Bài học

Ôn tập tổng hợp chương Vectơ

Mục tiêu bài học

Bài ôn tập này không đưa thêm kiến thức mới — em sẽ kết hợp lại các công cụ đã học trong toàn chương (quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tích một số với vectơ, trung điểm, trọng tâm, phân tích theo cơ sở, tích vô hướng) để giải hai bài toán tổng hợp đúng kiểu đề kiểm tra cuối chương.

Kiến thức nền cần nhớ

Toàn bộ nội dung dưới đây chỉ dùng lại các hệ thức đã chứng minh ở sáu bài trước: quy tắc ba điểm và quy tắc trừ ( $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ ), công thức trung điểm ( $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ ), công thức trọng tâm ( $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ ), phân tích theo cơ sở, và điều kiện vuông góc $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ (same-grade bridge, không có nội dung nào vượt khung chương này).

Toàn bộ nội dung dưới đây chỉ dùng lại các hệ thức đã chứng minh ở sáu bài trước: quy tắc ba điểm và quy tắc trừ ($\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$), công thức trung điểm ($\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$), công thức trọng tâm ($\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$), phân tích theo cơ sở, và điều kiện vuông góc $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ (same-grade bridge, không có nội dung nào vượt khung chương này).

Khởi động

Một đề kiểm tra cuối chương hiếm khi hỏi riêng lẻ từng công thức — nó thường ghép hai, ba ý lại trong một câu duy nhất: vừa có trọng tâm, vừa cần phân tích theo cơ sở; vừa có trung điểm, vừa cần chứng minh vuông góc. Làm sao nhận ra nên bắt đầu từ công cụ nào trước?

Bài toán tổng hợp 1: trọng tâm phân tích theo cơ sở

Bài toán đầu tiên nối lại hai ý của Chương 3 (điều kiện trọng tâm) và Chương 4 (phân tích theo cơ sở): biết trọng tâm thoả $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ , hãy biểu diễn vectơ từ một đỉnh đến trọng tâm theo cơ sở hai cạnh chung đỉnh đó.

Bài toán đầu tiên nối lại hai ý của Chương 3 (điều kiện trọng tâm) và Chương 4 (phân tích theo cơ sở): biết trọng tâm thoả $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, hãy biểu diễn vectơ từ một đỉnh đến trọng tâm theo cơ sở hai cạnh chung đỉnh đó.

Lời giải có hình

Biểu diễn AG theo cơ sở a = AB, b = AC

Bước 1

Cho tam giác $ABC$ , trọng tâm $G$ ; đặt $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ , $\vec{b}=\overrightarrow{AC}$ .Cho tam giác $ABC$, trọng tâm $G$; đặt $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AC}$.

Ví dụ

Bài tổng hợp: biểu diễn vectơ trọng tâm theo cơ sở

1
Cho tam giác $ABC$ , trọng tâm $G$ . Đặt $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ , $\vec{b}=\overrightarrow{AC}$ . Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$ , rồi suy ra biểu diễn của $\overrightarrow{BG}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$ .
Cho tam giác $ABC$, trọng tâm $G$. Đặt $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AC}$. Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$, rồi suy ra biểu diễn của $\overrightarrow{BG}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$.
2
Với gốc $A$ : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) = \dfrac{1}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b}$ (kết hợp công thức trọng tâm của Chương 3 với cách thay theo cơ sở của Chương 4).
Với gốc $A$: $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) = \dfrac{1}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b}$ (kết hợp công thức trọng tâm của Chương 3 với cách thay theo cơ sở của Chương 4).
3
$\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AB} = \left(\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{1}{3}\vec{b}\right) - \vec{a} = -\dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b}$ .
$\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AB} = \left(\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{1}{3}\vec{b}\right) - \vec{a} = -\dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b}$.
4
Cách khác: với gốc $B$ , $\overrightarrow{BG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$ ; thay $\overrightarrow{BA}=-\vec{a}$ và $\overrightarrow{BC}=\vec{b}-\vec{a}$ (quy tắc trừ), ta được $\overrightarrow{BG}=\dfrac{1}{3}(-\vec{a}+\vec{b}-\vec{a}) = -\dfrac{2}{3}\vec{a}+\dfrac{1}{3}\vec{b}$ — khớp với kết quả trên, xác nhận hai cách tính đều đúng.
Cách khác: với gốc $B$, $\overrightarrow{BG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$; thay $\overrightarrow{BA}=-\vec{a}$ và $\overrightarrow{BC}=\vec{b}-\vec{a}$ (quy tắc trừ), ta được $\overrightarrow{BG}=\dfrac{1}{3}(-\vec{a}+\vec{b}-\vec{a}) = -\dfrac{2}{3}\vec{a}+\dfrac{1}{3}\vec{b}$ — khớp với kết quả trên, xác nhận hai cách tính đều đúng.
5
Vậy $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{1}{3}\vec{b}$ và $\overrightarrow{BG} = -\dfrac{2}{3}\vec{a}+\dfrac{1}{3}\vec{b}$ — bài toán chỉ dùng lại công thức trọng tâm (Chương 3) và phép phân tích, quy tắc trừ theo cơ sở (Chương 2, Chương 4), không có kĩ thuật nào mới.
Vậy $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{1}{3}\vec{b}$ và $\overrightarrow{BG} = -\dfrac{2}{3}\vec{a}+\dfrac{1}{3}\vec{b}$ — bài toán chỉ dùng lại công thức trọng tâm (Chương 3) và phép phân tích, quy tắc trừ theo cơ sở (Chương 2, Chương 4), không có kĩ thuật nào mới.

Bài toán tổng hợp 2: trung tuyến ứng với cạnh huyền

Bài toán thứ hai nối lại ý của Chương 3 (trung điểm) và Chương 6 (tích vô hướng, vuông góc): với tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng đúng một nửa cạnh huyền — một tính chất quen thuộc từ hình học lớp dưới mà bây giờ em có thể chứng minh hoàn toàn bằng vectơ.

Ví dụ

Bài tổng hợp: trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

1
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ( $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ ). Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Chứng minh $AM = \dfrac{1}{2}BC$ .
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$). Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $AM = \dfrac{1}{2}BC$.
2
Vì $M$ là trung điểm $BC$ , với gốc $A$ : $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ (công thức trung điểm, Chương 3).
Vì $M$ là trung điểm $BC$, với gốc $A$: $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ (công thức trung điểm, Chương 3).
3
$AM^2 = \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) = \dfrac{1}{4}\left(AB^2 + 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + AC^2\right)$ .
$AM^2 = \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) = \dfrac{1}{4}\left(AB^2 + 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + AC^2\right)$.
4
Vì tam giác vuông tại $A$ , $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ (Chương 6). Suy ra $AM^2 = \dfrac{1}{4}(AB^2+AC^2)$ .
Vì tam giác vuông tại $A$, $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ (Chương 6). Suy ra $AM^2 = \dfrac{1}{4}(AB^2+AC^2)$.
5
Ta có $BC^2 = AB^2+AC^2$ (định lí Pythagoras, đúng vì vuông tại $A$ ). Vậy $AM^2 = \dfrac{1}{4}BC^2$ , suy ra $AM = \dfrac{1}{2}BC$ (lấy căn bậc hai, cả hai vế không âm).
Ta có $BC^2 = AB^2+AC^2$ (định lí Pythagoras, đúng vì vuông tại $A$). Vậy $AM^2 = \dfrac{1}{4}BC^2$, suy ra $AM = \dfrac{1}{2}BC$ (lấy căn bậc hai, cả hai vế không âm).
6
Vậy $AM = \dfrac{1}{2}BC$ — kết quả này chỉ dùng công thức trung điểm và điều kiện vuông góc bằng tích vô hướng, không cần dựng đường tròn ngoại tiếp hay lập luận hình học riêng.
Vậy $AM = \dfrac{1}{2}BC$ — kết quả này chỉ dùng công thức trung điểm và điều kiện vuông góc bằng tích vô hướng, không cần dựng đường tròn ngoại tiếp hay lập luận hình học riêng.

Lời giải có hình

Trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền BC trong tam giác vuông tại A

Bước 1

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ .Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Kết quả $AM = \dfrac{1}{2}BC$ vừa chứng minh chỉ đúng cho TAM GIÁC VUÔNG. Một câu hỏi tự nhiên: với một tam giác bất kì (không nhất thiết vuông), độ dài trung tuyến $AM$ tính theo ba cạnh như thế nào? Đây là dịp tốt để tổng hợp thêm một lần nữa.

Ví dụ

Mở rộng: công thức độ dài trung tuyến cho một tam giác bất kì

1
Cho tam giác $ABC$ bất kì (không nhất thiết vuông), $M$ là trung điểm $BC$ . Tính $AM^2$ theo $AB, AC, BC$ .
Cho tam giác $ABC$ bất kì (không nhất thiết vuông), $M$ là trung điểm $BC$. Tính $AM^2$ theo $AB, AC, BC$.
2
$\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ nên $AM^2 = \dfrac{1}{4}\left(AB^2 + 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + AC^2\right)$ — giống hệt bước khai triển ở bài toán tổng hợp trên, chỉ khác là lần này KHÔNG được thay $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ vì tam giác không nhất thiết vuông.
$\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ nên $AM^2 = \dfrac{1}{4}\left(AB^2 + 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + AC^2\right)$ — giống hệt bước khai triển ở bài toán tổng hợp trên, chỉ khác là lần này KHÔNG được thay $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ vì tam giác không nhất thiết vuông.
3
Từ Chương 6, $BC^2 = AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ , suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$ .
Từ Chương 6, $BC^2 = AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$.
4
$AM^2 = \dfrac{1}{4}\left(AB^2+AC^2 + (AB^2+AC^2-BC^2)\right) = \dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$ .
$AM^2 = \dfrac{1}{4}\left(AB^2+AC^2 + (AB^2+AC^2-BC^2)\right) = \dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$.
5
Vậy $AM^2 = \dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$ với MỌI tam giác $ABC$ . Khi tam giác vuông tại $A$ , $BC^2=AB^2+AC^2$ , thay vào công thức này cho $AM^2=\dfrac{2AB^2+2AC^2-(AB^2+AC^2)}{4}=\dfrac{AB^2+AC^2}{4}=\dfrac{BC^2}{4}$ , tức $AM=\dfrac{1}{2}BC$ — đúng khớp kết quả bài toán tổng hợp 2, xác nhận công thức tổng quát chứa đúng trường hợp riêng đã học.
Vậy $AM^2 = \dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$ với MỌI tam giác $ABC$. Khi tam giác vuông tại $A$, $BC^2=AB^2+AC^2$, thay vào công thức này cho $AM^2=\dfrac{2AB^2+2AC^2-(AB^2+AC^2)}{4}=\dfrac{AB^2+AC^2}{4}=\dfrac{BC^2}{4}$, tức $AM=\dfrac{1}{2}BC$ — đúng khớp kết quả bài toán tổng hợp 2, xác nhận công thức tổng quát chứa đúng trường hợp riêng đã học.

Nhìn lại toàn chương: mọi bài toán vectơ, dù trông phức tạp đến đâu, đều quy về ba thao tác — chèn điểm trung gian (quy tắc ba điểm, quy tắc trừ), thay các điểm đặc biệt bằng hệ thức của chúng (trung điểm, trọng tâm), và rút gọn bằng tính chất đại số của phép cộng, phép nhân với số, hoặc tích vô hướng. Học chắc bốn bài đầu chương (vectơ, tổng-hiệu, tích với số, trung điểm-trọng tâm) là điều kiện để hai bài sau (phân tích theo cơ sở, tích vô hướng) trở nên dễ dàng, vì hai bài sau không hề thêm phép toán mới — chúng chỉ dùng lại đúng những công cụ đã học theo cách kết hợp linh hoạt hơn.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất khi ôn tập: cố nhớ một "công thức tổng hợp" riêng cho từng dạng bài thay vì quay lại đúng ba thao tác nền (chèn điểm trung gian, thay hệ thức đặc biệt, rút gọn đại số). Khi gặp một bài lạ, luôn bắt đầu lại từ ba thao tác này thay vì cố nhớ máy móc lời giải của một bài tương tự đã làm trước đó.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Toàn chương Vectơ quy về ba thao tác: (1) chèn điểm trung gian bằng quy tắc ba điểm/quy tắc trừ, (2) thay các điểm đặc biệt (trung điểm, trọng tâm) bằng đúng hệ thức vectơ của chúng, (3) rút gọn bằng tính chất đại số của phép cộng, phép nhân với số, và tích vô hướng. Mọi bài toán tổng hợp chỉ là sự kết hợp có thứ tự của ba thao tác này.

Khoá học tiếp theo (Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng) sẽ gắn các vectơ này vào một hệ trục Oxy cụ thể, biến mỗi vectơ thành một cặp số — khi đó nhiều hệ thức em vừa chứng minh bằng lập luận thuần vectơ sẽ có thêm một cách tính khác, nhanh hơn bằng toạ độ. Nhưng nền tảng vẫn không đổi: một khi đã hiểu vì sao $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ hay vì sao $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ đúng là điều kiện vuông góc, việc chuyển sang làm việc với toạ độ chỉ là đổi cách viết, không phải học lại từ đầu.