Bài học

Ôn tập tổng hợp: nhận diện và giải bài toán dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân biệt nhanh được một dãy số bất kỳ là cấp số cộng, cấp số nhân, hay không phải cả hai, và vận dụng cả hai loại cấp số vào một bài toán thực tế quan trọng: so sánh lãi đơn với lãi kép khi gửi tiết kiệm.

Kiến thức nền cần nhớ

Toàn bộ chương này ôn lại đúng những gì sáu bài trước đã xây dựng: khái niệm dãy số, tính tăng/giảm/bị chặn, cấp số cộng (định nghĩa, số hạng tổng quát, tổng $n$ số hạng đầu), cấp số nhân (định nghĩa, số hạng tổng quát, tổng $n$ số hạng đầu, và tổng lùi vô hạn). Không có kiến thức mới nào được thêm vào — bài này chỉ ghép các công cụ đã học vào những bài toán đòi hỏi em chọn đúng công cụ trước khi tính, đúng như một đề kiểm tra tổng hợp cuối chương thực sự sẽ đòi hỏi.

Khởi động

Hai người bạn cùng gửi tiết kiệm 100 triệu đồng, cùng lãi suất 6%/năm, nhưng một người nhận lãi đơn (chỉ tính lãi trên số tiền gốc ban đầu), người kia nhận lãi kép (lãi được nhập vào gốc để tính lãi cho năm sau). Sau 5 năm, ai có nhiều tiền hơn, và chênh lệch có lớn không?

Chiến lược nhận diện

Gặp một dãy số chưa rõ loại, câu hỏi đầu tiên luôn là: hiệu hai số hạng liên tiếp có không đổi không? Nếu có, đó là cấp số cộng, dùng ngay $u_n=u_1+(n-1)d$ và $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$ . Nếu hiệu không cố định, hỏi tiếp: thương hai số hạng liên tiếp có không đổi không? Nếu có, đó là cấp số nhân, dùng $u_n=u_1q^{n-1}$ và $S_n=u_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ (hoặc $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ nếu cộng vô hạn số hạng và $|q|<1$ ). Nếu cả hai câu hỏi đều là "không", dãy đó không phải cấp số cộng cũng không phải cấp số nhân — vẫn là một dãy số hợp lệ, chỉ là không mang một trong hai quy luật đặc biệt đó.

Gặp một dãy số chưa rõ loại, câu hỏi đầu tiên luôn là: hiệu hai số hạng liên tiếp có không đổi không? Nếu có, đó là cấp số cộng, dùng ngay $u_n=u_1+(n-1)d$ và $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$. Nếu hiệu không cố định, hỏi tiếp: thương hai số hạng liên tiếp có không đổi không? Nếu có, đó là cấp số nhân, dùng $u_n=u_1q^{n-1}$ và $S_n=u_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ (hoặc $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ nếu cộng vô hạn số hạng và $|q|<1$). Nếu cả hai câu hỏi đều là "không", dãy đó không phải cấp số cộng cũng không phải cấp số nhân — vẫn là một dãy số hợp lệ, chỉ là không mang một trong hai quy luật đặc biệt đó.

Ví dụ

Một dãy số kết hợp không phải cấp số cộng cũng không phải cấp số nhân

1
Cho dãy số $u_n = 2^n + 3n$ . Dãy này có phải cấp số cộng, cấp số nhân, hay không phải cả hai?
Cho dãy số $u_n = 2^n + 3n$. Dãy này có phải cấp số cộng, cấp số nhân, hay không phải cả hai?
2
Ta có $u_1=2+3=5$ , $u_2=4+6=10$ , $u_3=8+9=17$ , $u_4=16+12=28$ .
Ta có $u_1=2+3=5$, $u_2=4+6=10$, $u_3=8+9=17$, $u_4=16+12=28$.
3
Các hiệu liên tiếp: $10-5=5$ , $17-10=7$ , $28-17=11$ — không bằng nhau, nên đây không phải cấp số cộng.
Các hiệu liên tiếp: $10-5=5$, $17-10=7$, $28-17=11$ — không bằng nhau, nên đây không phải cấp số cộng.
4
Các thương liên tiếp: $10/5=2$ , $17/10=1{,}7$ — không bằng nhau, nên đây cũng không phải cấp số nhân.
Các thương liên tiếp: $10/5=2$, $17/10=1{,}7$ — không bằng nhau, nên đây cũng không phải cấp số nhân.
5
Vậy $u_n=2^n+3n$ không phải cấp số cộng cũng không phải cấp số nhân. Đây là bài học quan trọng của chương ôn tập: một dãy số kết hợp một phần cấp số nhân ( $2^n$ ) với một phần cấp số cộng ( $3n$ ) không tự động mang tính chất của cả hai — phải kiểm tra trực tiếp trên chính dãy tổng, không suy từ tính chất của từng phần riêng lẻ.
Vậy $u_n=2^n+3n$ không phải cấp số cộng cũng không phải cấp số nhân. Đây là bài học quan trọng của chương ôn tập: một dãy số kết hợp một phần cấp số nhân ($2^n$) với một phần cấp số cộng ($3n$) không tự động mang tính chất của cả hai — phải kiểm tra trực tiếp trên chính dãy tổng, không suy từ tính chất của từng phần riêng lẻ.

Ứng dụng thực tế: lãi suất tiết kiệm

Gửi tiết kiệm với lãi đơn, mỗi năm tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc ban đầu — số tiền sau $n$ năm lập thành một cấp số cộng: $A_n = A_0 + A_0 \cdot r \cdot n$ , với $A_0$ là gốc và $r$ là lãi suất mỗi năm. Gửi tiết kiệm với lãi kép, tiền lãi được nhập vào gốc mỗi năm để tính lãi cho năm sau — số tiền sau $n$ năm lập thành một cấp số nhân: $A_n = A_0 \cdot (1+r)^n$ , với công bội $q=1+r$ . Đây chính là ứng dụng trực tiếp và tự nhiên nhất của cả hai chương vừa học vào một quyết định tài chính thật sự mà nhiều gia đình phải cân nhắc.

Gửi tiết kiệm với lãi đơn, mỗi năm tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc ban đầu — số tiền sau $n$ năm lập thành một cấp số cộng: $A_n = A_0 + A_0 \cdot r \cdot n$, với $A_0$ là gốc và $r$ là lãi suất mỗi năm. Gửi tiết kiệm với lãi kép, tiền lãi được nhập vào gốc mỗi năm để tính lãi cho năm sau — số tiền sau $n$ năm lập thành một cấp số nhân: $A_n = A_0 \cdot (1+r)^n$, với công bội $q=1+r$. Đây chính là ứng dụng trực tiếp và tự nhiên nhất của cả hai chương vừa học vào một quyết định tài chính thật sự mà nhiều gia đình phải cân nhắc.

Ví dụ

So sánh lãi đơn và lãi kép

1
Một người gửi tiết kiệm $100$ triệu đồng, lãi suất $6\%$ /năm. Tính số tiền sau 5 năm theo cách tính lãi đơn và theo cách tính lãi kép, làm tròn đến hàng phần trăm triệu đồng.
Một người gửi tiết kiệm $100$ triệu đồng, lãi suất $6\%$/năm. Tính số tiền sau 5 năm theo cách tính lãi đơn và theo cách tính lãi kép, làm tròn đến hàng phần trăm triệu đồng.
2
Ta có $A_n = 100 + 100 \times 0{,}06 \times n = 100+6n$ (triệu đồng). Với $n=5$ : $A_5 = 100+6(5)=130$ triệu đồng.
Ta có $A_n = 100 + 100 \times 0{,}06 \times n = 100+6n$ (triệu đồng). Với $n=5$: $A_5 = 100+6(5)=130$ triệu đồng.
3
Ta có $A_n = 100 \times (1{,}06)^n$ (triệu đồng). Ta tính $(1{,}06)^2=1{,}1236$ , $(1{,}06)^3=1{,}191016$ , $(1{,}06)^4=1{,}26247696$ , $(1{,}06)^5=1{,}3382255776$ .
Ta có $A_n = 100 \times (1{,}06)^n$ (triệu đồng). Ta tính $(1{,}06)^2=1{,}1236$, $(1{,}06)^3=1{,}191016$, $(1{,}06)^4=1{,}26247696$, $(1{,}06)^5=1{,}3382255776$.
4
Với $n=5$ : $A_5 = 100 \times 1{,}3382255776 \approx 133{,}82$ triệu đồng.
Với $n=5$: $A_5 = 100 \times 1{,}3382255776 \approx 133{,}82$ triệu đồng.
5
Vậy sau 5 năm, lãi đơn cho $130$ triệu đồng, còn lãi kép cho khoảng $133{,}82$ triệu đồng — lãi kép nhiều hơn khoảng $3{,}82$ triệu đồng, dù cùng lãi suất $6\%$ /năm.
Vậy sau 5 năm, lãi đơn cho $130$ triệu đồng, còn lãi kép cho khoảng $133{,}82$ triệu đồng — lãi kép nhiều hơn khoảng $3{,}82$ triệu đồng, dù cùng lãi suất $6\%$/năm.
6
Ở năm thứ nhất, hai cách tính cho cùng một kết quả ( $106$ triệu đồng), vì lãi kép chỉ khác lãi đơn từ năm thứ hai trở đi, khi tiền lãi của năm trước bắt đầu được tính lãi tiếp. Khoảng cách giữa hai cách tính càng về sau càng lớn — đúng như đặc điểm tăng trưởng nhân luôn vượt tăng trưởng cộng sau đủ lâu, điều mà Chương 5 đã chỉ ra qua ví dụ gập giấy.
Ở năm thứ nhất, hai cách tính cho cùng một kết quả ($106$ triệu đồng), vì lãi kép chỉ khác lãi đơn từ năm thứ hai trở đi, khi tiền lãi của năm trước bắt đầu được tính lãi tiếp. Khoảng cách giữa hai cách tính càng về sau càng lớn — đúng như đặc điểm tăng trưởng nhân luôn vượt tăng trưởng cộng sau đủ lâu, điều mà Chương 5 đã chỉ ra qua ví dụ gập giấy.

Ở năm 1, hai cách tính cho cùng một số tiền; nhưng đến năm 5, cột lãi kép đã vượt cột lãi đơn — cấp số nhân (lãi kép) tăng nhanh hơn cấp số cộng (lãi đơn) khi n đủ lớn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất khi ôn tập tổng hợp là nhận diện vội — thấy dãy có vẻ "tăng nhanh" liền kết luận là cấp số nhân, hoặc thấy vài số hạng đầu cách đều liền kết luận là cấp số cộng, mà không kiểm tra hết. Với bài toán lãi suất, lỗi thường gặp là quên phân biệt lãi đơn (cấp số cộng, tăng đều mỗi năm một lượng cố định) với lãi kép (cấp số nhân, mỗi năm nhân thêm hệ số $(1+r)$ cố định) — hai mô hình cho kết quả gần như nhau ở vài năm đầu, nhưng lệch xa dần khi thời gian gửi càng dài.

Chiến thắng: những gì em đã làm chủ

Qua bảy chương của khoá học này, em đã đi từ khái niệm dãy số như một hàm số trên $\mathbb{N}^*$ , học cách xét tính tăng/giảm/bị chặn, rồi tới hai loại dãy số đặc biệt và quan trọng bậc nhất của chương trình: cấp số cộng (tăng trưởng cộng, đều đặn) và cấp số nhân (tăng trưởng nhân, bùng nổ hoặc co lại tuỳ công bội). Bài toán lãi suất ở trên không phải một ví dụ phụ — nó là lý do thực tế khiến hai loại cấp số này đáng học: từ tiết kiệm ngân hàng đến khấu hao tài sản, phần lớn các mô hình tăng trưởng tài chính trong đời sống đều quy về một trong hai cấp số em vừa làm chủ, và biết phân biệt đúng loại nào đang diễn ra chính là kỹ năng thực dụng nhất của cả khoá học.

Qua bảy chương của khoá học này, em đã đi từ khái niệm dãy số như một hàm số trên $\mathbb{N}^*$, học cách xét tính tăng/giảm/bị chặn, rồi tới hai loại dãy số đặc biệt và quan trọng bậc nhất của chương trình: cấp số cộng (tăng trưởng cộng, đều đặn) và cấp số nhân (tăng trưởng nhân, bùng nổ hoặc co lại tuỳ công bội). Bài toán lãi suất ở trên không phải một ví dụ phụ — nó là lý do thực tế khiến hai loại cấp số này đáng học: từ tiết kiệm ngân hàng đến khấu hao tài sản, phần lớn các mô hình tăng trưởng tài chính trong đời sống đều quy về một trong hai cấp số em vừa làm chủ, và biết phân biệt đúng loại nào đang diễn ra chính là kỹ năng thực dụng nhất của cả khoá học.

Khoá học tiếp theo trong chương trình lớp 11 sẽ dùng lại đúng khái niệm dãy số này để xây dựng giới hạn dãy số — công cụ hoá giải rốt ráo câu hỏi "cộng vô hạn số hạng có ra một giá trị hữu hạn không" mà chương 6 mới chỉ trả lời cho riêng trường hợp cấp số nhân, và sẽ mở rộng câu trả lời đó cho mọi dãy số hội tụ, không chỉ riêng cấp số nhân với $|q|<1$ .