Bài học

Tích của một số với một vectơ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định đúng hướng và độ dài của tích $k\vec{a}$ với $k$ là một số thực cho trước, vận dụng các tính chất của phép nhân này, và dùng điều kiện cùng phương để chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em cách cộng hai vectơ khác nhau (same-grade bridge). Nhưng nếu chỉ có một vectơ và muốn "nhân đôi", "nhân ba" hay "đảo chiều" nó thì sao? Đây là câu hỏi bài này trả lời — và câu trả lời sẽ là chìa khoá để mô tả trung điểm, trọng tâm bằng vectơ ở bài sau.

Khởi động

Một chiếc lò xo đang chịu một lực kéo $\vec{F}$ . Nếu người ta kéo mạnh gấp đôi nhưng vẫn theo đúng hướng cũ, lực mới có còn là $\vec{F}$ không, hay là một vectơ khác? Nếu đổi chiều kéo (đẩy thay vì kéo) với cùng độ lớn, vectơ lực khi đó liên hệ với $\vec{F}$ ban đầu như thế nào?

Một chiếc lò xo đang chịu một lực kéo $\vec{F}$. Nếu người ta kéo mạnh gấp đôi nhưng vẫn theo đúng hướng cũ, lực mới có còn là $\vec{F}$ không, hay là một vectơ khác? Nếu đổi chiều kéo (đẩy thay vì kéo) với cùng độ lớn, vectơ lực khi đó liên hệ với $\vec{F}$ ban đầu như thế nào?

Kiến thức trọng tâm

Cho một số thực $k$ và một vectơ $\vec{a}$ khác $\vec{0}$ . Tích của $k$ với $\vec{a}$ , kí hiệu $k\vec{a}$ , là một vectơ xác định như sau: nếu $k > 0$ thì $k\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ ; nếu $k < 0$ thì $k\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$ ; trong cả hai trường hợp, độ dài của $k\vec{a}$ bằng $|k|$ lần độ dài của $\vec{a}$ , tức $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$ . Quy ước thêm: $0\vec{a} = \vec{0}$ và $k\vec{0} = \vec{0}$ với mọi $k$ .

Cho một số thực $k$ và một vectơ $\vec{a}$ khác $\vec{0}$. Tích của $k$ với $\vec{a}$, kí hiệu $k\vec{a}$, là một vectơ xác định như sau: nếu $k > 0$ thì $k\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$; nếu $k < 0$ thì $k\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$; trong cả hai trường hợp, độ dài của $k\vec{a}$ bằng $|k|$ lần độ dài của $\vec{a}$, tức $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$. Quy ước thêm: $0\vec{a} = \vec{0}$ và $k\vec{0} = \vec{0}$ với mọi $k$.

Chú ý dấu của $k$ chỉ quyết định CÙNG HƯỚNG hay NGƯỢC HƯỚNG, còn giá trị tuyệt đối $|k|$ mới quyết định độ dài thay đổi bao nhiêu lần. Một nhầm lẫn hay gặp là nghĩ $k$ càng âm thì vectơ càng "ngắn lại" — sai, $k=-5$ vẫn cho vectơ dài gấp 5 lần, chỉ là ngược hướng.

Phép nhân này có các tính chất giống hệt phép nhân phân phối của số học: $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ (phân phối với tổng hai vectơ), $(k+l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$ (phân phối với tổng hai số), $k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}$ (kết hợp), $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ , và $(-1)\vec{a} = -\vec{a}$ đúng bằng vectơ đối đã học ở bài đầu chương.

Phép nhân này có các tính chất giống hệt phép nhân phân phối của số học: $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ (phân phối với tổng hai vectơ), $(k+l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$ (phân phối với tổng hai số), $k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}$ (kết hợp), $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$, và $(-1)\vec{a} = -\vec{a}$ đúng bằng vectơ đối đã học ở bài đầu chương.

Lời giải có hình

Tích của một số với vectơ: cùng hướng khi k dương, ngược hướng khi k âm

Bước 1

Cho $\vec{u} = \overrightarrow{OU}$ .Cho $\vec{u} = \overrightarrow{OU}$.

Một hệ quả quan trọng: hai vectơ $\vec{a}$ (khác $\vec{0}$ ) và $\vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực $k$ sao cho $\vec{b} = k\vec{a}$ . Áp dụng vào ba điểm phân biệt $A, B, C$ : ba điểm này thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB}$ với một số $k$ nào đó — vì hai vectơ cùng chung điểm đầu $A$ và cùng phương thì $B, C$ phải cùng nằm trên một đường thẳng qua $A$ . Đây là công cụ vectơ dùng để chứng minh thẳng hàng, thay cho việc so sánh hệ số góc hay dùng thước đo.

Một hệ quả quan trọng: hai vectơ $\vec{a}$ (khác $\vec{0}$) và $\vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực $k$ sao cho $\vec{b} = k\vec{a}$. Áp dụng vào ba điểm phân biệt $A, B, C$: ba điểm này thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB}$ với một số $k$ nào đó — vì hai vectơ cùng chung điểm đầu $A$ và cùng phương thì $B, C$ phải cùng nằm trên một đường thẳng qua $A$. Đây là công cụ vectơ dùng để chứng minh thẳng hàng, thay cho việc so sánh hệ số góc hay dùng thước đo.

Có thể hình dung tích $k\vec{a}$ như một phép "phóng to hoặc thu nhỏ" đoạn thẳng theo giá của $\vec{a}$ : $|k| > 1$ kéo dài vectơ, $0 < |k| < 1$ thu ngắn lại, còn $|k| = 1$ chỉ đổi hướng (nếu $k=-1$ ) hoặc giữ nguyên (nếu $k=1$ ). Cách nhìn "tỉ số trên một đường thẳng" này chính là điều sẽ giúp em định vị chính xác một điểm đặc biệt (như trung điểm hay một điểm chia đoạn theo tỉ lệ cho trước) chỉ bằng một hệ thức vectơ, không cần đo đạc trực tiếp trên hình vẽ.

Có thể hình dung tích $k\vec{a}$ như một phép "phóng to hoặc thu nhỏ" đoạn thẳng theo giá của $\vec{a}$: $|k| > 1$ kéo dài vectơ, $0 < |k| < 1$ thu ngắn lại, còn $|k| = 1$ chỉ đổi hướng (nếu $k=-1$) hoặc giữ nguyên (nếu $k=1$). Cách nhìn "tỉ số trên một đường thẳng" này chính là điều sẽ giúp em định vị chính xác một điểm đặc biệt (như trung điểm hay một điểm chia đoạn theo tỉ lệ cho trước) chỉ bằng một hệ thức vectơ, không cần đo đạc trực tiếp trên hình vẽ.

Ví dụ

Xác định hướng và độ dài của các bội số của một vectơ

1
Cho vectơ $\vec{u}$ với $|\vec{u}| = 6$ cm. Tính độ dài của $4\vec{u}$ và $-3\vec{u}$ , và cho biết mỗi vectơ đó cùng hướng hay ngược hướng với $\vec{u}$ .
Cho vectơ $\vec{u}$ với $|\vec{u}| = 6$ cm. Tính độ dài của $4\vec{u}$ và $-3\vec{u}$, và cho biết mỗi vectơ đó cùng hướng hay ngược hướng với $\vec{u}$.
2
Ta có $k = 4 > 0$ nên $4\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ ; độ dài $|4\vec{u}| = |4| \cdot |\vec{u}| = 4 \times 6 = 24$ cm.
Ta có $k = 4 > 0$ nên $4\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$; độ dài $|4\vec{u}| = |4| \cdot |\vec{u}| = 4 \times 6 = 24$ cm.
3
Ta có $k = -3 < 0$ nên $-3\vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ ; độ dài $|-3\vec{u}| = |-3| \cdot |\vec{u}| = 3 \times 6 = 18$ cm.
Ta có $k = -3 < 0$ nên $-3\vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$; độ dài $|-3\vec{u}| = |-3| \cdot |\vec{u}| = 3 \times 6 = 18$ cm.
4
Vậy $4\vec{u}$ dài 24 cm, cùng hướng $\vec{u}$ ; $-3\vec{u}$ dài 18 cm, ngược hướng $\vec{u}$ .
Vậy $4\vec{u}$ dài 24 cm, cùng hướng $\vec{u}$; $-3\vec{u}$ dài 18 cm, ngược hướng $\vec{u}$.

Ví dụ

Xác định vị trí điểm dựng theo tích một số với vectơ

1
Cho đoạn thẳng $AB$ . Gọi $E, F$ lần lượt là hai điểm thoả $\overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AF} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ . Xác định vị trí của $E$ và $F$ so với đoạn thẳng $AB$ .
Cho đoạn thẳng $AB$. Gọi $E, F$ lần lượt là hai điểm thoả $\overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AF} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Xác định vị trí của $E$ và $F$ so với đoạn thẳng $AB$.
2
Ta có $k = \dfrac{3}{2} > 1$ , dương, nên $E$ nằm cùng phía với $B$ tính từ $A$ (cùng hướng $\overrightarrow{AB}$ ), và cách $A$ một khoảng $\dfrac{3}{2}AB$ — tức $E$ nằm ngoài đoạn $AB$ , quá điểm $B$ đúng $\dfrac{1}{2}AB$ .
Ta có $k = \dfrac{3}{2} > 1$, dương, nên $E$ nằm cùng phía với $B$ tính từ $A$ (cùng hướng $\overrightarrow{AB}$), và cách $A$ một khoảng $\dfrac{3}{2}AB$ — tức $E$ nằm ngoài đoạn $AB$, quá điểm $B$ đúng $\dfrac{1}{2}AB$.
3
Ta có $k = -\dfrac{1}{2} < 0$ nên $F$ nằm ngược hướng $\overrightarrow{AB}$ tính từ $A$ , tức về phía đối diện với $B$ ; khoảng cách $AF = \dfrac{1}{2}AB$ .
Ta có $k = -\dfrac{1}{2} < 0$ nên $F$ nằm ngược hướng $\overrightarrow{AB}$ tính từ $A$, tức về phía đối diện với $B$; khoảng cách $AF = \dfrac{1}{2}AB$.
4
Vậy $E$ nằm trên tia $AB$ , ngoài đoạn $AB$ về phía $B$ ; còn $F$ nằm trên tia đối của tia $AB$ (phía bên kia của $A$ , không cùng phía với $B$ ). Ba điểm $A, E, F$ và $B$ đều thẳng hàng vì cùng nằm trên một đường thẳng.
Vậy $E$ nằm trên tia $AB$, ngoài đoạn $AB$ về phía $B$; còn $F$ nằm trên tia đối của tia $AB$ (phía bên kia của $A$, không cùng phía với $B$). Ba điểm $A, E, F$ và $B$ đều thẳng hàng vì cùng nằm trên một đường thẳng.

Ví dụ

Liên hệ với lực trong Vật lí: nhân đôi và đổi chiều một vectơ lực

1
Một lực $\vec{F}$ tác dụng lên một vật. Nếu tăng độ lớn lực gấp đôi nhưng giữ nguyên hướng tác dụng, vectơ lực mới bằng bao nhiêu lần $\vec{F}$ ? Nếu đổi chiều lực và giảm còn một nửa độ lớn thì vectơ lực mới bằng bao nhiêu lần $\vec{F}$ ?
Một lực $\vec{F}$ tác dụng lên một vật. Nếu tăng độ lớn lực gấp đôi nhưng giữ nguyên hướng tác dụng, vectơ lực mới bằng bao nhiêu lần $\vec{F}$? Nếu đổi chiều lực và giảm còn một nửa độ lớn thì vectơ lực mới bằng bao nhiêu lần $\vec{F}$?
2
Giữ nguyên hướng nghĩa là hệ số nhân dương; tăng gấp đôi độ lớn nghĩa là $|k|=2$ . Vậy vectơ lực mới là $2\vec{F}$ .
Giữ nguyên hướng nghĩa là hệ số nhân dương; tăng gấp đôi độ lớn nghĩa là $|k|=2$. Vậy vectơ lực mới là $2\vec{F}$.
3
Đổi chiều nghĩa là hệ số nhân âm; giảm còn một nửa độ lớn nghĩa là $|k| = \dfrac{1}{2}$ . Vậy vectơ lực mới là $-\dfrac{1}{2}\vec{F}$ .
Đổi chiều nghĩa là hệ số nhân âm; giảm còn một nửa độ lớn nghĩa là $|k| = \dfrac{1}{2}$. Vậy vectơ lực mới là $-\dfrac{1}{2}\vec{F}$.
4
Vậy tích của một số với một vectơ mô tả đúng cách một đại lượng có hướng — như lực — thay đổi độ lớn và có thể đảo chiều trong thực tế, chứ không chỉ là một phép toán trừu tượng trên giấy.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp: cho rằng $k$ âm làm vectơ "nhỏ đi". Độ dài của $k\vec{a}$ luôn là $|k|\cdot|\vec{a}|$ — dấu của $k$ chỉ quyết định hướng, không quyết định độ dài. Một sai lầm khác: khi chứng minh ba điểm thẳng hàng, quên yêu cầu "tồn tại một số $k$ " mà chỉ thử một trường hợp cụ thể rồi vội kết luận — cần trình bày rõ giá trị $k$ tìm được, không chỉ khẳng định suông "chúng thẳng hàng".

Sai lầm thường gặp: cho rằng $k$ âm làm vectơ "nhỏ đi". Độ dài của $k\vec{a}$ luôn là $|k|\cdot|\vec{a}|$ — dấu của $k$ chỉ quyết định hướng, không quyết định độ dài. Một sai lầm khác: khi chứng minh ba điểm thẳng hàng, quên yêu cầu "tồn tại một số $k$" mà chỉ thử một trường hợp cụ thể rồi vội kết luận — cần trình bày rõ giá trị $k$ tìm được, không chỉ khẳng định suông "chúng thẳng hàng".

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tích $k\vec{a}$ ( $\vec{a} \ne \vec{0}$ ): cùng hướng $\vec{a}$ nếu $k>0$ , ngược hướng nếu $k<0$ ; độ dài luôn bằng $|k|\cdot|\vec{a}|$ . Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi một vectơ bằng $k$ lần vectơ kia; ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ với một số $k$ nào đó.

Tích $k\vec{a}$ ($\vec{a} \ne \vec{0}$): cùng hướng $\vec{a}$ nếu $k>0$, ngược hướng nếu $k<0$; độ dài luôn bằng $|k|\cdot|\vec{a}|$. Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi một vectơ bằng $k$ lần vectơ kia; ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ với một số $k$ nào đó.

Bài tiếp theo dùng chính phép nhân này để viết một điều kiện vectơ cho trung điểm của một đoạn thẳng và trọng tâm của một tam giác — hai công cụ sẽ xuất hiện xuyên suốt phần còn lại của chương.