Bài học

Định nghĩa và tính chất tích vô hướng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu đúng định nghĩa góc giữa hai vectơ, tính đúng tích vô hướng của hai vectơ theo công thức $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\vec{a},\vec{b})$ , và vận dụng các tính chất của tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ khi biết độ dài và tích vô hướng của chúng.

Sau bài này, em nêu đúng định nghĩa góc giữa hai vectơ, tính đúng tích vô hướng của hai vectơ theo công thức $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\vec{a},\vec{b})$, và vận dụng các tính chất của tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ khi biết độ dài và tích vô hướng của chúng.

Kiến thức nền cần nhớ

Bốn bài trước xây dựng các phép toán cho ra KẾT QUẢ LÀ MỘT VECTƠ: tổng, hiệu, tích với số (same-grade bridge). Bài này giới thiệu một phép nhân khác hẳn — tích vô hướng của hai vectơ — cho ra kết quả là MỘT SỐ. Em cũng cần nhớ lại giá trị cosin của các góc đặc biệt ( $0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 180°$ ) đã học ở phần tỉ số lượng giác của một góc (prior-grade review).

Bốn bài trước xây dựng các phép toán cho ra KẾT QUẢ LÀ MỘT VECTƠ: tổng, hiệu, tích với số (same-grade bridge). Bài này giới thiệu một phép nhân khác hẳn — tích vô hướng của hai vectơ — cho ra kết quả là MỘT SỐ. Em cũng cần nhớ lại giá trị cosin của các góc đặc biệt ($0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 180°$) đã học ở phần tỉ số lượng giác của một góc (prior-grade review).

Khởi động

Một người kéo một chiếc xe hàng bằng một sợi dây hợp với phương ngang một góc $60°$ . Nếu chỉ dùng độ lớn của lực kéo và độ dài quãng đường di chuyển, làm sao tính được phần công của lực đó thực sự làm xe chuyển động — trong khi lực kéo không hoàn toàn cùng phương với hướng đi?

Một người kéo một chiếc xe hàng bằng một sợi dây hợp với phương ngang một góc $60°$. Nếu chỉ dùng độ lớn của lực kéo và độ dài quãng đường di chuyển, làm sao tính được phần công của lực đó thực sự làm xe chuyển động — trong khi lực kéo không hoàn toàn cùng phương với hướng đi?

Kiến thức trọng tâm

Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Từ một điểm $O$ bất kì, vẽ $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ và $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ . Góc $\widehat{AOB}$ (nhận giá trị từ $0°$ đến $180°$ ) gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu $(\vec{a}, \vec{b})$ . Chú ý góc này không phụ thuộc điểm $O$ được chọn — dù đặt hai vectơ ở đâu, miễn giữ nguyên hướng và độ dài, góc giữa chúng luôn như nhau.

Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$. Từ một điểm $O$ bất kì, vẽ $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ và $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$. Góc $\widehat{AOB}$ (nhận giá trị từ $0°$ đến $180°$) gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu $(\vec{a}, \vec{b})$. Chú ý góc này không phụ thuộc điểm $O$ được chọn — dù đặt hai vectơ ở đâu, miễn giữ nguyên hướng và độ dài, góc giữa chúng luôn như nhau.

Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu $\vec{a}\cdot\vec{b}$ , là một SỐ THỰC xác định bởi công thức $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$ . Cần nhấn mạnh: kết quả của phép toán này là một số, không phải một vectơ — khác hẳn với tổng, hiệu hay tích với một số đã học.

Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu $\vec{a}\cdot\vec{b}$, là một SỐ THỰC xác định bởi công thức $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$. Cần nhấn mạnh: kết quả của phép toán này là một số, không phải một vectơ — khác hẳn với tổng, hiệu hay tích với một số đã học.

Lời giải có hình

Tích vô hướng của hai vectơ độ dài 4 và 3, góc 60°

Bước 1

Cho $\overrightarrow{OU}$ với $|\overrightarrow{OU}|=4$ .Cho $\overrightarrow{OU}$ với $|\overrightarrow{OU}|=4$.

Tích vô hướng có các tính chất: giao hoán ( $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$ , vì hoán đổi vai trò hai vectơ không đổi góc và độ dài), phân phối với phép cộng ( $\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}$ ), và kết hợp với phép nhân số ( $(k\vec{a})\cdot\vec{b} = k(\vec{a}\cdot\vec{b})$ ). Một trường hợp đặc biệt quan trọng: khi $\vec{a} = \vec{b}$ , góc giữa chúng bằng $0°$ nên $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$ — bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của nó, một công thức sẽ dùng liên tục ở bài sau.

Tích vô hướng có các tính chất: giao hoán ($\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$, vì hoán đổi vai trò hai vectơ không đổi góc và độ dài), phân phối với phép cộng ($\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}$), và kết hợp với phép nhân số ($(k\vec{a})\cdot\vec{b} = k(\vec{a}\cdot\vec{b})$). Một trường hợp đặc biệt quan trọng: khi $\vec{a} = \vec{b}$, góc giữa chúng bằng $0°$ nên $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$ — bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của nó, một công thức sẽ dùng liên tục ở bài sau.

Dấu của tích vô hướng phản ánh trực tiếp loại góc: nếu góc $(\vec{a},\vec{b})$ nhọn ( $0° \le \theta < 90°$ ) thì $\cos\theta > 0$ nên $\vec{a}\cdot\vec{b} > 0$ ; nếu góc tù ( $90° < \theta \le 180°$ ) thì $\vec{a}\cdot\vec{b} < 0$ ; nếu góc vuông đúng $90°$ thì $\cos 90° = 0$ nên $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ — đây chính là điều kiện vuông góc bằng vectơ mà bài sau sẽ khai thác. Ngược lại, từ tích vô hướng và độ dài đã biết, ta tính lại được góc bằng công thức đảo: $\cos(\vec{a},\vec{b}) = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ .

Dấu của tích vô hướng phản ánh trực tiếp loại góc: nếu góc $(\vec{a},\vec{b})$ nhọn ($0° \le \theta < 90°$) thì $\cos\theta > 0$ nên $\vec{a}\cdot\vec{b} > 0$; nếu góc tù ($90° < \theta \le 180°$) thì $\vec{a}\cdot\vec{b} < 0$; nếu góc vuông đúng $90°$ thì $\cos 90° = 0$ nên $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ — đây chính là điều kiện vuông góc bằng vectơ mà bài sau sẽ khai thác. Ngược lại, từ tích vô hướng và độ dài đã biết, ta tính lại được góc bằng công thức đảo: $\cos(\vec{a},\vec{b}) = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Quay lại tình huống kéo xe ở phần khởi động: gọi $\vec{F}$ là vectơ lực kéo, $\vec{d}$ là vectơ chuyển dời của xe (cùng phương mặt đường). Trong Vật lí, công của lực $F$ khi vật dời một đoạn theo phương ngang được tính bằng $A = F \cdot d \cdot \cos\theta$ với $\theta$ là góc giữa lực và hướng chuyển động — đó chính là công thức tích vô hướng $\vec{F}\cdot\vec{d}$ viết dưới một tên gọi khác. Khi $\theta = 90°$ (lực vuông góc với hướng đi, ví dụ trọng lực tác dụng lên vật chuyển động ngang), công bằng 0 — lực đó tồn tại nhưng không sinh công theo hướng chuyển động, đúng như tích vô hướng bằng 0 khi vuông góc.

Ví dụ

Tính tích vô hướng khi biết độ dài và góc

1
Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ với $|\vec{a}| = 4$ , $|\vec{b}| = 3$ và góc giữa chúng bằng $60°$ . Tính $\vec{a}\cdot\vec{b}$ .
Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ với $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 3$ và góc giữa chúng bằng $60°$. Tính $\vec{a}\cdot\vec{b}$.
2
Theo định nghĩa, $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(\vec{a},\vec{b}) = 4 \times 3 \times \cos 60°$ .
Theo định nghĩa, $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(\vec{a},\vec{b}) = 4 \times 3 \times \cos 60°$.
3
Vì $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$ , ta có $\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times 3 \times \dfrac{1}{2} = 6$ .
Vì $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$, ta có $\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times 3 \times \dfrac{1}{2} = 6$.
4
Vậy $\vec{a}\cdot\vec{b} = 6$ . Vì $6 > 0$ , góc giữa hai vectơ là góc nhọn — khớp với giả thiết $60° < 90°$ .
Vậy $\vec{a}\cdot\vec{b} = 6$. Vì $6 > 0$, góc giữa hai vectơ là góc nhọn — khớp với giả thiết $60° < 90°$.

Ví dụ

Tích vô hướng của hai cạnh trong tam giác đều

1
Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a = 5$ . Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ .
Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a = 5$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
2
Ta có góc $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ chính là góc $\widehat{BAC}$ của tam giác đều, bằng $60°$ .
Ta có góc $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ chính là góc $\widehat{BAC}$ của tam giác đều, bằng $60°$.
3
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cdot\cos 60° = 5 \times 5 \times \dfrac{1}{2} = 12{,}5$ .
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cdot\cos 60° = 5 \times 5 \times \dfrac{1}{2} = 12{,}5$.
4
Kết quả dương và bằng đúng một nửa bình phương cạnh — hợp lý vì góc $60°$ là góc nhọn, và với tam giác đều cạnh $a$ bất kì, công thức tổng quát luôn là $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \dfrac{a^2}{2}$ .
Kết quả dương và bằng đúng một nửa bình phương cạnh — hợp lý vì góc $60°$ là góc nhọn, và với tam giác đều cạnh $a$ bất kì, công thức tổng quát luôn là $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \dfrac{a^2}{2}$.
5
Vậy $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 12{,}5$ .
Vậy $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 12{,}5$.

Ví dụ

Tìm góc giữa hai vectơ khi biết độ dài và tích vô hướng

1
Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ với $|\vec{u}| = 6$ , $|\vec{v}| = 4$ và $\vec{u}\cdot\vec{v} = -12$ . Tính góc $(\vec{u}, \vec{v})$ .
Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ với $|\vec{u}| = 6$, $|\vec{v}| = 4$ và $\vec{u}\cdot\vec{v} = -12$. Tính góc $(\vec{u}, \vec{v})$.
2
Ta có $\cos(\vec{u},\vec{v}) = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|} = \dfrac{-12}{6 \times 4} = \dfrac{-12}{24} = -\dfrac{1}{2}$ .
Ta có $\cos(\vec{u},\vec{v}) = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|} = \dfrac{-12}{6 \times 4} = \dfrac{-12}{24} = -\dfrac{1}{2}$.
3
$\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ ứng với $\theta = 120°$ (góc tù, phù hợp với tích vô hướng âm).
$\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ ứng với $\theta = 120°$ (góc tù, phù hợp với tích vô hướng âm).
4
Vậy $(\vec{u}, \vec{v}) = 120°$ .
Vậy $(\vec{u}, \vec{v}) = 120°$.

Ví dụ

Áp dụng tính chất phân phối để khai triển một biểu thức tích vô hướng

1
Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ với $|\vec{a}|=2$ , $|\vec{b}|=3$ , góc giữa chúng $120°$ . Tính $(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})$ .
Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ với $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$, góc giữa chúng $120°$. Tính $(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})$.
2
$(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} - \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{a} - \vec{b}\cdot\vec{b}$ .
$(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} - \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{a} - \vec{b}\cdot\vec{b}$.
3
Vì $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$ , hai số hạng giữa triệt tiêu nhau: $(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} - \vec{b}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$ .
Vì $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$, hai số hạng giữa triệt tiêu nhau: $(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} - \vec{b}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$.
4
$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 2^2 - 3^2 = 4 - 9 = -5$ . Chú ý: kết quả không phụ thuộc góc $120°$ đã cho — đây là một dữ kiện thừa, cố ý đưa vào để kiểm tra em có thực sự hiểu bước rút gọn hay chỉ áp dụng công thức một cách máy móc.
$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 2^2 - 3^2 = 4 - 9 = -5$. Chú ý: kết quả không phụ thuộc góc $120°$ đã cho — đây là một dữ kiện thừa, cố ý đưa vào để kiểm tra em có thực sự hiểu bước rút gọn hay chỉ áp dụng công thức một cách máy móc.
5
Vậy $(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = -5$ .
Vậy $(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = -5$.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất: nhầm tích vô hướng là một vectơ rồi viết $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{c}$ — sai, kết quả luôn là một số. Một sai lầm khác: quên rằng $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$ (không phải $|\vec{a}|$ ), dẫn tới nhầm đơn vị khi khai triển các biểu thức có bình phương vectơ ở bài luyện tập.

Sai lầm phổ biến nhất: nhầm tích vô hướng là một vectơ rồi viết $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{c}$ — sai, kết quả luôn là một số. Một sai lầm khác: quên rằng $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$ (không phải $|\vec{a}|$), dẫn tới nhầm đơn vị khi khai triển các biểu thức có bình phương vectơ ở bài luyện tập.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\vec{a},\vec{b})$ — một số thực. Giao hoán, phân phối với cộng, kết hợp với số nhân. $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$ . Dấu của tích vô hướng cho biết loại góc: dương (nhọn), âm (tù), bằng 0 (vuông).

Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\vec{a},\vec{b})$ — một số thực. Giao hoán, phân phối với cộng, kết hợp với số nhân. $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$. Dấu của tích vô hướng cho biết loại góc: dương (nhọn), âm (tù), bằng 0 (vuông).

Bản đẳng thức vừa rút gọn — $(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$ — thực chất là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương quen thuộc, chỉ viết bằng ngôn ngữ vectơ. Việc nhận ra những hằng đẳng thức đại số quen thuộc ẩn bên trong biểu thức vectơ sẽ giúp em rút gọn nhanh hơn nhiều so với khai triển tuần tự từng số hạng.

Bài tiếp theo khai thác đúng trường hợp đặc biệt $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ — điều kiện vuông góc bằng vectơ — để chứng minh các tính chất hình học như tam giác vuông, tam giác cân có đường trung tuyến vuông góc với cạnh đáy.