẫn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu và vận dụng được mối quan hệ: điện trở tỉ lệ thuận với chiều dài dây dẫn, tỉ lệ nghịch với tiết diện dây dẫn, khi các dây so sánh cùng làm từ một loại vật liệu.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã định nghĩa $R=U/I$ là đặc trưng riêng của một dây dẫn xác định. Bài này hỏi tiếp: điều gì bên trong bản thân dây dẫn quyết định giá trị $R$ đó lớn hay nhỏ.

Khởi động

Dây dẫn điện trong nhà thường ngắn và có tiết diện khá lớn, trong khi dây điện trở của bếp điện lại dài, cuộn thành nhiều vòng và có tiết diện nhỏ hơn hẳn. Sự khác biệt về hình dạng này có liên quan gì đến điện trở của chúng?

Kiến thức trọng tâm

Xét các dây dẫn cùng làm từ một loại vật liệu, cùng tiết diện: dây càng dài, điện trở càng lớn. Cụ thể, điện trở tỉ lệ thuận với chiều dài $l$ của dây — dây dài gấp bao nhiêu lần thì điện trở lớn gấp bấy nhiêu lần. Điều này dễ hình dung: dòng điện phải vượt qua một quãng đường cản trở dài hơn nên gặp trở ngại nhiều hơn.

Ngược lại, xét các dây cùng vật liệu, cùng chiều dài: dây có tiết diện càng lớn thì điện trở càng nhỏ. Điện trở tỉ lệ nghịch với tiết diện $S$ — tiết diện tăng gấp bao nhiêu lần thì điện trở giảm đi đúng bấy nhiêu lần. Có thể hình dung tiết diện lớn giống một con đường nhiều làn xe, cho dòng điện nhiều "lối đi" hơn nên lưu thông dễ dàng hơn hẳn một con đường một làn.

Cả hai mối quan hệ này đều được kiểm chứng bằng thực nghiệm: đo điện trở của nhiều dây cùng vật liệu nhưng khác chiều dài hoặc khác tiết diện, rồi so sánh tỉ số giữa các giá trị đo được. Khi một bài toán cho nhiều dây thay đổi ĐỒNG THỜI cả chiều dài lẫn tiết diện, ta áp dụng lần lượt cả hai quan hệ — tỉ lệ thuận với $l$ và tỉ lệ nghịch với $S$ — trong cùng một phép tính.

Hai quan hệ này giải thích được nhiều lựa chọn kỹ thuật quen thuộc trong đời sống. Dây dẫn điện đi xa (đường dây tải điện từ nhà máy về khu dân cư) luôn được làm với tiết diện lớn — không phải để tiết kiệm vật liệu mà ngược lại, để giữ điện trở của cả tuyến dây dài hàng chục ki-lô-mét không tăng lên quá lớn, tránh hao phí điện năng trên đường truyền. Ngược lại, dây tóc bóng đèn hay dây điện trở của thiết bị đốt nóng lại rất mảnh và có thể cuộn dài — tiết diện nhỏ và chiều dài lớn cùng góp phần đẩy điện trở lên cao, đúng như mục đích thiết kế của chúng: cản trở dòng điện đủ mạnh để toả nhiệt hoặc phát sáng.

Xét các dây dẫn cùng làm từ một loại vật liệu, cùng tiết diện: dây càng dài, điện trở càng lớn. Cụ thể, **điện trở tỉ lệ thuận với chiều dài** $l$ của dây — dây dài gấp bao nhiêu lần thì điện trở lớn gấp bấy nhiêu lần. Điều này dễ hình dung: dòng điện phải vượt qua một quãng đường cản trở dài hơn nên gặp trở ngại nhiều hơn. Ngược lại, xét các dây cùng vật liệu, cùng chiều dài: dây có tiết diện càng lớn thì điện trở càng nhỏ. **Điện trở tỉ lệ nghịch với tiết diện** $S$ — tiết diện tăng gấp bao nhiêu lần thì điện trở giảm đi đúng bấy nhiêu lần. Có thể hình dung tiết diện lớn giống một con đường nhiều làn xe, cho dòng điện nhiều "lối đi" hơn nên lưu thông dễ dàng hơn hẳn một con đường một làn. Cả hai mối quan hệ này đều được kiểm chứng bằng thực nghiệm: đo điện trở của nhiều dây cùng vật liệu nhưng khác chiều dài hoặc khác tiết diện, rồi so sánh tỉ số giữa các giá trị đo được. Khi một bài toán cho nhiều dây thay đổi ĐỒNG THỜI cả chiều dài lẫn tiết diện, ta áp dụng lần lượt cả hai quan hệ — tỉ lệ thuận với $l$ và tỉ lệ nghịch với $S$ — trong cùng một phép tính. Hai quan hệ này giải thích được nhiều lựa chọn kỹ thuật quen thuộc trong đời sống. Dây dẫn điện đi xa (đường dây tải điện từ nhà máy về khu dân cư) luôn được làm với tiết diện lớn — không phải để tiết kiệm vật liệu mà ngược lại, để giữ điện trở của cả tuyến dây dài hàng chục ki-lô-mét không tăng lên quá lớn, tránh hao phí điện năng trên đường truyền. Ngược lại, dây tóc bóng đèn hay dây điện trở của thiết bị đốt nóng lại rất mảnh và có thể cuộn dài — tiết diện nhỏ và chiều dài lớn cùng góp phần đẩy điện trở lên cao, đúng như mục đích thiết kế của chúng: cản trở dòng điện đủ mạnh để toả nhiệt hoặc phát sáng.

Điện trở tăng đúng tỉ lệ với chiều dài dây: dây dài gấp đôi thì điện trở cũng gấp đôi.

Ví dụ

Tính điện trở khi thay đổi chiều dài

1
Hai dây dẫn cùng vật liệu, cùng tiết diện: dây 1 dài $l_1=2$ m có điện trở $R_1=4\Omega$ . Dây 2 dài gấp đôi dây 1. Tính điện trở $R_2$ của dây 2.
Hai dây dẫn cùng vật liệu, cùng tiết diện: dây 1 dài $l_1=2$m có điện trở $R_1=4\Omega$. Dây 2 dài gấp đôi dây 1. Tính điện trở $R_2$ của dây 2.
2
Dây 2 dài gấp 2 lần dây 1 ( $l_2 = 2l_1$ ), cùng vật liệu, cùng tiết diện với dây 1.
Dây 2 dài gấp 2 lần dây 1 ($l_2 = 2l_1$), cùng vật liệu, cùng tiết diện với dây 1.
3
Vì điện trở tỉ lệ thuận với chiều dài (cùng vật liệu, cùng tiết diện): $R_2 = 2 \times R_1 = 2 \times 4 = 8\Omega$ .
Vì điện trở tỉ lệ thuận với chiều dài (cùng vật liệu, cùng tiết diện): $R_2 = 2 \times R_1 = 2 \times 4 = 8\Omega$.
4
Vậy điện trở của dây 2 là $R_2 = 8\Omega$ .
Vậy điện trở của dây 2 là $R_2 = 8\Omega$.

Ví dụ

Kết hợp cả chiều dài và tiết diện trong một bài toán

1
Ba dây dẫn cùng làm từ một loại hợp kim. Dây 1 có chiều dài $l_1$ , tiết diện $S_1$ , điện trở $R_1=8\Omega$ . Dây 2 có cùng chiều dài $l_1$ nhưng tiết diện $S_2 = 2S_1$ . Dây 3 có chiều dài $l_3 = 3l_1$ và tiết diện $S_3 = 2S_1$ . Tính $R_2$ và $R_3$ .
Ba dây dẫn cùng làm từ một loại hợp kim. Dây 1 có chiều dài $l_1$, tiết diện $S_1$, điện trở $R_1=8\Omega$. Dây 2 có cùng chiều dài $l_1$ nhưng tiết diện $S_2 = 2S_1$. Dây 3 có chiều dài $l_3 = 3l_1$ và tiết diện $S_3 = 2S_1$. Tính $R_2$ và $R_3$.
2
Dây 2 so với dây 1: cùng chiều dài, tiết diện gấp đôi. Điện trở tỉ lệ nghịch với tiết diện nên $R_2 = R_1/2 = 8/2 = 4\Omega$ .
Dây 2 so với dây 1: cùng chiều dài, tiết diện gấp đôi. Điện trở tỉ lệ nghịch với tiết diện nên $R_2 = R_1/2 = 8/2 = 4\Omega$.
3
Dây 3 so với dây 1: chiều dài gấp 3 lần (tỉ lệ thuận), tiết diện gấp 2 lần (tỉ lệ nghịch). Kết hợp cả hai quan hệ: $R_3 = R_1 \times \dfrac{l_3}{l_1} \times \dfrac{S_1}{S_3} = 8 \times 3 \times \dfrac{1}{2} = 12\Omega$ .
Dây 3 so với dây 1: chiều dài gấp 3 lần (tỉ lệ thuận), tiết diện gấp 2 lần (tỉ lệ nghịch). Kết hợp cả hai quan hệ: $R_3 = R_1 \times \dfrac{l_3}{l_1} \times \dfrac{S_1}{S_3} = 8 \times 3 \times \dfrac{1}{2} = 12\Omega$.
4
Vậy $R_2 = 4\Omega$ và $R_3 = 12\Omega$ . Bài toán này cho thấy khi cả chiều dài lẫn tiết diện cùng thay đổi, ta áp dụng lần lượt cả hai tỉ lệ trong cùng một phép nhân, không được bỏ sót yếu tố nào.
Vậy $R_2 = 4\Omega$ và $R_3 = 12\Omega$. Bài toán này cho thấy khi cả chiều dài lẫn tiết diện cùng thay đổi, ta áp dụng lần lượt cả hai tỉ lệ trong cùng một phép nhân, không được bỏ sót yếu tố nào.

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất: nhầm chiều tỉ lệ, nghĩ rằng tiết diện tăng thì điện trở cũng tăng (sai — phải là tỉ lệ NGHỊCH). Lỗi thứ hai: khi bài toán đổi cả chiều dài lẫn tiết diện, chỉ tính một yếu tố rồi quên yếu tố còn lại, dẫn đến kết quả sai hoàn toàn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Cùng vật liệu: điện trở tỉ lệ THUẬN với chiều dài $l$ , tỉ lệ NGHỊCH với tiết diện $S$ . Khi cả hai yếu tố cùng thay đổi, áp dụng lần lượt cả hai tỉ lệ trong cùng một phép tính, không bỏ sót yếu tố nào.

Cùng vật liệu: điện trở tỉ lệ THUẬN với chiều dài $l$, tỉ lệ NGHỊCH với tiết diện $S$. Khi cả hai yếu tố cùng thay đổi, áp dụng lần lượt cả hai tỉ lệ trong cùng một phép tính, không bỏ sót yếu tố nào.

Bài sau đưa thêm yếu tố thứ ba — bản thân chất liệu làm dây — vào một công thức chung duy nhất, gộp cả ba yếu tố chiều dài, tiết diện và vật liệu lại với nhau.