Khái niệm dãy số và cách cho dãy số

Ở lớp 10, em đã học hàm số: với mỗi giá trị của biến số, hàm số gán cho đúng một giá trị tương ứng (prior-grade review). Dãy số dùng lại chính ý tưởng đó, chỉ khác một điểm: biến số của nó không chạy trên toàn bộ tập số thực, mà chỉ chạy trên tập các số nguyên dương $1, 2, 3, \dots$

Một dãy số là một hàm số xác định trên tập số nguyên dương $\mathbb{N}^*$. Ứng với mỗi số nguyên dương $n$, hàm số cho ta một giá trị, kí hiệu là $u_n$ thay vì $u(n)$ như hàm số thông thường — cách viết chỉ số dưới này là quy ước riêng của dãy số. Giá trị $u_n$ gọi là số hạng thứ $n$ của dãy, còn $n$ gọi là chỉ số của số hạng đó. Số hạng ứng với $n=1$, tức $u_1$, gọi là số hạng đầu.

Có ba cách người ta thường dùng để cho một dãy số. Cách thứ nhất là công thức của số hạng tổng quát: một biểu thức tính $u_n$ trực tiếp theo $n$, ví dụ $u_n = 2n - 1$. Cách thứ hai là hệ thức truy hồi: cho số hạng đầu $u_1$, cùng một công thức tính $u_{n+1}$ theo $u_n$ — muốn biết $u_{10}$, ta phải tính lần lượt qua $u_2, u_3, \dots, u_9$ rồi mới đến $u_{10}$, không thể tính thẳng như cách thứ nhất. Cách thứ ba là mô tả bằng lời, khi quy luật dễ nói hơn dễ viết công thức, ví dụ "số hạng thứ $n$ là số dư của $n$ khi chia cho 3".

Một điểm cần phân biệt rõ: dãy số khác với một tập hợp số bất kỳ ở chỗ nó có thứ tự — số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai, cứ thế nối tiếp, và không có hai chỉ số nào cho cùng một vị trí. Chỉ số $n$ luôn bắt đầu từ 1 (vì tập xác định là $\mathbb{N}^*$, không phải toàn bộ số tự nhiên), nên $u_0$ không có nghĩa trong dãy số, dù nhiều em quen viết chỉ số bắt đầu từ 0 khi lập trình. Kí hiệu chữ cái cũng không cố định — SGK thường dùng $u_n$, nhưng $a_n$ hay $x_n$ đều chỉ cùng một khái niệm; điều quan trọng là quy tắc gán $n$ với giá trị tương ứng, không phải tên chữ cái được chọn.

Bây giờ ta xét cách cho thứ hai — hệ thức truy hồi — bằng chính bài toán bỏ heo đất ở phần khởi động. Số tiền tháng đầu là $u_1 = 50$ (nghìn đồng). Mỗi tháng sau, số tiền trong heo đất bằng số tiền tháng trước cộng thêm 50, nên $u_{n+1} = u_n + 50$. Đây chính là một hệ thức truy hồi: biết $u_1$ và biết cách tính $u_{n+1}$ từ $u_n$, ta tính lần lượt được mọi số hạng, dù không có sẵn công thức tính thẳng $u_n$ theo $n$.

Dãy số là một hàm số trên tập số nguyên dương, có thể cho bằng công thức tường minh (tính thẳng $u_n$ theo $n$), bằng hệ thức truy hồi (tính $u_{n+1}$ từ $u_n$, phải đi tuần tự), hoặc bằng lời. Khi có công thức tường minh, em tính được ngay bất kỳ số hạng nào mà không cần liệt kê hết các số hạng trước nó, còn khi chỉ có hệ thức truy hồi, muốn biết một số hạng ở xa (như $u_{50}$), em buộc phải tính lần lượt qua từng số hạng trước nó — trừ khi phát hiện ra một quy luật không đổi giữa các số hạng liên tiếp, như hai chương tiếp theo sẽ chỉ ra.

Bài học tiếp theo dùng đúng công thức số hạng tổng quát vừa học để so sánh $u_{n+1}$ với $u_n$, từ đó xét xem một dãy số là tăng, là giảm, hay bị chặn.