Bài học

Vectơ, cùng phương, cùng hướng và bằng nhau

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu đúng định nghĩa vectơ, xác định được khi nào hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, và phân biệt được hai vectơ bằng nhau với hai vectơ đối nhau trên một hình vẽ cụ thể.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã quen với đoạn thẳng $AB$ — một đối tượng không phân biệt điểm nào là điểm đầu. Bài này đưa vào một đối tượng mới: đoạn thẳng có hướng. Cũng cần nhớ lại cách tính độ dài đoạn thẳng và nhận biết hai đường thẳng song song từ chương trình lớp dưới (prior-grade review).

Khởi động

Một chiếc thuyền rời bến với vận tốc 20 km/h theo hướng đông bắc. Một chiếc khác cũng chạy 20 km/h nhưng theo hướng tây nam. Hai vận tốc này có "độ lớn" bằng nhau, vậy chúng có phải là một không? Rõ ràng là không — thuyền thứ nhất và thuyền thứ hai đi về hai phía đối lập nhau. Đại lượng vừa có độ lớn vừa có hướng như vậy cần một công cụ toán học riêng để mô tả, và đó chính là vectơ.

Kiến thức trọng tâm

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng: người ta chọn một trong hai đầu mút làm điểm đầu, đầu còn lại làm điểm cuối. Vectơ có điểm đầu $A$ , điểm cuối $B$ được kí hiệu $\overrightarrow{AB}$ , đọc là "vectơ AB". Chiều từ $A$ đến $B$ gọi là hướng của vectơ. Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối, người ta kí hiệu vectơ bằng một chữ cái thường có mũi tên ở trên, chẳng hạn $\vec{a}$ , $\vec{u}$ .

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng: người ta chọn một trong hai đầu mút làm điểm đầu, đầu còn lại làm điểm cuối. Vectơ có điểm đầu $A$, điểm cuối $B$ được kí hiệu $\overrightarrow{AB}$, đọc là "vectơ AB". Chiều từ $A$ đến $B$ gọi là hướng của vectơ. Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối, người ta kí hiệu vectơ bằng một chữ cái thường có mũi tên ở trên, chẳng hạn $\vec{a}$, $\vec{u}$.

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ gọi là giá của vectơ đó. Giá cho biết vectơ "nằm dọc theo hướng nào" trong mặt phẳng, không phụ thuộc việc vectơ dài hay ngắn. Độ dài đoạn thẳng $AB$ gọi là độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ , kí hiệu $|\overrightarrow{AB}|$ ; đây đúng bằng khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ mà em đã biết cách tính.

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ gọi là giá của vectơ đó. Giá cho biết vectơ "nằm dọc theo hướng nào" trong mặt phẳng, không phụ thuộc việc vectơ dài hay ngắn. Độ dài đoạn thẳng $AB$ gọi là độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$, kí hiệu $|\overrightarrow{AB}|$; đây đúng bằng khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ mà em đã biết cách tính.

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Khi đã cùng phương, hai vectơ chỉ còn hai khả năng về chiều: cùng hướng (mũi tên chỉ về cùng một phía) hoặc ngược hướng (mũi tên chỉ về hai phía đối lập) — không có khả năng thứ ba nào khác. Cần phân biệt rõ "cùng phương" (chỉ nói về giá, chưa nói về chiều) với "cùng hướng" (đã xác định luôn cả chiều).

Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ gọi là bằng nhau, viết $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ , nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Chú ý: hai vectơ bằng nhau không đòi hỏi chung điểm đầu hay điểm cuối — chỉ cần đặt cùng một chiều dài, cùng một hướng ở bất kì vị trí nào trong mặt phẳng thì hai vectơ đó vẫn được coi là một. Đây là điểm khác biệt lớn nhất so với đoạn thẳng thông thường, nơi vị trí của hai đầu mút luôn được phân biệt.

Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ gọi là bằng nhau, viết $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Chú ý: hai vectơ bằng nhau không đòi hỏi chung điểm đầu hay điểm cuối — chỉ cần đặt cùng một chiều dài, cùng một hướng ở bất kì vị trí nào trong mặt phẳng thì hai vectơ đó vẫn được coi là một. Đây là điểm khác biệt lớn nhất so với đoạn thẳng thông thường, nơi vị trí của hai đầu mút luôn được phân biệt.

Vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ là vectơ cùng độ dài nhưng ngược hướng với nó, kí hiệu $-\overrightarrow{AB}$ . Dễ thấy vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ chính là $\overrightarrow{BA}$ — đổi điểm đầu thành điểm cuối và ngược lại thì được vectơ đối. Cuối cùng, vectơ-không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối, kí hiệu $\vec{0}$ (chẳng hạn $\overrightarrow{AA}$ ); độ dài của nó bằng 0 và theo quy ước, vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ khác — quy ước này giúp các công thức vectơ ở những bài sau không phải xét riêng trường hợp đặc biệt này.

Vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ là vectơ cùng độ dài nhưng ngược hướng với nó, kí hiệu $-\overrightarrow{AB}$. Dễ thấy vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ chính là $\overrightarrow{BA}$ — đổi điểm đầu thành điểm cuối và ngược lại thì được vectơ đối. Cuối cùng, vectơ-không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối, kí hiệu $\vec{0}$ (chẳng hạn $\overrightarrow{AA}$); độ dài của nó bằng 0 và theo quy ước, vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ khác — quy ước này giúp các công thức vectơ ở những bài sau không phải xét riêng trường hợp đặc biệt này.

Lời giải có hình

Vectơ bằng nhau và vectơ đối trong hình bình hành

Bước 1

Cho hình bình hành $ABCD$ (các đỉnh gọi theo đúng thứ tự quanh hình).Cho hình bình hành $ABCD$ (các đỉnh gọi theo đúng thứ tự quanh hình).

Ví dụ

Nhận diện các cặp vectơ bằng nhau, đối nhau, cùng phương trong hình bình hành

1
Cho hình bình hành $ABCD$ . Hãy chỉ ra một cặp vectơ bằng nhau, một cặp vectơ đối nhau, và cho biết $\overrightarrow{AC}$ có bằng $\overrightarrow{BD}$ không.
Cho hình bình hành $ABCD$. Hãy chỉ ra một cặp vectơ bằng nhau, một cặp vectơ đối nhau, và cho biết $\overrightarrow{AC}$ có bằng $\overrightarrow{BD}$ không.
2
Ta có $AB$ song song và bằng $DC$ (tính chất hình bình hành), và hướng đi từ $A$ đến $B$ cùng chiều với hướng đi từ $D$ đến $C$ . Vậy $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .
Ta có $AB$ song song và bằng $DC$ (tính chất hình bình hành), và hướng đi từ $A$ đến $B$ cùng chiều với hướng đi từ $D$ đến $C$. Vậy $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
3
Xét $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ (chiều từ $C$ đến $D$ ): hai vectơ này cùng phương (giá song song với $AB$ ), cùng độ dài, nhưng ngược hướng. Do đó $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}$ , tức đây là một cặp vectơ đối.
Xét $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ (chiều từ $C$ đến $D$): hai vectơ này cùng phương (giá song song với $AB$), cùng độ dài, nhưng ngược hướng. Do đó $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}$, tức đây là một cặp vectơ đối.
4
$\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ đều là đường chéo nhưng nằm trên hai giá khác nhau (hai đường chéo của hình bình hành không song song, trừ trường hợp suy biến). Hai vectơ chỉ có thể bằng nhau khi cùng phương, mà ở đây giá của chúng cắt nhau tại một điểm chứ không song song.
$\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ đều là đường chéo nhưng nằm trên hai giá khác nhau (hai đường chéo của hình bình hành không song song, trừ trường hợp suy biến). Hai vectơ chỉ có thể bằng nhau khi cùng phương, mà ở đây giá của chúng cắt nhau tại một điểm chứ không song song.
5
Vậy $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (bằng nhau), $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}$ (đối nhau), còn $\overrightarrow{AC}$ không bằng $\overrightarrow{BD}$ vì hai vectơ này không cùng phương.
Vậy $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (bằng nhau), $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}$ (đối nhau), còn $\overrightarrow{AC}$ không bằng $\overrightarrow{BD}$ vì hai vectơ này không cùng phương.

Ví dụ

So sánh độ dài và hướng của các vectơ trên một tam giác cân

1
Cho tam giác cân $MNP$ tại $M$ , với $I$ là trung điểm $NP$ . Trong các vectơ $\overrightarrow{MN}$ , $\overrightarrow{MP}$ , $\overrightarrow{NI}$ , $\overrightarrow{IP}$ , hãy chỉ ra hai vectơ có cùng độ dài nhưng không cùng phương, và hai vectơ cùng phương nhưng không cùng độ dài (nếu có).
Cho tam giác cân $MNP$ tại $M$, với $I$ là trung điểm $NP$. Trong các vectơ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{MP}$, $\overrightarrow{NI}$, $\overrightarrow{IP}$, hãy chỉ ra hai vectơ có cùng độ dài nhưng không cùng phương, và hai vectơ cùng phương nhưng không cùng độ dài (nếu có).
2
Ta có tam giác cân tại $M$ nên $MN = MP$ (hai cạnh bên bằng nhau). Vậy $|\overrightarrow{MN}| = |\overrightarrow{MP}|$ .
Ta có tam giác cân tại $M$ nên $MN = MP$ (hai cạnh bên bằng nhau). Vậy $|\overrightarrow{MN}| = |\overrightarrow{MP}|$.
3
Giá của $\overrightarrow{MN}$ là đường thẳng $MN$ , giá của $\overrightarrow{MP}$ là đường thẳng $MP$ — hai đường thẳng này cắt nhau tại $M$ , không song song, nên không cùng phương.
Giá của $\overrightarrow{MN}$ là đường thẳng $MN$, giá của $\overrightarrow{MP}$ là đường thẳng $MP$ — hai đường thẳng này cắt nhau tại $M$, không song song, nên không cùng phương.
4
Vì $I$ là trung điểm $NP$ nên $NI = IP$ (bằng một nửa $NP$ ), và cả hai đoạn cùng nằm trên đường thẳng $NP$ nên $\overrightarrow{NI}$ , $\overrightarrow{IP}$ cùng phương. Chiều từ $N$ đến $I$ và từ $I$ đến $P$ là cùng một chiều dọc theo $NP$ , nên hai vectơ này thực chất cùng hướng và cùng độ dài — tức bằng nhau, không rơi vào trường hợp "cùng phương nhưng khác độ dài".
Vì $I$ là trung điểm $NP$ nên $NI = IP$ (bằng một nửa $NP$), và cả hai đoạn cùng nằm trên đường thẳng $NP$ nên $\overrightarrow{NI}$, $\overrightarrow{IP}$ cùng phương. Chiều từ $N$ đến $I$ và từ $I$ đến $P$ là cùng một chiều dọc theo $NP$, nên hai vectơ này thực chất cùng hướng và cùng độ dài — tức bằng nhau, không rơi vào trường hợp "cùng phương nhưng khác độ dài".
5
Vậy $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ là cặp có cùng độ dài nhưng không cùng phương; còn $\overrightarrow{NI}$ và $\overrightarrow{IP}$ cùng phương, cùng hướng và cùng độ dài (bằng nhau) — đề không có cặp nào cùng phương mà khác độ dài trong bốn vectơ đã cho.
Vậy $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ là cặp có cùng độ dài nhưng không cùng phương; còn $\overrightarrow{NI}$ và $\overrightarrow{IP}$ cùng phương, cùng hướng và cùng độ dài (bằng nhau) — đề không có cặp nào cùng phương mà khác độ dài trong bốn vectơ đã cho.

Sai lầm thường gặp

Nhiều em nhầm "cùng phương" với "cùng hướng". Cùng phương chỉ nói giá của hai vectơ song song hoặc trùng nhau — chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Một sai lầm khác: cho rằng hai vectơ bằng nhau thì phải có chung điểm đầu. Sai — $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ hoàn toàn có thể xảy ra dù $A, B, C, D$ là bốn điểm khác nhau, miễn là cùng hướng và cùng độ dài.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Vectơ là đoạn thẳng có hướng, kí hiệu $\overrightarrow{AB}$ . Hai vectơ cùng phương khi giá song song hoặc trùng nhau; cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài; vectơ đối thì cùng độ dài nhưng ngược hướng.

Vectơ là đoạn thẳng có hướng, kí hiệu $\overrightarrow{AB}$. Hai vectơ cùng phương khi giá song song hoặc trùng nhau; cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài; vectơ đối thì cùng độ dài nhưng ngược hướng.

Bài tiếp theo trả lời câu hỏi: khi "cộng" hai vectơ lại, kết quả là vectơ nào? Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành sẽ cho em cách dựng và tính tổng, hiệu của hai vectơ bất kì.