Bài học

Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân tích được một vectơ bất kì trong mặt phẳng theo hai vectơ không cùng phương cho trước, và dùng phép phân tích này để chứng minh các quan hệ song song, thẳng hàng và chia đoạn theo tỉ lệ.

Kiến thức nền cần nhớ

Ba bài trước cho em đủ bộ công cụ: cộng, trừ hai vectơ (quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành), nhân một số với vectơ, và điều kiện trung điểm, trọng tâm (same-grade bridge). Bài này không thêm phép toán mới, mà hỏi một câu tổng quát: liệu có thể dùng CHỈ HAI vectơ cố định để viết ra MỌI vectơ khác trong mặt phẳng hay không?

Khởi động

Trên bản đồ, vị trí một điểm thường được mô tả bằng hai chỉ số: đi bao nhiêu ô theo hướng đông – tây, và bao nhiêu ô theo hướng bắc – nam. Hai hướng đó không cùng phương với nhau. Vì sao chỉ cần hai hướng "chuẩn" như vậy là đủ để định vị bất kì điểm nào trên mặt bản đồ?

Kiến thức trọng tâm

Cho hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ không cùng phương (tức không vectơ nào là bội số của vectơ kia). Khi đó, với MỌI vectơ $\vec{x}$ trong mặt phẳng, luôn tồn tại DUY NHẤT một cặp số thực $(m, n)$ sao cho $\vec{x} = m\vec{a} + n\vec{b}$ . Cặp $\vec{a}, \vec{b}$ khi đó gọi là một cơ sở của mặt phẳng, và biểu thức $m\vec{a} + n\vec{b}$ gọi là phân tích (hay biểu diễn) của $\vec{x}$ theo cơ sở đó.

Cho hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ không cùng phương (tức không vectơ nào là bội số của vectơ kia). Khi đó, với MỌI vectơ $\vec{x}$ trong mặt phẳng, luôn tồn tại DUY NHẤT một cặp số thực $(m, n)$ sao cho $\vec{x} = m\vec{a} + n\vec{b}$. Cặp $\vec{a}, \vec{b}$ khi đó gọi là một cơ sở của mặt phẳng, và biểu thức $m\vec{a} + n\vec{b}$ gọi là phân tích (hay biểu diễn) của $\vec{x}$ theo cơ sở đó.

Tính DUY NHẤT là điều quan trọng nhất của định lí này: nếu $m\vec{a} + n\vec{b} = m'\vec{a} + n'\vec{b}$ thì bắt buộc $m = m'$ và $n = n'$ — không thể có hai cách phân tích khác nhau cho cùng một vectơ theo cùng một cơ sở. Nhờ tính duy nhất này, khi hai vectơ bằng nhau và đã được viết theo cùng một cơ sở, ta có thể "đồng nhất hệ số": so sánh hệ số của $\vec{a}$ ở hai vế, so sánh hệ số của $\vec{b}$ ở hai vế, để suy ra các ẩn số cần tìm — một kĩ thuật sẽ còn dùng lại nhiều lần ở các bài toán hình học phẳng nâng cao hơn.

Trong một bài toán tam giác $ABC$ , cách chọn cơ sở tiện lợi nhất thường là $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ và $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$ — hai vectơ này không cùng phương vì $A, B, C$ không thẳng hàng (ba đỉnh của một tam giác thật sự). Mọi điểm khác trong mặt phẳng chứa tam giác khi đó đều có vectơ từ $A$ tới nó biểu diễn được qua $\vec{a}, \vec{b}$ .

Trong một bài toán tam giác $ABC$, cách chọn cơ sở tiện lợi nhất thường là $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ và $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$ — hai vectơ này không cùng phương vì $A, B, C$ không thẳng hàng (ba đỉnh của một tam giác thật sự). Mọi điểm khác trong mặt phẳng chứa tam giác khi đó đều có vectơ từ $A$ tới nó biểu diễn được qua $\vec{a}, \vec{b}$.

Lời giải có hình

Phân tích AM theo cơ sở a = AB, b = AC (M là trung điểm BC)

Bước 1

Cho tam giác $ABC$ ; đặt $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ , $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$ — cơ sở của mặt phẳng vì $A, B, C$ không thẳng hàng.Cho tam giác $ABC$; đặt $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$ — cơ sở của mặt phẳng vì $A, B, C$ không thẳng hàng.

Ví dụ

Biểu diễn vectơ đến trung điểm cạnh đối diện theo cơ sở

1
Cho tam giác $ABC$ . Đặt $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ , $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$ . Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Biểu diễn $\overrightarrow{AM}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$ .
Cho tam giác $ABC$. Đặt $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Biểu diễn $\overrightarrow{AM}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$.
2
Vì $M$ là trung điểm $BC$ , với gốc $A$ : $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ (công thức trung điểm đã học ở bài trước).
Vì $M$ là trung điểm $BC$, với gốc $A$: $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ (công thức trung điểm đã học ở bài trước).
3
Thay $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ , $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$ , ta được $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\vec{a} + \dfrac{1}{2}\vec{b}$ .
Thay $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$, ta được $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\vec{a} + \dfrac{1}{2}\vec{b}$.
4
Vậy $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\vec{a} + \dfrac{1}{2}\vec{b}$ — hệ số của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều bằng $\dfrac{1}{2}$ , phản ánh đúng việc $M$ nằm chính giữa $B$ và $C$ .
Vậy $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\vec{a} + \dfrac{1}{2}\vec{b}$ — hệ số của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều bằng $\dfrac{1}{2}$, phản ánh đúng việc $M$ nằm chính giữa $B$ và $C$.

Ví dụ

Biểu diễn vectơ đến điểm chia cạnh theo một tỉ lệ cho trước

1
Cho tam giác $ABC$ . Đặt $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ , $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$ . Gọi $I$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $\overrightarrow{BI} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ . Biểu diễn $\overrightarrow{AI}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$ .
Cho tam giác $ABC$. Đặt $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$. Gọi $I$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $\overrightarrow{BI} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Biểu diễn $\overrightarrow{AI}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$.
2
Ta có $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI}$ (quy tắc ba điểm với điểm trung gian $B$ ).
Ta có $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI}$ (quy tắc ba điểm với điểm trung gian $B$).
3
Theo giả thiết, $\overrightarrow{BI} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$ (quy tắc trừ) $= \dfrac{1}{3}\vec{b} - \dfrac{1}{3}\vec{a}$ .
Theo giả thiết, $\overrightarrow{BI} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$ (quy tắc trừ) $= \dfrac{1}{3}\vec{b} - \dfrac{1}{3}\vec{a}$.
4
$\overrightarrow{AI} = \vec{a} + \left(\dfrac{1}{3}\vec{b} - \dfrac{1}{3}\vec{a}\right) = \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b}$ .
$\overrightarrow{AI} = \vec{a} + \left(\dfrac{1}{3}\vec{b} - \dfrac{1}{3}\vec{a}\right) = \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b}$.
5
Vậy $\overrightarrow{AI} = \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b}$ . Chú ý tổng hai hệ số bằng $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1$ — đây không phải ngẫu nhiên: với mọi điểm $I$ nằm trên đường thẳng $BC$ , tổng hệ số của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong biểu diễn $\overrightarrow{AI}$ luôn bằng 1, một dấu hiệu nhận biết điểm thuộc đường thẳng $BC$ .
Vậy $\overrightarrow{AI} = \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b}$. Chú ý tổng hai hệ số bằng $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1$ — đây không phải ngẫu nhiên: với mọi điểm $I$ nằm trên đường thẳng $BC$, tổng hệ số của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong biểu diễn $\overrightarrow{AI}$ luôn bằng 1, một dấu hiệu nhận biết điểm thuộc đường thẳng $BC$.

Phép phân tích theo cơ sở còn cho một cách gọn để chứng minh song song hoặc thẳng hàng: nếu hai vectơ (viết theo CÙNG một cơ sở) có hệ số của $\vec{a}$ và hệ số của $\vec{b}$ tỉ lệ với nhau theo cùng một tỉ số, thì hai vectơ đó cùng phương — dẫn tới song song (nếu không cùng giá) hoặc thẳng hàng (nếu có điểm chung).

Ví dụ

Dùng phân tích theo cơ sở để chứng minh hai đoạn thẳng song song

1
Cho tam giác $ABC$ . Đặt $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ , $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$ . Gọi $P, Q$ lần lượt là các điểm thoả $\overrightarrow{AP} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AQ} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ . Chứng minh $PQ$ song song với $BC$ và tính $PQ$ theo $BC$ .
Cho tam giác $ABC$. Đặt $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$. Gọi $P, Q$ lần lượt là các điểm thoả $\overrightarrow{AP} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AQ} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Chứng minh $PQ$ song song với $BC$ và tính $PQ$ theo $BC$.
2
Ta có $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} = \dfrac{1}{3}\vec{b} - \dfrac{1}{3}\vec{a} = \dfrac{1}{3}(\vec{b} - \vec{a})$ .
Ta có $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} = \dfrac{1}{3}\vec{b} - \dfrac{1}{3}\vec{a} = \dfrac{1}{3}(\vec{b} - \vec{a})$.
3
Mặt khác, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ (quy tắc trừ). Vậy $\overrightarrow{PQ} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ .
Mặt khác, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ (quy tắc trừ). Vậy $\overrightarrow{PQ} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.
4
Vì $\overrightarrow{PQ}$ là tích của $\dfrac{1}{3}$ (khác 0) với $\overrightarrow{BC}$ nên hai vectơ này cùng phương; do $P, Q$ không thuộc đường thẳng $BC$ (chúng nằm trên $AB, AC$ ), $PQ$ và $BC$ không trùng giá nên $PQ \parallel BC$ , và $PQ = \dfrac{1}{3}BC$ về độ dài.
Vì $\overrightarrow{PQ}$ là tích của $\dfrac{1}{3}$ (khác 0) với $\overrightarrow{BC}$ nên hai vectơ này cùng phương; do $P, Q$ không thuộc đường thẳng $BC$ (chúng nằm trên $AB, AC$), $PQ$ và $BC$ không trùng giá nên $PQ \parallel BC$, và $PQ = \dfrac{1}{3}BC$ về độ dài.

So với việc dựng hình rồi đo đạc trực tiếp, cách làm bằng cơ sở có một lợi thế rõ rệt: mọi lập luận chỉ còn là cộng, trừ và nhân vectơ với số — những phép toán đã có sẵn quy tắc chặt chẽ từ ba bài trước, không phụ thuộc hình vẽ có chính xác hay không. Đây cũng là lí do phương pháp này được dùng để giải nhiều bài toán chứng minh thẳng hàng, song song, hay tìm điểm cố định mà cách vẽ hình thuần tuý khó xử lí triệt để.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất: chọn hai vectơ "cơ sở" mà thực ra cùng phương (ví dụ lấy cả hai vectơ trên cùng một cạnh) — khi đó phép phân tích không còn tồn tại hoặc không duy nhất, mọi lập luận phía sau đều sai. Một sai lầm khác: quên rằng phân tích là DUY NHẤT nên khi có $m\vec{a}+n\vec{b} = m'\vec{a}+n'\vec{b}$ , phải kết luận $m=m'$ và $n=n'$ cùng lúc — không được chỉ so sánh một hệ số rồi bỏ qua hệ số còn lại.

Sai lầm phổ biến nhất: chọn hai vectơ "cơ sở" mà thực ra cùng phương (ví dụ lấy cả hai vectơ trên cùng một cạnh) — khi đó phép phân tích không còn tồn tại hoặc không duy nhất, mọi lập luận phía sau đều sai. Một sai lầm khác: quên rằng phân tích là DUY NHẤT nên khi có $m\vec{a}+n\vec{b} = m'\vec{a}+n'\vec{b}$, phải kết luận $m=m'$ và $n=n'$ cùng lúc — không được chỉ so sánh một hệ số rồi bỏ qua hệ số còn lại.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hai vectơ không cùng phương $\vec{a}, \vec{b}$ tạo thành một cơ sở: mọi vectơ $\vec{x}$ trong mặt phẳng viết được DUY NHẤT dưới dạng $\vec{x} = m\vec{a} + n\vec{b}$ . Trong tam giác $ABC$ , cơ sở tiện lợi là $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ , $\vec{b}=\overrightarrow{AC}$ . Điểm thuộc đường thẳng $BC$ có tổng hệ số của $\vec{a}, \vec{b}$ trong biểu diễn $\overrightarrow{AX}$ luôn bằng 1.

Hai vectơ không cùng phương $\vec{a}, \vec{b}$ tạo thành một cơ sở: mọi vectơ $\vec{x}$ trong mặt phẳng viết được DUY NHẤT dưới dạng $\vec{x} = m\vec{a} + n\vec{b}$. Trong tam giác $ABC$, cơ sở tiện lợi là $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AC}$. Điểm thuộc đường thẳng $BC$ có tổng hệ số của $\vec{a}, \vec{b}$ trong biểu diễn $\overrightarrow{AX}$ luôn bằng 1.

Đến đây, em đã có đủ công cụ đại số cho vectơ: cộng, trừ, nhân với số, và phân tích theo cơ sở. Hai bài tiếp theo chuyển sang một phép toán khác hẳn — tích vô hướng của hai vectơ, một phép nhân cho ra kết quả là một SỐ chứ không phải một vectơ, và chính phép toán này sẽ mở khoá khái niệm góc và vuông góc bằng ngôn ngữ vectơ.