Bài học

Cấp số cộng: định nghĩa và số hạng tổng quát

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được định nghĩa cấp số cộng, tính được công sai, tính được bất kỳ số hạng nào bằng công thức số hạng tổng quát, và nhận ra được khi ba số cho trước có lập thành một cấp số cộng hay không.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở bài trước, em đã biết cách lập hiệu $u_{n+1}-u_n$ để xét một dãy số tăng hay giảm (same-grade bridge). Cấp số cộng là trường hợp đặc biệt nhất của ý tưởng đó: thay vì chỉ đòi hỏi hiệu này cùng dấu suốt cả dãy, ta đòi hỏi nó phải bằng đúng một con số cố định với mọi $n$ — một điều kiện hẹp hơn nhiều, và chính vì hẹp hơn nên nó cho ra một công thức tính nhanh mà dãy số tăng/giảm thông thường không có được.

Khởi động

Một rạp hát xếp ghế theo hàng: hàng đầu tiên có 20 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng liền trước đúng 4 ghế. Số ghế của hàng thứ 15 là bao nhiêu, nếu em không muốn đếm cộng dồn qua 14 hàng — cộng 4 mười bốn lần liên tiếp chỉ để ra một con số?

Kiến thức trọng tâm

Dãy số $(u_n)$ gọi là một cấp số cộng nếu tồn tại một số $d$ không đổi sao cho $u_{n+1} = u_n + d$ với mọi $n \ge 1$ . Số $d$ gọi là công sai của cấp số cộng. Nói cách khác, $d = u_{n+1}-u_n$ với mọi $n$ — công sai có thể dương (dãy tăng), âm (dãy giảm), hoặc bằng 0 (dãy không đổi, mọi số hạng bằng nhau), nhưng luôn phải là một giá trị cố định, không đổi theo $n$ .

Dãy số $(u_n)$ gọi là một cấp số cộng nếu tồn tại một số $d$ không đổi sao cho $u_{n+1} = u_n + d$ với mọi $n \ge 1$. Số $d$ gọi là công sai của cấp số cộng. Nói cách khác, $d = u_{n+1}-u_n$ với mọi $n$ — công sai có thể dương (dãy tăng), âm (dãy giảm), hoặc bằng 0 (dãy không đổi, mọi số hạng bằng nhau), nhưng luôn phải là một giá trị cố định, không đổi theo $n$.

Từ hệ thức truy hồi $u_{n+1}=u_n+d$ , ta suy ra công thức số hạng tổng quát: $u_n = u_1 + (n-1)d$ . Công thức này cho phép tính thẳng bất kỳ số hạng nào chỉ từ số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ , không cần cộng dồn qua từng số hạng trung gian như hệ thức truy hồi tổng quát ở bài Khái niệm dãy số.

Từ hệ thức truy hồi $u_{n+1}=u_n+d$, ta suy ra công thức số hạng tổng quát: $u_n = u_1 + (n-1)d$. Công thức này cho phép tính thẳng bất kỳ số hạng nào chỉ từ số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$, không cần cộng dồn qua từng số hạng trung gian như hệ thức truy hồi tổng quát ở bài Khái niệm dãy số.

Công thức này không phải mặc định mà có, ta hoàn toàn suy ra được nó bằng cách cộng dồn: $u_2=u_1+d$ , $u_3=u_2+d=u_1+2d$ , $u_4=u_3+d=u_1+3d$ , cứ như vậy — mỗi lần tăng chỉ số thêm 1 thì cộng thêm đúng một lần $d$ . Vì $u_n$ cách $u_1$ đúng $(n-1)$ bước, nó cộng thêm $(n-1)$ lần $d$ so với $u_1$ , cho ra $u_n=u_1+(n-1)d$ . Hiểu được vì sao công thức đúng, thay vì chỉ nhớ máy móc, giúp em không nhầm $(n-1)$ với $n$ — lỗi rất phổ biến khi mới học.

Công thức này không phải mặc định mà có, ta hoàn toàn suy ra được nó bằng cách cộng dồn: $u_2=u_1+d$, $u_3=u_2+d=u_1+2d$, $u_4=u_3+d=u_1+3d$, cứ như vậy — mỗi lần tăng chỉ số thêm 1 thì cộng thêm đúng một lần $d$. Vì $u_n$ cách $u_1$ đúng $(n-1)$ bước, nó cộng thêm $(n-1)$ lần $d$ so với $u_1$, cho ra $u_n=u_1+(n-1)d$. Hiểu được vì sao công thức đúng, thay vì chỉ nhớ máy móc, giúp em không nhầm $(n-1)$ với $n$ — lỗi rất phổ biến khi mới học.

Một cách nhận diện khác cũng rất hữu ích: ba số $a, b, c$ (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi $b$ bằng trung bình cộng của $a$ và $c$ , tức $2b = a+c$ . Tính chất này thường dùng để tìm một ẩn số khi biết ba số hạng liên tiếp có quan hệ cấp số cộng, và nó suy trực tiếp từ định nghĩa: nếu $b-a=d$ và $c-b=d$ thì $b-a=c-b$ , tức $2b=a+c$ .

Một cách nhận diện khác cũng rất hữu ích: ba số $a, b, c$ (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi $b$ bằng trung bình cộng của $a$ và $c$, tức $2b = a+c$. Tính chất này thường dùng để tìm một ẩn số khi biết ba số hạng liên tiếp có quan hệ cấp số cộng, và nó suy trực tiếp từ định nghĩa: nếu $b-a=d$ và $c-b=d$ thì $b-a=c-b$, tức $2b=a+c$.

Công sai $d$ không bắt buộc phải dương. Khi $d>0$ , cấp số cộng là dãy tăng; khi $d<0$ , nó là dãy giảm; khi $d=0$ , mọi số hạng bằng nhau — đây vẫn là một cấp số cộng hợp lệ theo định nghĩa, chỉ là một trường hợp đặc biệt ít gặp trong bài toán ứng dụng. Việc công sai có thể âm giải thích vì sao một bể nước đang cạn dần theo lượng cố định mỗi giờ, hay một khoản nợ đang giảm dần theo số tiền trả cố định mỗi tháng, đều mô hình hoá được bằng cấp số cộng, không chỉ những đại lượng đang tăng.

Công sai $d$ không bắt buộc phải dương. Khi $d>0$, cấp số cộng là dãy tăng; khi $d<0$, nó là dãy giảm; khi $d=0$, mọi số hạng bằng nhau — đây vẫn là một cấp số cộng hợp lệ theo định nghĩa, chỉ là một trường hợp đặc biệt ít gặp trong bài toán ứng dụng. Việc công sai có thể âm giải thích vì sao một bể nước đang cạn dần theo lượng cố định mỗi giờ, hay một khoản nợ đang giảm dần theo số tiền trả cố định mỗi tháng, đều mô hình hoá được bằng cấp số cộng, không chỉ những đại lượng đang tăng.

Mỗi điểm cao hơn điểm liền trước đúng

d=2

đơn vị — khoảng cách không đổi này chính là dấu hiệu của cấp số cộng.Mỗi điểm cao hơn điểm liền trước đúng $d=2$ đơn vị — khoảng cách không đổi này chính là dấu hiệu của cấp số cộng.

Ví dụ

Tính số hạng từ công thức tổng quát

1
Cho cấp số cộng có $u_1=3$ và $d=2$ . Tính $u_{10}$ .
Cho cấp số cộng có $u_1=3$ và $d=2$. Tính $u_{10}$.
2
Theo công thức số hạng tổng quát, $u_n = u_1+(n-1)d$ .
Theo công thức số hạng tổng quát, $u_n = u_1+(n-1)d$.
3
Ta có $u_{10} = 3+(10-1)\cdot 2 = 3+18 = 21$ .
Ta có $u_{10} = 3+(10-1)\cdot 2 = 3+18 = 21$.
4
Vậy $u_{10}=21$ .
Vậy $u_{10}=21$.
5
Liệt kê trực tiếp: $3,5,7,9,11,13,15,17,19,21$ — đúng 10 số hạng, số hạng cuối là 21, khớp với kết quả tính bằng công thức. Cấp số cộng này chính là dãy điểm thẳng hàng em vừa thấy ở hình minh hoạ phía trên, chỉ khác là bây giờ ta tính được $u_{10}$ mà không cần vẽ hết 10 điểm.
Liệt kê trực tiếp: $3,5,7,9,11,13,15,17,19,21$ — đúng 10 số hạng, số hạng cuối là 21, khớp với kết quả tính bằng công thức. Cấp số cộng này chính là dãy điểm thẳng hàng em vừa thấy ở hình minh hoạ phía trên, chỉ khác là bây giờ ta tính được $u_{10}$ mà không cần vẽ hết 10 điểm.

Ví dụ

Tìm công sai từ hai số hạng cho trước

1
Cho cấp số cộng có $u_1=5$ và $u_7=29$ . Tìm công sai $d$ và viết công thức số hạng tổng quát.
Cho cấp số cộng có $u_1=5$ và $u_7=29$. Tìm công sai $d$ và viết công thức số hạng tổng quát.
2
Ta có $u_7 = u_1+6d$ , theo định lí công thức số hạng tổng quát với $n=7$ .
Ta có $u_7 = u_1+6d$, theo định lí công thức số hạng tổng quát với $n=7$.
3
Ta có $5+6d=29$ , suy ra $6d=24$ , do đó $d=4$ .
Ta có $5+6d=29$, suy ra $6d=24$, do đó $d=4$.
4
Vậy công sai $d=4$ , và công thức tổng quát của cấp số cộng này là $u_n = 5+4(n-1) = 4n+1$ .
Vậy công sai $d=4$, và công thức tổng quát của cấp số cộng này là $u_n = 5+4(n-1) = 4n+1$.
5
Thay $n=7$ vào công thức vừa tìm: $u_7=4(7)+1=29$ — khớp với đề bài. Cách kiểm tra bằng công thức tổng quát này an toàn hơn liệt kê tay qua 6 bước cộng dồn, vì chỉ một phép cộng sai ở giữa cũng đủ làm sai cả kết quả cuối.
Thay $n=7$ vào công thức vừa tìm: $u_7=4(7)+1=29$ — khớp với đề bài. Cách kiểm tra bằng công thức tổng quát này an toàn hơn liệt kê tay qua 6 bước cộng dồn, vì chỉ một phép cộng sai ở giữa cũng đủ làm sai cả kết quả cuối.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Học sinh hay nhầm dấu của công sai — cấp số cộng hoàn toàn có thể giảm dần nếu $d<0$ , không phải lúc nào cũng tăng. Lỗi khác thường gặp là nhầm công thức $u_{n+1}=u_n+d$ (cộng số sai để ra số sau, đúng cho cấp số cộng) với $u_{n+1}=u_n\cdot d$ (nhân, dùng cho cấp số nhân ở chương sau) — hai công thức trông giống nhau về vị trí nhưng phép toán hoàn toàn khác nhau. Một lỗi tính toán khác là quên trừ 1 trong $(n-1)d$ , dẫn đến cộng dư một lần $d$ — luôn kiểm tra lại bằng cách tính $u_1$ từ chính công thức vừa lập (thay $n=1$ phải ra đúng $u_1$ , vì $(1-1)d=0$ ).

Học sinh hay nhầm dấu của công sai — cấp số cộng hoàn toàn có thể giảm dần nếu $d<0$, không phải lúc nào cũng tăng. Lỗi khác thường gặp là nhầm công thức $u_{n+1}=u_n+d$ (cộng số sai để ra số sau, đúng cho cấp số cộng) với $u_{n+1}=u_n\cdot d$ (nhân, dùng cho cấp số nhân ở chương sau) — hai công thức trông giống nhau về vị trí nhưng phép toán hoàn toàn khác nhau. Một lỗi tính toán khác là quên trừ 1 trong $(n-1)d$, dẫn đến cộng dư một lần $d$ — luôn kiểm tra lại bằng cách tính $u_1$ từ chính công thức vừa lập (thay $n=1$ phải ra đúng $u_1$, vì $(1-1)d=0$).

Tóm tắt

Cấp số cộng là dãy số có hiệu giữa hai số hạng liên tiếp không đổi, gọi là công sai $d$ . Từ đó, số hạng tổng quát tính theo công thức $u_n=u_1+(n-1)d$ , và ba số $a,b,c$ liên tiếp lập thành cấp số cộng khi $2b=a+c$ . Hai đại lượng $u_1$ và $d$ xác định toàn bộ cấp số cộng — biết được cả hai, em tính được bất kỳ số hạng nào, dù xa đến đâu, chỉ bằng một phép thay số.

Cấp số cộng là dãy số có hiệu giữa hai số hạng liên tiếp không đổi, gọi là công sai $d$. Từ đó, số hạng tổng quát tính theo công thức $u_n=u_1+(n-1)d$, và ba số $a,b,c$ liên tiếp lập thành cấp số cộng khi $2b=a+c$. Hai đại lượng $u_1$ và $d$ xác định toàn bộ cấp số cộng — biết được cả hai, em tính được bất kỳ số hạng nào, dù xa đến đâu, chỉ bằng một phép thay số.

Bài học tiếp theo dùng chính công thức số hạng tổng quát này để xây dựng một công thức mới: tính nhanh tổng của $n$ số hạng đầu tiên mà không cần cộng dồn từng số hạng một, như bài toán đếm ghế ở phần khởi động đòi hỏi — em đã biết cách tính số ghế của một hàng bất kỳ, bài sau sẽ cho em cách tính tổng số ghế của cả rạp chỉ bằng một công thức.