airdu
Tạo tài khoản

Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.

Bài học

Bội chung và bội chung nhỏ nhất bằng liệt kê

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em liệt kê được bội chung của hai số và tìm được bội chung nhỏ nhất ($BCNN$) bằng cách liệt kê bội của mỗi số.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã học: $b$ là bội của $a$ nếu $b$ chia hết cho $a$, kí hiệu tập hợp bội của $n$ (khác 0) là $B(n)$. Chẳng hạn $B(3) = \{3;6;9;12;15;\ldots\}$ — danh sách bội luôn kéo dài mãi, khác với ước luôn dừng lại ở một danh sách hữu hạn.
Khởi động

Hai bạn cùng nhảy dây và đếm nhịp. Bạn An dừng lại nghỉ sau mỗi bội của 4 nhịp (nhịp 4, 8, 12,...), bạn Bình dừng lại nghỉ sau mỗi bội của 6 nhịp (nhịp 6, 12, 18,...). Ở nhịp nào cả hai cùng dừng lại nghỉ lần đầu tiên (không tính nhịp 0)?

Kiến thức trọng tâm

Một số vừa là bội của $a$ vừa là bội của $b$ gọi là **bội chung** của $a$ và $b$, kí hiệu $BC(a,b)$. Trong các bội chung khác 0, số nhỏ nhất được gọi là **bội chung nhỏ nhất**, viết tắt $BCNN(a,b)$. Muốn tìm $BCNN(a,b)$ bằng liệt kê, em liệt kê $B(a)$, liệt kê $B(b)$ (đều bắt đầu từ chính số đó, không tính 0), tìm những số chung, rồi chọn số nhỏ nhất trong các bội chung đó.
Khác với ước — luôn dừng lại ở một danh sách hữu hạn — bội của một số kéo dài mãi không điểm dừng, nên $ƯCLN$ hỏi "số LỚN NHẤT" nhưng $BCNN$ chỉ có thể hỏi "số NHỎ NHẤT": nếu hỏi bội chung lớn nhất, câu trả lời sẽ không tồn tại, vì luôn có một bội chung lớn hơn bất kì bội chung nào em vừa tìm được (cứ nhân đôi lên là ra bội chung mới, lớn hơn). Đó là lý do hai khái niệm tuy giống nhau về cách xây dựng (đều xét phần giao của hai danh sách) nhưng lại chọn hai đầu ngược nhau: $ƯCLN$ chọn số lớn nhất trong danh sách hữu hạn, $BCNN$ chọn số nhỏ nhất trong danh sách vô hạn.
Trục số chung từ 0 đến 24, đánh dấu các bội của 4 và các bội của 6 — hai điểm 12 và 24 trùng nhau.024681012141618202224
Trên cùng một trục số: bội của 4 là 4, 8, 12, 16, 20, 24; bội của 6 là 6, 12, 18, 24. Điểm 12 là bội chung nhỏ nhất khác 0.
Ví dụ
Tìm $BCNN(4,6)$ bằng liệt kê
  1. 1

    Tìm bội chung nhỏ nhất của 4 và 6.

  2. 2
    $B(4) = \{4;8;12;16;20;24;\ldots\}$. $B(6) = \{6;12;18;24;\ldots\}$.
  3. 3
    Số xuất hiện ở cả hai danh sách gần nhất là 12 (rồi đến 24). $BC(4,6) = \{12;24;\ldots\}$.
  4. 4
    Số nhỏ nhất khác 0 trong $BC(4,6)$ là 12. Vậy $BCNN(4,6) = 12$.
Ví dụ
Tìm $BCNN(6,8)$
  1. 1
    Tìm $BCNN(6,8)$.
  2. 2
    $B(6) = \{6;12;18;24;30;\ldots\}$. $B(8) = \{8;16;24;32;\ldots\}$.
  3. 3
    Số chung nhỏ nhất là 24 (12 và 18 không có ở $B(8)$).
  4. 4
    $BCNN(6,8) = 24$.
Ví dụ
Luyện thêm — trò chơi nhảy ô
  1. 1

    Hai bạn chơi trò nhảy ô trên một dãy ô đánh số từ 0. Một bạn nhảy mỗi bước 7 ô, bạn kia nhảy mỗi bước 10 ô, cả hai xuất phát từ ô 0. Hỏi ô nào là ô đầu tiên (khác ô 0) mà cả hai cùng dừng chân?

  2. 2
    $B(7) = \{7;14;21;28;35;42;49;56;63;70;\ldots\}$. $B(10) = \{10;20;30;40;50;60;70;\ldots\}$.
  3. 3
    Số đầu tiên xuất hiện ở cả hai danh sách là 70. Vì $ƯCLN(7,10) = 1$ (7 và 10 không có ước chung nào khác 1), bội chung nhỏ nhất đúng bằng tích của chúng.
  4. 4
    $BCNN(7,10) = 70$. Ô đầu tiên cả hai cùng dừng chân là ô số 70.
Ví dụ
Dạng thi — hai đèn nhấp nháy
  1. 1

    Đèn A nhấp nháy mỗi 5 giây một lần, đèn B nhấp nháy mỗi 9 giây một lần, cả hai cùng nhấp nháy lần đầu tại giây 0. Hỏi lần tiếp theo cả hai đèn cùng nhấp nháy là ở giây thứ mấy?

  2. 2
    Thời điểm cả hai cùng nhấp nháy chính là bội chung của 5 và 9, và đề hỏi lần GẦN NHẤT nên cần $BCNN$.
  3. 3
    $B(5) = \{5;10;15;20;25;30;35;40;45;\ldots\}$. $B(9) = \{9;18;27;36;45;\ldots\}$. Vì $ƯCLN(5,9)=1$ nên bội chung nhỏ nhất chính là tích $5 \times 9$.
  4. 4
    $BCNN(5,9) = 45$. Lần tiếp theo cả hai đèn cùng nhấp nháy là ở giây thứ 45.

Luyện độc lập

Bẫy thường gặp
Sai lầm thường gặp: chọn số 0 làm bội chung nhỏ nhất, vì 0 chia hết cho mọi số nên đúng là một bội chung. Nhưng $BCNN$ luôn xét trong các bội chung KHÁC 0 — nếu không, mọi cặp số đều có $BCNN$ bằng 0, điều đó vô nghĩa cho các bài toán thực tế. Một sai lầm khác là nhầm $ƯCLN$ với $BCNN$ khi hai khái niệm xuất hiện gần nhau: với 4 và 6, $ƯCLN(4,6) = 2$ (số nhỏ) còn $BCNN(4,6) = 12$ (số lớn hơn cả hai số ban đầu) — nếu bài toán hỏi "số nhỏ nhất mà cả hai cùng chia hết" (một cách hỏi khác của $BCNN$) mà lại trả lời 2, đó là nhầm sang $ƯCLN$.
Một điều đáng nhớ khác: nếu $a$ chia hết cho $b$ (chẳng hạn 14 chia hết cho 7), thì $a$ chính là $BCNN(a,b)$, vì $a$ vừa là bội của chính nó vừa là bội của $b$, và không số nào nhỏ hơn $a$ (mà khác 0) lại có thể là bội của $a$. Đây là hình ảnh đối xứng với điều em đã học ở bài $ƯCLN$: ở đó khi $a$ chia hết cho $b$ thì $ƯCLN(a,b) = b$ (số nhỏ hơn); còn ở đây khi $a$ chia hết cho $b$ thì $BCNN(a,b) = a$ (số lớn hơn).

Ghi nhớ

$BCNN(a,b)$ là số nhỏ nhất KHÁC 0 trong tập hợp bội chung của $a$ và $b$. Cách tìm bằng liệt kê: viết $B(a)$, viết $B(b)$, lấy phần giao, chọn số nhỏ nhất. Cách này cũng chậm khi $a, b$ lớn — bài sau sẽ dùng phân tích thừa số nguyên tố để tìm nhanh hơn, giống như em đã làm với $ƯCLN$.
Bài tiếp theo học cách tìm $BCNN$ bằng phân tích ra thừa số nguyên tố, kèm ứng dụng quy đồng mẫu số.