Bài học

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được tổng của $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số cộng bằng công thức, không cần cộng tay từng số hạng, tìm được $n$ khi biết tổng $S_n$ , và vận dụng được công thức đó vào các bài toán đếm số lượng thực tế.

Sau bài này, em tính được tổng của $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số cộng bằng công thức, không cần cộng tay từng số hạng, tìm được $n$ khi biết tổng $S_n$, và vận dụng được công thức đó vào các bài toán đếm số lượng thực tế.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em công thức số hạng tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d$ để tính bất kỳ số hạng nào của một cấp số cộng — nhưng đó chỉ là giá trị của một hàng ghế riêng lẻ. Bài này hỏi một câu khác và thực tế hơn: nếu cần cộng cả $n$ số hạng đầu tiên lại với nhau, có công thức nào tính thẳng tổng đó không, thay vì phải cộng tay từng số một — nhất là khi $n$ lên đến vài chục hay vài trăm?

Khởi động

Quay lại rạp hát ở bài trước: hàng đầu có 20 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn 4 ghế, rạp có 15 hàng. Em đã biết cách tính số ghế của riêng hàng thứ 15. Nhưng nếu người quản lý muốn biết tổng số ghế của cả rạp để in vé, em có phải cộng tay cả 15 con số, hay có cách tính nhanh hơn dựa trên chính công thức số hạng tổng quát vừa học?

Kiến thức trọng tâm

Gọi $S_n = u_1+u_2+\dots+u_n$ là tổng của $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng. Ý tưởng cốt lõi để tính $S_n$ nhanh là ghép cặp: cộng số hạng đầu với số hạng cuối, số hạng thứ hai với số hạng áp chót, cứ như vậy — mỗi cặp đều cho cùng một tổng $u_1+u_n$ , vì mỗi lần tiến vào giữa dãy từ hai đầu, một bên cộng thêm $d$ còn bên kia trừ đi đúng $d$ , nên tổng không đổi. Có $n$ số hạng ghép thành $n/2$ cặp (ghép cả số hạng chính giữa nếu $n$ lẻ, kết quả vẫn đúng), nên: $S_n = \dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$

Gọi $S_n = u_1+u_2+\dots+u_n$ là tổng của $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng. Ý tưởng cốt lõi để tính $S_n$ nhanh là ghép cặp: cộng số hạng đầu với số hạng cuối, số hạng thứ hai với số hạng áp chót, cứ như vậy — mỗi cặp đều cho cùng một tổng $u_1+u_n$, vì mỗi lần tiến vào giữa dãy từ hai đầu, một bên cộng thêm $d$ còn bên kia trừ đi đúng $d$, nên tổng không đổi. Có $n$ số hạng ghép thành $n/2$ cặp (ghép cả số hạng chính giữa nếu $n$ lẻ, kết quả vẫn đúng), nên: $$S_n = \dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$$

Ý tưởng ghép cặp này không mới, và cũng không cần công cụ nào phức tạp — chính là mẹo nhà toán học Gauss dùng khi còn nhỏ để cộng nhanh $1+2+\dots+100$ : ghép $1$ với $100$ , $2$ với $99$ , cứ thế, được 50 cặp, mỗi cặp đều có tổng 101, nên tổng cả dãy là $50\times101=5050$ — không cần cộng tay 100 số hạng. Dãy $1,2,\dots,100$ chính là một cấp số cộng với $u_1=1$ , $d=1$ , và công thức $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$ ở trên chỉ là cách viết tổng quát của đúng mẹo đó cho mọi cấp số cộng, không riêng gì dãy số tự nhiên liên tiếp.

Ý tưởng ghép cặp này không mới, và cũng không cần công cụ nào phức tạp — chính là mẹo nhà toán học Gauss dùng khi còn nhỏ để cộng nhanh $1+2+\dots+100$: ghép $1$ với $100$, $2$ với $99$, cứ thế, được 50 cặp, mỗi cặp đều có tổng 101, nên tổng cả dãy là $50\times101=5050$ — không cần cộng tay 100 số hạng. Dãy $1,2,\dots,100$ chính là một cấp số cộng với $u_1=1$, $d=1$, và công thức $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$ ở trên chỉ là cách viết tổng quát của đúng mẹo đó cho mọi cấp số cộng, không riêng gì dãy số tự nhiên liên tiếp.

Vì $u_n=u_1+(n-1)d$ , ta thay vào công thức trên để có một dạng khác, dùng khi chưa biết trước $u_n$ mà chỉ có $u_1$ , $d$ , $n$ : thay $u_n$ bởi $u_1+(n-1)d$ vào $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$ , ta được $S_n = \dfrac{n\big[u_1+u_1+(n-1)d\big]}{2} = \dfrac{n\big[2u_1+(n-1)d\big]}{2}$ Hai công thức tương đương nhau, chỉ là hai cách viết của cùng một đại lượng — dùng công thức nào tùy vào đề bài đã cho sẵn đại lượng gì: nếu đã biết $u_n$ , dùng công thức đầu cho gọn; nếu chỉ có $u_1$ và $d$ mà chưa tính $u_n$ , dùng công thức thứ hai để khỏi phải tính $u_n$ qua một bước trung gian.

Vì $u_n=u_1+(n-1)d$, ta thay vào công thức trên để có một dạng khác, dùng khi chưa biết trước $u_n$ mà chỉ có $u_1$, $d$, $n$: thay $u_n$ bởi $u_1+(n-1)d$ vào $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$, ta được $$S_n = \dfrac{n\big[u_1+u_1+(n-1)d\big]}{2} = \dfrac{n\big[2u_1+(n-1)d\big]}{2}$$Hai công thức tương đương nhau, chỉ là hai cách viết của cùng một đại lượng — dùng công thức nào tùy vào đề bài đã cho sẵn đại lượng gì: nếu đã biết $u_n$, dùng công thức đầu cho gọn; nếu chỉ có $u_1$ và $d$ mà chưa tính $u_n$, dùng công thức thứ hai để khỏi phải tính $u_n$ qua một bước trung gian.

Ví dụ

Tính tổng khi đã biết số hạng cuối

1
Cho cấp số cộng có $u_1=3$ , $d=2$ . Tính tổng 20 số hạng đầu $S_{20}$ .
Cho cấp số cộng có $u_1=3$, $d=2$. Tính tổng 20 số hạng đầu $S_{20}$.
2
Ta có $u_{20}=u_1+19d=3+19(2)=3+38=41$ .
Ta có $u_{20}=u_1+19d=3+19(2)=3+38=41$.
3
Ta có $S_{20}=\dfrac{20(u_1+u_{20})}{2}=\dfrac{20(3+41)}{2}=\dfrac{20\cdot 44}{2}=440$ .
Ta có $S_{20}=\dfrac{20(u_1+u_{20})}{2}=\dfrac{20(3+41)}{2}=\dfrac{20\cdot 44}{2}=440$.
4
Vậy $S_{20}=440$ .
Vậy $S_{20}=440$.
5
Trung bình mỗi số hạng là $440/20=22$ , đúng bằng trung bình cộng của $u_1=3$ và $u_{20}=41$ , tức $(3+41)/2=22$ — khớp với ý nghĩa của công thức ghép cặp.
Trung bình mỗi số hạng là $440/20=22$, đúng bằng trung bình cộng của $u_1=3$ và $u_{20}=41$, tức $(3+41)/2=22$ — khớp với ý nghĩa của công thức ghép cặp.

Ví dụ

Bài toán xếp ghế theo hàng

1
Một rạp có 15 hàng ghế, hàng đầu có 20 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng liền trước 4 ghế. Tính tổng số ghế trong rạp.
2
Số ghế mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với $u_1=20$ , $d=4$ , $n=15$ .
Số ghế mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với $u_1=20$, $d=4$, $n=15$.
3
Ta có $u_{15}=u_1+14d=20+14(4)=20+56=76$ .
Ta có $u_{15}=u_1+14d=20+14(4)=20+56=76$.
4
Ta có $S_{15}=\dfrac{15(u_1+u_{15})}{2}=\dfrac{15(20+76)}{2}=\dfrac{15\cdot 96}{2}=720$ .
Ta có $S_{15}=\dfrac{15(u_1+u_{15})}{2}=\dfrac{15(20+76)}{2}=\dfrac{15\cdot 96}{2}=720$.
5
Vậy rạp có tổng cộng 720 ghế.
6
Số ghế trung bình mỗi hàng là $720/15=48$ , đúng bằng trung bình cộng của hàng đầu và hàng cuối $(20+76)/2=48$ — hợp lý, vì đó chính là ý nghĩa của công thức ghép cặp: tổng bằng số hàng nhân với giá trị trung bình của hàng đầu và hàng cuối.
Số ghế trung bình mỗi hàng là $720/15=48$, đúng bằng trung bình cộng của hàng đầu và hàng cuối $(20+76)/2=48$ — hợp lý, vì đó chính là ý nghĩa của công thức ghép cặp: tổng bằng số hàng nhân với giá trị trung bình của hàng đầu và hàng cuối.

Ví dụ

Tìm n khi biết tổng

1
Cho cấp số cộng có $u_1=1$ , $d=2$ . Tìm $n$ biết $S_n=196$ .
Cho cấp số cộng có $u_1=1$, $d=2$. Tìm $n$ biết $S_n=196$.
2
Ta có $S_n=\dfrac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}=\dfrac{n[2+(n-1)2]}{2}=\dfrac{n\cdot 2n}{2}=n^2$ .
Ta có $S_n=\dfrac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}=\dfrac{n[2+(n-1)2]}{2}=\dfrac{n\cdot 2n}{2}=n^2$.
3
Ta có $n^2=196$ , suy ra $n=14$ (loại nghiệm âm vì $n$ là chỉ số, phải nguyên dương).
Ta có $n^2=196$, suy ra $n=14$ (loại nghiệm âm vì $n$ là chỉ số, phải nguyên dương).
4
Vậy $n=14$ .
Vậy $n=14$.
5
Với $n=14$ : $u_{14}=1+13(2)=27$ . $S_{14}=\dfrac{14(1+27)}{2}=\dfrac{14\cdot28}{2}=196$ , khớp với đề bài.
Với $n=14$: $u_{14}=1+13(2)=27$. $S_{14}=\dfrac{14(1+27)}{2}=\dfrac{14\cdot28}{2}=196$, khớp với đề bài.

Số ghế mỗi hàng chỉ tăng đều (thêm 4 mỗi hàng), nhưng tổng cộng dồn

S_n

lại tăng nhanh dần — đây là điểm khác giữa số hạng và tổng các số hạng.Số ghế mỗi hàng chỉ tăng đều (thêm 4 mỗi hàng), nhưng tổng cộng dồn $S_n$ lại tăng nhanh dần — đây là điểm khác giữa số hạng và tổng các số hạng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi thường gặp nhất là dùng nhầm $u_n$ (số hạng thứ $n$ , tức số ghế của riêng hàng cuối) thay cho $S_n$ (tổng số ghế của toàn bộ $n$ hàng) — hai đại lượng này khác nhau hoàn toàn dù cùng phụ thuộc $u_1$ , $d$ , $n$ . Lỗi khác là quên chia 2 trong công thức $\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$ , hoặc nhầm $2u_1$ thành $u_1$ trong công thức mở rộng $\dfrac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}$ . Với bài toán tìm $n$ khi biết $S_n$ , phương trình bậc hai theo $n$ luôn cho hai nghiệm về mặt đại số, nhưng chỉ nghiệm nguyên dương mới có nghĩa — $n$ là một chỉ số đếm số hạng, không thể âm hay không nguyên, nên nghiệm còn lại phải loại ngay, không viết cả hai vào đáp số cuối cùng.

Lỗi thường gặp nhất là dùng nhầm $u_n$ (số hạng thứ $n$, tức số ghế của riêng hàng cuối) thay cho $S_n$ (tổng số ghế của toàn bộ $n$ hàng) — hai đại lượng này khác nhau hoàn toàn dù cùng phụ thuộc $u_1$, $d$, $n$. Lỗi khác là quên chia 2 trong công thức $\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$, hoặc nhầm $2u_1$ thành $u_1$ trong công thức mở rộng $\dfrac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}$. Với bài toán tìm $n$ khi biết $S_n$, phương trình bậc hai theo $n$ luôn cho hai nghiệm về mặt đại số, nhưng chỉ nghiệm nguyên dương mới có nghĩa — $n$ là một chỉ số đếm số hạng, không thể âm hay không nguyên, nên nghiệm còn lại phải loại ngay, không viết cả hai vào đáp số cuối cùng.

Tóm tắt

Tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng tính bằng $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$ khi đã biết $u_n$ , hoặc $S_n=\dfrac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}$ khi chỉ có $u_1$ và $d$ . Công thức đến từ cách ghép cặp số hạng đầu với số hạng cuối — một kỹ thuật đáng nhớ, không chỉ đáng thuộc lòng, vì cùng ý tưởng ghép cặp này còn xuất hiện lại ở nhiều bài toán tổ hợp và dãy số khác trong chương trình.

Tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng tính bằng $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$ khi đã biết $u_n$, hoặc $S_n=\dfrac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}$ khi chỉ có $u_1$ và $d$. Công thức đến từ cách ghép cặp số hạng đầu với số hạng cuối — một kỹ thuật đáng nhớ, không chỉ đáng thuộc lòng, vì cùng ý tưởng ghép cặp này còn xuất hiện lại ở nhiều bài toán tổ hợp và dãy số khác trong chương trình.

Một điều đáng chú ý mà biểu đồ cột phía trên minh hoạ rõ: bản thân các số hạng $u_n$ chỉ tăng đều (mỗi hàng hơn hàng trước đúng $d$ ), nhưng tổng cộng dồn $S_n$ lại tăng nhanh dần theo $n$ , vì mỗi $S_n$ mới cộng thêm một số hạng ngày càng lớn vào tổng cũ. Đừng nhầm lẫn hành vi của $u_n$ (tăng đều — cấp số cộng) với hành vi của $S_n$ (tăng theo bậc hai của $n$ , do công thức có $n^2$ khi $d$ cố định) — đây chính là chỗ khác biệt giữa cấp số cộng và cấp số nhân sẽ được làm rõ hơn ở chương sau.

Một điều đáng chú ý mà biểu đồ cột phía trên minh hoạ rõ: bản thân các số hạng $u_n$ chỉ tăng đều (mỗi hàng hơn hàng trước đúng $d$), nhưng tổng cộng dồn $S_n$ lại tăng nhanh dần theo $n$, vì mỗi $S_n$ mới cộng thêm một số hạng ngày càng lớn vào tổng cũ. Đừng nhầm lẫn hành vi của $u_n$ (tăng đều — cấp số cộng) với hành vi của $S_n$ (tăng theo bậc hai của $n$, do công thức có $n^2$ khi $d$ cố định) — đây chính là chỗ khác biệt giữa cấp số cộng và cấp số nhân sẽ được làm rõ hơn ở chương sau.

Bài học tiếp theo rời cấp số cộng để sang một loại dãy số khác: cấp số nhân, nơi số hạng liền sau không hơn số hạng liền trước một lượng cố định, mà gấp số hạng liền trước một số lần cố định — và tổng của nó sẽ tăng theo một cách hoàn toàn khác, nhanh hơn nhiều so với cấp số cộng.