Bài học

Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xét được một dãy số cho trước là tăng, là giảm, hay không đơn điệu, và xác định được dãy số đó có bị chặn trên, bị chặn dưới, hay bị chặn hay không, dựa trên đúng công thức số hạng tổng quát của nó.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em công cụ để tính bất kỳ số hạng nào của một dãy số từ công thức tường minh $u_n$ . Bài này dùng lại đúng công cụ đó, chỉ thêm một bước: so sánh $u_{n+1}$ với $u_n$ để xem số hạng có lớn dần, nhỏ dần, hay không theo quy luật nào cả.

Bài trước đã cho em công cụ để tính bất kỳ số hạng nào của một dãy số từ công thức tường minh $u_n$. Bài này dùng lại đúng công cụ đó, chỉ thêm một bước: so sánh $u_{n+1}$ với $u_n$ để xem số hạng có lớn dần, nhỏ dần, hay không theo quy luật nào cả.

Khởi động

Xét dãy số $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ : $u_1=0{,}5$ , $u_2\approx 0{,}67$ , $u_3=0{,}75$ , $u_4=0{,}8$ . Các số hạng cứ lớn dần, nhưng có bao giờ chúng vượt qua 1 hay không? Nếu không, dãy số này bị chặn ở đâu, và làm sao chứng minh chắc chắn cho mọi $n$ , chứ không chỉ nhìn vài số hạng đầu rồi đoán?

Xét dãy số $u_n = \dfrac{n}{n+1}$: $u_1=0{,}5$, $u_2\approx 0{,}67$, $u_3=0{,}75$, $u_4=0{,}8$. Các số hạng cứ lớn dần, nhưng có bao giờ chúng vượt qua 1 hay không? Nếu không, dãy số này bị chặn ở đâu, và làm sao chứng minh chắc chắn cho mọi $n$, chứ không chỉ nhìn vài số hạng đầu rồi đoán?

Kiến thức trọng tâm

Dãy số $(u_n)$ gọi là dãy số tăng nếu $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \ge 1$ , và gọi là dãy số giảm nếu $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \ge 1$ . Cả hai trường hợp này đều gọi chung là dãy đơn điệu. Chú ý điều kiện phải đúng với mọi $n$ — chỉ kiểm tra vài số hạng đầu rồi kết luận là chưa đủ, vì có dãy tăng ở vài số hạng đầu rồi lại giảm, và dãy như vậy không tăng cũng không giảm, ta gọi là không đơn điệu.

Dãy số $(u_n)$ gọi là dãy số tăng nếu $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \ge 1$, và gọi là dãy số giảm nếu $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \ge 1$. Cả hai trường hợp này đều gọi chung là dãy đơn điệu. Chú ý điều kiện phải đúng với mọi $n$ — chỉ kiểm tra vài số hạng đầu rồi kết luận là chưa đủ, vì có dãy tăng ở vài số hạng đầu rồi lại giảm, và dãy như vậy không tăng cũng không giảm, ta gọi là không đơn điệu.

Cách kiểm tra chuẩn là lập hiệu $u_{n+1} - u_n$ rồi xét dấu của hiệu đó với mọi $n$ : hiệu luôn dương thì dãy tăng, hiệu luôn âm thì dãy giảm. Với dãy có mọi số hạng dương, đôi khi xét thương $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ so với 1 cũng cho cùng kết luận và có thể gọn hơn khi công thức có dạng lũy thừa — ví dụ với $u_n=3^n$ , thương $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=3$ luôn lớn hơn 1 nên dãy tăng, không cần khai triển hiệu $3^{n+1}-3^n$ theo lũy thừa.

Cách kiểm tra chuẩn là lập hiệu $u_{n+1} - u_n$ rồi xét dấu của hiệu đó với mọi $n$: hiệu luôn dương thì dãy tăng, hiệu luôn âm thì dãy giảm. Với dãy có mọi số hạng dương, đôi khi xét thương $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ so với 1 cũng cho cùng kết luận và có thể gọn hơn khi công thức có dạng lũy thừa — ví dụ với $u_n=3^n$, thương $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=3$ luôn lớn hơn 1 nên dãy tăng, không cần khai triển hiệu $3^{n+1}-3^n$ theo lũy thừa.

Dãy số $(u_n)$ gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho $u_n \le M$ với mọi $n$ , gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số $m$ sao cho $u_n \ge m$ với mọi $n$ . Một dãy vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới thì gọi đơn giản là dãy bị chặn. Chặn trên hay chặn dưới không nhất thiết phải là số nhỏ nhất/lớn nhất có thể — chỉ cần một ngưỡng mà không số hạng nào vượt qua là đủ, dù ngưỡng chặt hơn (ví dụ ngưỡng mà dãy tiến gần tới nhưng không bao giờ chạm) mới cho ta thấy rõ hành vi thật của dãy. Chẳng hạn dãy $u_n=\dfrac1n$ có mọi số hạng dương nên bị chặn dưới bởi 0, và cũng bị chặn dưới bởi $-5$ hay bất kỳ số âm nào — nhưng 0 mới là chặn dưới "chặt" nhất, vì không số nào lớn hơn 0 chặn được mọi số hạng của dãy này khi $n$ đủ lớn.

Dãy số $(u_n)$ gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho $u_n \le M$ với mọi $n$, gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số $m$ sao cho $u_n \ge m$ với mọi $n$. Một dãy vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới thì gọi đơn giản là dãy bị chặn. Chặn trên hay chặn dưới không nhất thiết phải là số nhỏ nhất/lớn nhất có thể — chỉ cần một ngưỡng mà không số hạng nào vượt qua là đủ, dù ngưỡng chặt hơn (ví dụ ngưỡng mà dãy tiến gần tới nhưng không bao giờ chạm) mới cho ta thấy rõ hành vi thật của dãy. Chẳng hạn dãy $u_n=\dfrac1n$ có mọi số hạng dương nên bị chặn dưới bởi 0, và cũng bị chặn dưới bởi $-5$ hay bất kỳ số âm nào — nhưng 0 mới là chặn dưới "chặt" nhất, vì không số nào lớn hơn 0 chặn được mọi số hạng của dãy này khi $n$ đủ lớn.

Nhìn theo đồ thị các điểm $(n, u_n)$ , một dãy tăng có các điểm sau luôn nằm cao hơn điểm liền trước, một dãy giảm có các điểm sau luôn thấp hơn, còn dãy bị chặn thì toàn bộ các điểm nằm gọn trong một dải nằm ngang, không điểm nào vượt ra ngoài dải đó dù $n$ lớn đến đâu. Cách nhìn hình học này sẽ còn hữu ích ở chương giới hạn dãy số sau này, khi ta hỏi một dãy tăng và bị chặn trên có nhất thiết tiến gần một giá trị cố định hay không.

Nhìn theo đồ thị các điểm $(n, u_n)$, một dãy tăng có các điểm sau luôn nằm cao hơn điểm liền trước, một dãy giảm có các điểm sau luôn thấp hơn, còn dãy bị chặn thì toàn bộ các điểm nằm gọn trong một dải nằm ngang, không điểm nào vượt ra ngoài dải đó dù $n$ lớn đến đâu. Cách nhìn hình học này sẽ còn hữu ích ở chương giới hạn dãy số sau này, khi ta hỏi một dãy tăng và bị chặn trên có nhất thiết tiến gần một giá trị cố định hay không.

Các điểm nằm dưới đường nét đứt

y=1

và cứ lớn dần — đây chính là dấu hiệu của dãy tăng và bị chặn trên bởi 1.Các điểm nằm dưới đường nét đứt $y=1$ và cứ lớn dần — đây chính là dấu hiệu của dãy tăng và bị chặn trên bởi 1.

Ví dụ

Chứng minh dãy tăng và bị chặn trên

1
Cho dãy số $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ . Chứng minh dãy này là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1.
Cho dãy số $u_n = \dfrac{n}{n+1}$. Chứng minh dãy này là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1.
2
Ta có $u_{n+1}-u_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$ .
Ta có $u_{n+1}-u_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$.
3
Vì $n \ge 1$ nên $(n+1)(n+2) > 0$ , suy ra $u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$ với mọi $n$ . Vậy dãy $(u_n)$ là dãy tăng.
Vì $n \ge 1$ nên $(n+1)(n+2) > 0$, suy ra $u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$ với mọi $n$. Vậy dãy $(u_n)$ là dãy tăng.
4
Ta viết lại $u_n = \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{n+1-1}{n+1} = 1 - \dfrac{1}{n+1}$ . Vì $n+1>0$ nên $\dfrac{1}{n+1}>0$ với mọi $n$ , do đó $u_n = 1-\dfrac{1}{n+1} < 1$ .
Ta viết lại $u_n = \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{n+1-1}{n+1} = 1 - \dfrac{1}{n+1}$. Vì $n+1>0$ nên $\dfrac{1}{n+1}>0$ với mọi $n$, do đó $u_n = 1-\dfrac{1}{n+1} < 1$.
5
Vậy dãy $(u_n)$ tăng và bị chặn trên bởi 1 (đồng thời bị chặn dưới bởi $u_1=\dfrac{1}{2}$ , nên đây là một dãy bị chặn).
Vậy dãy $(u_n)$ tăng và bị chặn trên bởi 1 (đồng thời bị chặn dưới bởi $u_1=\dfrac{1}{2}$, nên đây là một dãy bị chặn).

Ví dụ

Một dãy không đơn điệu và không bị chặn

1
Xét dãy số $u_n = (-1)^n \cdot n$ . Dãy này có đơn điệu không? Có bị chặn không?
Xét dãy số $u_n = (-1)^n \cdot n$. Dãy này có đơn điệu không? Có bị chặn không?
2
Ta có $u_1=-1$ , $u_2=2$ , $u_3=-3$ , $u_4=4$ .
Ta có $u_1=-1$, $u_2=2$, $u_3=-3$, $u_4=4$.
3
Ta có $u_2-u_1 = 2-(-1)=3>0$ , nhưng $u_3-u_2=-3-2=-5<0$ . Hiệu $u_{n+1}-u_n$ đổi dấu liên tục nên không thể luôn dương hoặc luôn âm.
Ta có $u_2-u_1 = 2-(-1)=3>0$, nhưng $u_3-u_2=-3-2=-5<0$. Hiệu $u_{n+1}-u_n$ đổi dấu liên tục nên không thể luôn dương hoặc luôn âm.
4
Vậy dãy $(u_n)$ không tăng cũng không giảm — đây là một dãy không đơn điệu.
Vậy dãy $(u_n)$ không tăng cũng không giảm — đây là một dãy không đơn điệu.
5
Khi $n$ chẵn, $u_n=n$ lớn tuỳ ý khi $n$ đủ lớn; khi $n$ lẻ, $u_n=-n$ nhỏ tuỳ ý (rất âm) khi $n$ đủ lớn. Không có số $M$ nào chặn trên được mọi số hạng, cũng không có số $m$ nào chặn dưới được mọi số hạng.
Khi $n$ chẵn, $u_n=n$ lớn tuỳ ý khi $n$ đủ lớn; khi $n$ lẻ, $u_n=-n$ nhỏ tuỳ ý (rất âm) khi $n$ đủ lớn. Không có số $M$ nào chặn trên được mọi số hạng, cũng không có số $m$ nào chặn dưới được mọi số hạng.
6
Vậy dãy $(u_n)=(-1)^n\cdot n$ vừa không đơn điệu, vừa không bị chặn.
Vậy dãy $(u_n)=(-1)^n\cdot n$ vừa không đơn điệu, vừa không bị chặn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Một lỗi thường gặp là nhầm "không tăng" với "giảm" — một dãy hoàn toàn có thể không tăng mà cũng không giảm, như ví dụ $(-1)^n\cdot n$ ở trên. Lỗi khác là chỉ kiểm tra hai, ba số hạng đầu rồi vội kết luận về tính tăng/giảm hoặc bị chặn cho toàn bộ dãy, trong khi phép chứng minh đúng đòi hỏi xét dấu của $u_{n+1}-u_n$ (hoặc thương $u_{n+1}/u_n$ ) với mọi $n$ , không chỉ vài số đầu.

Tóm tắt

Muốn xét một dãy số là tăng hay giảm, ta lập hiệu $u_{n+1}-u_n$ và xét dấu của nó với mọi $n$ . Muốn xét tính bị chặn, ta tìm một ngưỡng trên và/hoặc dưới mà mọi số hạng không thể vượt qua — thường bằng cách viết lại công thức của $u_n$ dưới dạng dễ so sánh hơn, như $1-\dfrac{1}{n+1}$ ở ví dụ trên. Hai tính chất này độc lập với nhau: một dãy có thể tăng mà không bị chặn (như $u_n=3^n$ ), bị chặn mà không đơn điệu (như $u_n=(-1)^n$ ), hoặc mang cả hai tính chất cùng lúc (như $u_n=n/(n+1)$ ) — nên khi giải bài, em cần xét lần lượt từng tính chất, không suy tính này ra tính kia. Ghi nhớ điều này sẽ giúp em tránh một lỗi rất phổ biến: cho rằng mọi dãy tăng đều không bị chặn, điều mà ví dụ đầu tiên của bài này đã phản bác.

Muốn xét một dãy số là tăng hay giảm, ta lập hiệu $u_{n+1}-u_n$ và xét dấu của nó với mọi $n$. Muốn xét tính bị chặn, ta tìm một ngưỡng trên và/hoặc dưới mà mọi số hạng không thể vượt qua — thường bằng cách viết lại công thức của $u_n$ dưới dạng dễ so sánh hơn, như $1-\dfrac{1}{n+1}$ ở ví dụ trên. Hai tính chất này độc lập với nhau: một dãy có thể tăng mà không bị chặn (như $u_n=3^n$), bị chặn mà không đơn điệu (như $u_n=(-1)^n$), hoặc mang cả hai tính chất cùng lúc (như $u_n=n/(n+1)$) — nên khi giải bài, em cần xét lần lượt từng tính chất, không suy tính này ra tính kia. Ghi nhớ điều này sẽ giúp em tránh một lỗi rất phổ biến: cho rằng mọi dãy tăng đều không bị chặn, điều mà ví dụ đầu tiên của bài này đã phản bác.

Bài học tiếp theo bắt đầu chương mới: cấp số cộng, một dãy số đặc biệt có hiệu $u_{n+1}-u_n$ không những cùng dấu, mà còn không đổi giá trị với mọi $n$ — nói cách khác, đây là trường hợp riêng, dễ nhận diện hơn nhiều so với việc phải chứng minh dấu của hiệu như em vừa làm ở bài này.