Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Điều kiện vectơ của trung điểm và trọng tâm
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em phát biểu và chứng minh được điều kiện vectơ của trung điểm một đoạn thẳng, điều kiện vectơ của trọng tâm một tam giác, và vận dụng cả hai để giải các bài toán chứng minh đẳng thức vectơ có chứa điểm đặc biệt.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài trước cho em quy tắc dựng $k\vec{a}$ và điều kiện cùng phương (same-grade bridge). Em cũng đã biết từ hình học lớp dưới rằng trọng tâm một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\dfrac{2}{3}$ độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh đó (prior-grade review) — bài này sẽ viết lại chính xác hai sự kiện hình học quen thuộc (trung điểm, trọng tâm) dưới dạng một hệ thức vectơ, để dùng làm công cụ tính toán thay vì chỉ để nhận biết bằng mắt.
Khởi động
Hai bạn học sinh kéo co ở hai đầu một sợi dây buộc vào điểm chính giữa một chiếc bàn. Nếu lực kéo hai bên bằng nhau và ngược chiều, điểm giữa có bị kéo lệch đi đâu không? Trực giác nói "không" — nhưng làm sao viết chính xác điều đó bằng một hệ thức vectơ?
Kiến thức trọng tâm
Cho đoạn thẳng $AB$. Điểm $M$ là trung điểm của $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$. Thật vậy, $M$ là trung điểm nghĩa là $M$ nằm giữa $A, B$ và $MA = MB$; khi đó $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng độ dài nhưng ngược hướng (vì $M$ nằm giữa), nên tổng của chúng bằng $\vec{0}$ theo đúng định nghĩa vectơ đối đã học.
Lời giải có hình
Điều kiện trung điểm: MA + MB = 0
Bước 1
Cho đoạn thẳng AB.
Từ hệ thức trên, ta suy ra một công thức rất hữu dụng: với điểm $O$ bất kì (không nhất thiết thuộc đoạn $AB$), nếu $M$ là trung điểm $AB$ thì $\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$. Để thấy điều này, viết $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM}$ (quy tắc ba điểm), rồi thay $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})$ (quy tắc trừ); rút gọn ta được đúng công thức trên. Công thức này cho phép tính vectơ đến trung điểm mà không cần biết trước $M$ nằm ở đâu trên hình.
Với tam giác $ABC$, điểm $G$ được gọi là trọng tâm khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$. Tương tự trung điểm, với $O$ bất kì ta cũng có $\overrightarrow{OG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$ — trọng tâm là "điểm trung bình" của ba đỉnh theo nghĩa vectơ, giống hệt cách trung điểm là điểm trung bình của hai đầu mút.
Lời giải có hình
Điều kiện trọng tâm: GA + GB + GC = 0
Bước 1
Cho tam giác $ABC$.
Ví dụ
Chứng minh điều kiện trọng tâm bằng vectơ từ tỉ số trung tuyến đã biết
1
Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$, $M$ là trung điểm $BC$. Biết $\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ (tính chất trọng tâm đã học ở hình học lớp dưới). Chứng minh $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.
2
Ta có $M$ là trung điểm $BC$ nên theo công thức trung điểm với gốc $G$: $\overrightarrow{GM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC})$, suy ra $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}$. (1)
3
Ta có $\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AM} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AM}$. (2)
4
Từ (1) và (2): $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2 \times \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$. Mặt khác $\overrightarrow{GA} = -\overrightarrow{AG} = -\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.
5
Cộng lại: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = -\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM} = \vec{0}$. Vậy điều kiện trọng tâm được chứng minh, đúng như hệ thức đã nêu.
Ví dụ
Áp dụng: chứng minh một đẳng thức vectơ giữa bốn điểm bất kì
1
Cho tứ giác $ABCD$ (bốn điểm bất kì, không cần lồi). Gọi $M$ là trung điểm $AC$, $N$ là trung điểm $BD$. Chứng minh $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CD} = 4\overrightarrow{MN}$.
2
Ta có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA}$, và các vectơ còn lại viết tương tự qua gốc $M$ (quy tắc trừ).
3
Cộng bốn vectơ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MD} - 2\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MC}$, vì mỗi điểm $B, D$ xuất hiện hai lần với dấu cộng và $A, C$ xuất hiện hai lần với dấu trừ.
4
Vì $M$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$, tức $\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MC}$; suy ra $-2\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MC} = -2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}) = \vec{0}$.
5
Còn lại $2\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MD} = 2(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}) = 2 \times 2\overrightarrow{MN} = 4\overrightarrow{MN}$ (dùng công thức trung điểm cho $N$ là trung điểm $BD$, gốc $M$). Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD} = 4\overrightarrow{MN}$ — đúng với MỌI tứ giác $ABCD$, kể cả tứ giác không lồi.
Ví dụ
Áp dụng vào hình bình hành đã dựng ở Chương 1 và Chương 2
1
Cho hình bình hành $ABCD$, $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$. Chứng minh $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}$.
2
Ta có (đã biết) hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, tức $O$ vừa là trung điểm $AC$, vừa là trung điểm $BD$.
3
Vì $O$ là trung điểm $AC$: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$. Vì $O$ là trung điểm $BD$: $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}$.
Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} = \vec{0}$ — kết quả này chỉ dùng lại đúng một công cụ (điều kiện trung điểm) áp dụng hai lần, không cần thêm giả thiết nào khác ngoài "$ABCD$ là hình bình hành".
Quan sát ba ví dụ vừa làm, em sẽ thấy một mạch chung: mỗi khi đề bài nhắc đến "trung điểm" hay "trọng tâm", việc đầu tiên là viết ngay hệ thức vectơ tương ứng — dù đó là điều cần chứng minh (như ví dụ 1) hay chỉ là một giả thiết trung gian (như ví dụ 2, 3). Từ hệ thức đó, mọi phép biến đổi còn lại chỉ là cộng, trừ và nhân vectơ với một số — những công cụ em đã có sẵn từ ba bài trước. Đây cũng là lí do vì sao hai điều kiện này luôn được học cùng nhau: chúng dùng chung một cách suy luận, chỉ khác số lượng điểm (hai điểm cho trung điểm, ba điểm cho trọng tâm).
Sai lầm thường gặp
Sai lầm phổ biến nhất: viết điều kiện trọng tâm nhầm dấu, chẳng hạn $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ nhưng khi tính lại cộng nhầm $\overrightarrow{AG}$ thay vì $\overrightarrow{GA}$ — hai vectơ này ngược hướng nhau. Một sai lầm khác: áp dụng công thức $\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ mà quên rằng công thức chỉ đúng khi $M$ THỰC SỰ là trung điểm $AB$ — không áp dụng được cho một điểm chia đoạn theo tỉ lệ khác.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
$M$ là trung điểm $AB$ $\iff$ $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ $\iff$ $\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ với $O$ bất kì. $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $\iff$ $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ $\iff$ $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$.
Chương tiếp theo hỏi một câu tổng quát hơn: nếu không có điểm đặc biệt nào cho sẵn (không trung điểm, không trọng tâm), làm sao viết một vectơ bất kì trong mặt phẳng qua hai vectơ đã chọn làm chuẩn? Đó là nội dung của phép phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương.
Bài trước cho em quy tắc dựng ka và điều kiện cùng phương (same-grade bridge). Em cũng đã biết từ hình học lớp dưới rằng trọng tâm một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 32 độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh đó (prior-grade review) — bài này sẽ viết lại chính xác hai sự kiện hình học quen thuộc (trung điểm, trọng tâm) dưới dạng một hệ thức vectơ, để dùng làm công cụ tính toán thay vì chỉ để nhận biết bằng mắt.
Cho đoạn thẳng AB. Điểm M là trung điểm của AB khi và chỉ khi MA+MB=0. Thật vậy, M là trung điểm nghĩa là M nằm giữa A,B và MA=MB; khi đó MA và MB cùng độ dài nhưng ngược hướng (vì M nằm giữa), nên tổng của chúng bằng 0 theo đúng định nghĩa vectơ đối đã học.
Từ hệ thức trên, ta suy ra một công thức rất hữu dụng: với điểm O bất kì (không nhất thiết thuộc đoạn AB), nếu M là trung điểm AB thì OM=21(OA+OB). Để thấy điều này, viết OM=OA+AM (quy tắc ba điểm), rồi thay AM=21AB=21(OB−OA) (quy tắc trừ); rút gọn ta được đúng công thức trên. Công thức này cho phép tính vectơ đến trung điểm mà không cần biết trước M nằm ở đâu trên hình.
Với tam giác ABC, điểm G được gọi là trọng tâm khi và chỉ khi GA+GB+GC=0. Tương tự trung điểm, với O bất kì ta cũng có OG=31(OA+OB+OC) — trọng tâm là "điểm trung bình" của ba đỉnh theo nghĩa vectơ, giống hệt cách trung điểm là điểm trung bình của hai đầu mút.
Cho tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là trung điểm BC. Biết AG=32AM (tính chất trọng tâm đã học ở hình học lớp dưới). Chứng minh GA+GB+GC=0.
Ta có M là trung điểm BC nên theo công thức trung điểm với gốc G: GM=21(GB+GC), suy ra GB+GC=2GM. (1)
Ta có GM=AM−AG=AM−32AM=31AM. (2)
Từ (1) và (2): GB+GC=2×31AM=32AM. Mặt khác GA=−AG=−32AM.
Cộng lại: GA+GB+GC=−32AM+32AM=0. Vậy điều kiện trọng tâm được chứng minh, đúng như hệ thức đã nêu.
Cho tứ giác ABCD (bốn điểm bất kì, không cần lồi). Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm BD. Chứng minh AB+CB+AD+CD=4MN.
Ta có AB=MB−MA, và các vectơ còn lại viết tương tự qua gốc M (quy tắc trừ).
Cộng bốn vectơ: AB+CB+AD+CD=2MB+2MD−2MA−2MC, vì mỗi điểm B,D xuất hiện hai lần với dấu cộng và A,C xuất hiện hai lần với dấu trừ.
Vì M là trung điểm AC nên MA+MC=0, tức MA=−MC; suy ra −2MA−2MC=−2(MA+MC)=0.
Còn lại 2MB+2MD=2(MB+MD)=2×2MN=4MN (dùng công thức trung điểm cho N là trung điểm BD, gốc M). Vậy AB+CB+AD+CD=4MN — đúng với MỌI tứ giác ABCD, kể cả tứ giác không lồi.
Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Chứng minh OA+OB+OC+OD=0.
Ta có (đã biết) hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, tức O vừa là trung điểm AC, vừa là trung điểm BD.
Vì O là trung điểm AC: OA+OC=0. Vì O là trung điểm BD: OB+OD=0.
Cộng vế theo vế: (OA+OC)+(OB+OD)=0+0=0.
Vậy OA+OB+OC+OD=0 — kết quả này chỉ dùng lại đúng một công cụ (điều kiện trung điểm) áp dụng hai lần, không cần thêm giả thiết nào khác ngoài "ABCD là hình bình hành".
Quan sát ba ví dụ vừa làm, em sẽ thấy một mạch chung: mỗi khi đề bài nhắc đến "trung điểm" hay "trọng tâm", việc đầu tiên là viết ngay hệ thức vectơ tương ứng — dù đó là điều cần chứng minh (như ví dụ 1) hay chỉ là một giả thiết trung gian (như ví dụ 2, 3). Từ hệ thức đó, mọi phép biến đổi còn lại chỉ là cộng, trừ và nhân vectơ với một số — những công cụ em đã có sẵn từ ba bài trước. Đây cũng là lí do vì sao hai điều kiện này luôn được học cùng nhau: chúng dùng chung một cách suy luận, chỉ khác số lượng điểm (hai điểm cho trung điểm, ba điểm cho trọng tâm).
Sai lầm phổ biến nhất: viết điều kiện trọng tâm nhầm dấu, chẳng hạn GA+GB+GC=0 nhưng khi tính lại cộng nhầm AG thay vì GA — hai vectơ này ngược hướng nhau. Một sai lầm khác: áp dụng công thức OM=21(OA+OB) mà quên rằng công thức chỉ đúng khi M THỰC SỰ là trung điểm AB — không áp dụng được cho một điểm chia đoạn theo tỉ lệ khác.
M là trung điểm AB⟺MA+MB=0⟺OM=21(OA+OB) với O bất kì. G là trọng tâm tam giác ABC⟺GA+GB+GC=0⟺OG=31(OA+OB+OC).