Bài học

Cấp số nhân: định nghĩa, số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được định nghĩa cấp số nhân, tính được công bội, tính được bất kỳ số hạng nào và tổng $n$ số hạng đầu tiên, và phân biệt được cấp số nhân với cấp số cộng khi cho một dãy số bất kỳ, không nhầm lẫn hai công thức chỉ vì chúng trông giống nhau về vị trí ký hiệu.

Kiến thức nền cần nhớ

Ba chương trước đã xây dựng cấp số cộng từ một ý tưởng: hiệu giữa hai số hạng liên tiếp không đổi. Bài này đặt lại câu hỏi tương tự, nhưng thay phép trừ bằng phép chia: nếu thương giữa hai số hạng liên tiếp không đổi thay vì hiệu, ta có một loại dãy số khác hẳn về hành vi tăng trưởng, dù cách xây dựng định nghĩa lại rất giống nhau (same-grade bridge).

Khởi động

Một tờ giấy dày $0{,}1$ mm. Mỗi lần gập đôi, độ dày tăng gấp hai. Sau 10 lần gập, độ dày sẽ là bao nhiêu? Hầu hết mọi người đoán một con số chỉ vài milimét — em thử đoán trước, rồi so với con số thật ở cuối bài này.

Kiến thức trọng tâm

Dãy số $(u_n)$ với $u_n \ne 0$ với mọi $n$ gọi là một cấp số nhân nếu tồn tại một số $q$ không đổi sao cho $u_{n+1} = u_n \cdot q$ với mọi $n \ge 1$ . Số $q$ gọi là công bội của cấp số nhân. Từ hệ thức truy hồi này, ta suy ra công thức số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{\,n-1}$ Chú ý số mũ là $n-1$ , không phải $n$ — giống hệt lỗi cần tránh ở công thức cấp số cộng, chỉ khác phép toán là lũy thừa thay vì nhân với $(n-1)$ .

Dãy số $(u_n)$ với $u_n \ne 0$ với mọi $n$ gọi là một cấp số nhân nếu tồn tại một số $q$ không đổi sao cho $u_{n+1} = u_n \cdot q$ với mọi $n \ge 1$. Số $q$ gọi là công bội của cấp số nhân. Từ hệ thức truy hồi này, ta suy ra công thức số hạng tổng quát: $$u_n = u_1 \cdot q^{\,n-1}$$Chú ý số mũ là $n-1$, không phải $n$ — giống hệt lỗi cần tránh ở công thức cấp số cộng, chỉ khác phép toán là lũy thừa thay vì nhân với $(n-1)$.

Tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân, khi $q \ne 1$ , tính bằng công thức: $S_n = u_1 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}$ (Khi $q=1$ , mọi số hạng bằng nhau nên đơn giản $S_n = n\cdot u_1$ , không cần công thức phân số.)

Tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân, khi $q \ne 1$, tính bằng công thức: $$S_n = u_1 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}$$(Khi $q=1$, mọi số hạng bằng nhau nên đơn giản $S_n = n\cdot u_1$, không cần công thức phân số.)

Công thức này đến từ một mẹo đại số đáng nhớ, khác hẳn mẹo ghép cặp của cấp số cộng. Viết $S_n = u_1+u_1q+u_1q^2+\dots+u_1q^{n-1}$ . Nhân cả hai vế với $q$ : $qS_n = u_1q+u_1q^2+\dots+u_1q^{n-1}+u_1q^n$ . Lấy $S_n - qS_n$ : hầu hết các số hạng ở giữa xuất hiện ở cả hai tổng nên triệt tiêu theo từng cặp, chỉ còn lại số hạng đầu của $S_n$ (là $u_1$ ) và số hạng cuối của $qS_n$ (là $u_1q^n$ ), cho ra $S_n(1-q) = u_1 - u_1q^n = u_1(1-q^n)$ . Chia cả hai vế cho $1-q$ (hợp lệ vì $q\ne1$ ), ta được công thức trên.

Công thức này đến từ một mẹo đại số đáng nhớ, khác hẳn mẹo ghép cặp của cấp số cộng. Viết $S_n = u_1+u_1q+u_1q^2+\dots+u_1q^{n-1}$. Nhân cả hai vế với $q$: $qS_n = u_1q+u_1q^2+\dots+u_1q^{n-1}+u_1q^n$. Lấy $S_n - qS_n$: hầu hết các số hạng ở giữa xuất hiện ở cả hai tổng nên triệt tiêu theo từng cặp, chỉ còn lại số hạng đầu của $S_n$ (là $u_1$) và số hạng cuối của $qS_n$ (là $u_1q^n$), cho ra $S_n(1-q) = u_1 - u_1q^n = u_1(1-q^n)$. Chia cả hai vế cho $1-q$ (hợp lệ vì $q\ne1$), ta được công thức trên.

Cách nhận diện ba số liên tiếp cũng có phiên bản tương tự cấp số cộng: ba số $a,b,c$ khác 0 (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi $b^2 = ac$ , tức $b$ là trung bình nhân của $a$ và $c$ — song song với tính chất $2b=a+c$ (trung bình cộng) của cấp số cộng. Cùng một vị trí trong ba số liên tiếp, nhưng phép kiểm tra hoàn toàn khác nhau: một bên dùng tổng, một bên dùng tích, nên đừng lẫn lộn hai công thức khi giải bài.

Cách nhận diện ba số liên tiếp cũng có phiên bản tương tự cấp số cộng: ba số $a,b,c$ khác 0 (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi $b^2 = ac$, tức $b$ là trung bình nhân của $a$ và $c$ — song song với tính chất $2b=a+c$ (trung bình cộng) của cấp số cộng. Cùng một vị trí trong ba số liên tiếp, nhưng phép kiểm tra hoàn toàn khác nhau: một bên dùng tổng, một bên dùng tích, nên đừng lẫn lộn hai công thức khi giải bài.

So với đường thẳng của cấp số cộng ở chương trước, các điểm ở đây bật tăng ngày càng dốc — đó là dấu hiệu của tăng trưởng nhân, không phải tăng trưởng cộng.

Ví dụ

Tính số hạng từ công thức tổng quát

1
Cho cấp số nhân có $u_1=2$ , $q=3$ . Tính $u_5$ .
Cho cấp số nhân có $u_1=2$, $q=3$. Tính $u_5$.
2
Ta có $u_n = u_1 \cdot q^{\,n-1}$ , nên $u_5 = u_1\cdot q^4$ .
Ta có $u_n = u_1 \cdot q^{\,n-1}$, nên $u_5 = u_1\cdot q^4$.
3
Ta có $u_5 = 2 \cdot 3^4 = 2\cdot 81 = 162$ .
Ta có $u_5 = 2 \cdot 3^4 = 2\cdot 81 = 162$.
4
Vậy $u_5=162$ .
Vậy $u_5=162$.
5
Liệt kê trực tiếp: $2,6,18,54,162$ — mỗi số hạng gấp 3 lần số hạng liền trước, khớp với hình minh hoạ phía trên.
Liệt kê trực tiếp: $2,6,18,54,162$ — mỗi số hạng gấp 3 lần số hạng liền trước, khớp với hình minh hoạ phía trên.

Ví dụ

Tính tổng n số hạng đầu

1
Cho cấp số nhân có $u_1=64$ , $q=\dfrac12$ . Tính tổng 6 số hạng đầu $S_6$ .
Cho cấp số nhân có $u_1=64$, $q=\dfrac12$. Tính tổng 6 số hạng đầu $S_6$.
2
Ta có $S_6 = u_1\cdot\dfrac{1-q^6}{1-q} = 64\cdot\dfrac{1-(1/2)^6}{1-1/2}$ .
Ta có $S_6 = u_1\cdot\dfrac{1-q^6}{1-q} = 64\cdot\dfrac{1-(1/2)^6}{1-1/2}$.
3
Ta có $(1/2)^6=1/64$ , nên $S_6=64\cdot\dfrac{1-1/64}{1/2}=64\cdot\dfrac{63/64}{1/2}=63\cdot 2=126$ .
Ta có $(1/2)^6=1/64$, nên $S_6=64\cdot\dfrac{1-1/64}{1/2}=64\cdot\dfrac{63/64}{1/2}=63\cdot 2=126$.
4
Vậy $S_6=126$ .
Vậy $S_6=126$.
5
Liệt kê 6 số hạng: $64,32,16,8,4,2$ , cộng trực tiếp: $64+32+16+8+4+2=126$ , khớp với kết quả tính bằng công thức.
Liệt kê 6 số hạng: $64,32,16,8,4,2$, cộng trực tiếp: $64+32+16+8+4+2=126$, khớp với kết quả tính bằng công thức.

Ví dụ

Nhận diện: cấp số cộng, cấp số nhân, hay không phải

1
Trong ba dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng, dãy nào là cấp số nhân, dãy nào không phải cả hai: (a) $2,5,8,11,\dots$ ; (b) $3,6,12,24,\dots$ ; (c) $1,4,9,16,\dots$
Trong ba dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng, dãy nào là cấp số nhân, dãy nào không phải cả hai: (a) $2,5,8,11,\dots$; (b) $3,6,12,24,\dots$; (c) $1,4,9,16,\dots$
2
Ta có các hiệu liên tiếp: $5-2=3$ , $8-5=3$ , $11-8=3$ — không đổi, nên (a) là cấp số cộng với $d=3$ .
Ta có các hiệu liên tiếp: $5-2=3$, $8-5=3$, $11-8=3$ — không đổi, nên (a) là cấp số cộng với $d=3$.
3
Ta có các thương liên tiếp: $6/3=2$ , $12/6=2$ , $24/12=2$ — không đổi, nên (b) là cấp số nhân với $q=2$ .
Ta có các thương liên tiếp: $6/3=2$, $12/6=2$, $24/12=2$ — không đổi, nên (b) là cấp số nhân với $q=2$.
4
Ta có các hiệu liên tiếp $4-1=3$ , $9-4=5$ , $16-9=7$ — không bằng nhau, nên (c) không phải cấp số cộng. Các thương $4/1=4$ , $9/4=2{,}25$ cũng không bằng nhau, nên (c) cũng không phải cấp số nhân.
Ta có các hiệu liên tiếp $4-1=3$, $9-4=5$, $16-9=7$ — không bằng nhau, nên (c) không phải cấp số cộng. Các thương $4/1=4$, $9/4=2{,}25$ cũng không bằng nhau, nên (c) cũng không phải cấp số nhân.
5
Vậy (a) là cấp số cộng, (b) là cấp số nhân, còn (c) không phải cả hai — thực chất (c) là dãy bình phương $u_n=n^2$ , một dãy tăng nhưng không mang quy luật cộng hay nhân cố định.
Vậy (a) là cấp số cộng, (b) là cấp số nhân, còn (c) không phải cả hai — thực chất (c) là dãy bình phương $u_n=n^2$, một dãy tăng nhưng không mang quy luật cộng hay nhân cố định.
6
Bài học ở đây là: đừng vội kết luận một dãy là cấp số nhân chỉ vì các số hạng "trông có vẻ" tăng nhanh — luôn kiểm tra thương của MỌI cặp số hạng liên tiếp cho đến khi chắc chắn nó không đổi, chứ không chỉ kiểm tra một cặp rồi suy diễn cho cả dãy.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi thường gặp nhất là dùng nhầm số mũ $q^n$ thay vì $q^{n-1}$ trong công thức số hạng tổng quát — luôn kiểm tra bằng cách thay $n=1$ : phải ra đúng $u_1$ (vì $q^0=1$ ). Lỗi khác là quên điều kiện $u_n\ne0$ với mọi $n$ — nếu một số hạng bằng 0, không có công bội nào (chia cho 0) khớp với dãy đó, nên dãy như vậy không thể là cấp số nhân dù các số hạng khác trông có vẻ theo quy luật nhân. Một lỗi thứ ba, dễ mắc phải nhất khi áp dụng công thức tổng: quên điều kiện $q\ne1$ trước khi chia cho $1-q$ — nếu đề cho $q=1$ , công thức phân số vô nghĩa (chia cho 0), phải quay lại dùng $S_n=n\cdot u_1$ .

Lỗi thường gặp nhất là dùng nhầm số mũ $q^n$ thay vì $q^{n-1}$ trong công thức số hạng tổng quát — luôn kiểm tra bằng cách thay $n=1$: phải ra đúng $u_1$ (vì $q^0=1$). Lỗi khác là quên điều kiện $u_n\ne0$ với mọi $n$ — nếu một số hạng bằng 0, không có công bội nào (chia cho 0) khớp với dãy đó, nên dãy như vậy không thể là cấp số nhân dù các số hạng khác trông có vẻ theo quy luật nhân. Một lỗi thứ ba, dễ mắc phải nhất khi áp dụng công thức tổng: quên điều kiện $q\ne1$ trước khi chia cho $1-q$ — nếu đề cho $q=1$, công thức phân số vô nghĩa (chia cho 0), phải quay lại dùng $S_n=n\cdot u_1$.

Tóm tắt

Cấp số nhân là dãy số có thương giữa hai số hạng liên tiếp không đổi, gọi là công bội $q$ . Số hạng tổng quát tính theo $u_n=u_1\cdot q^{n-1}$ , tổng $n$ số hạng đầu tính theo $S_n=u_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ (khi $q\ne1$ ), và ba số $a,b,c$ liên tiếp lập thành cấp số nhân khi $b^2=ac$ . Trở lại bài toán gập giấy ở phần khởi động: độ dày sau 10 lần gập là cấp số nhân với $u_1=0{,}1$ mm, $q=2$ , cho $u_{11}=0{,}1\cdot2^{10}=102{,}4$ mm — hơn 10 cm chỉ sau 10 lần gập, một con số vượt xa trực giác của hầu hết mọi người.

Cấp số nhân là dãy số có thương giữa hai số hạng liên tiếp không đổi, gọi là công bội $q$. Số hạng tổng quát tính theo $u_n=u_1\cdot q^{n-1}$, tổng $n$ số hạng đầu tính theo $S_n=u_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ (khi $q\ne1$), và ba số $a,b,c$ liên tiếp lập thành cấp số nhân khi $b^2=ac$. Trở lại bài toán gập giấy ở phần khởi động: độ dày sau 10 lần gập là cấp số nhân với $u_1=0{,}1$ mm, $q=2$, cho $u_{11}=0{,}1\cdot2^{10}=102{,}4$ mm — hơn 10 cm chỉ sau 10 lần gập, một con số vượt xa trực giác của hầu hết mọi người.

Bài học tiếp theo xét một trường hợp đặc biệt của cấp số nhân: khi $|q|<1$ , tổng của vô hạn số hạng vẫn tiến tới một giá trị hữu hạn, dù ta cộng mãi không dừng.

Bài học tiếp theo xét một trường hợp đặc biệt của cấp số nhân: khi $|q|<1$, tổng của vô hạn số hạng vẫn tiến tới một giá trị hữu hạn, dù ta cộng mãi không dừng.