Bài học

Ước chung và ước chung lớn nhất bằng liệt kê

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em liệt kê được ước chung của hai số và tìm được ước chung lớn nhất ( $ƯCLN$ ) bằng cách liệt kê ước của mỗi số, rồi dùng $ƯCLN$ để giải một bài toán chia đều đơn giản.

Sau bài này, em liệt kê được ước chung của hai số và tìm được ước chung lớn nhất ($ƯCLN$) bằng cách liệt kê ước của mỗi số, rồi dùng $ƯCLN$ để giải một bài toán chia đều đơn giản.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã học: $a$ là ước của $b$ nếu $b$ chia hết cho $a$ , kí hiệu tập hợp ước của $n$ là $Ư(n)$ . Chẳng hạn $Ư(6) = \{1;2;3;6\}$ vì $6$ chia hết cho cả bốn số này. Bài này dùng lại đúng khái niệm đó, chỉ thêm một câu hỏi: nếu xét hai số cùng lúc, những ước nào là ước của CẢ HAI số?

Em đã học: $a$ là ước của $b$ nếu $b$ chia hết cho $a$, kí hiệu tập hợp ước của $n$ là $Ư(n)$. Chẳng hạn $Ư(6) = \{1;2;3;6\}$ vì $6$ chia hết cho cả bốn số này. Bài này dùng lại đúng khái niệm đó, chỉ thêm một câu hỏi: nếu xét hai số cùng lúc, những ước nào là ước của CẢ HAI số?

Khởi động

Tổ Một có 12 quyển vở và 18 chiếc bút chì, muốn chia đều cho các bạn trong tổ, mỗi bạn nhận số vở bằng nhau và số bút bằng nhau, không thừa không thiếu. Tổ có thể chia cho 2 bạn được không? Cho 3 bạn? Cho 6 bạn? Số bạn nhiều nhất có thể chia được là bao nhiêu?

Kiến thức trọng tâm

Một số vừa là ước của $a$ vừa là ước của $b$ gọi là ước chung của $a$ và $b$ , kí hiệu $ƯC(a,b)$ . Trong tập hợp ước chung đó, số lớn nhất được gọi là ước chung lớn nhất, viết tắt $ƯCLN(a,b)$ .

Muốn tìm $ƯCLN(a,b)$ bằng liệt kê, em làm ba bước: liệt kê $Ư(a)$ , liệt kê $Ư(b)$ , rồi tìm những số xuất hiện ở cả hai danh sách và chọn số lớn nhất trong đó. Số 1 luôn có mặt trong mọi $ƯC$ , vì 1 là ước của bất kì số nào — đừng bỏ sót khi liệt kê.

Một số vừa là ước của $a$ vừa là ước của $b$ gọi là **ước chung** của $a$ và $b$, kí hiệu $ƯC(a,b)$. Trong tập hợp ước chung đó, số lớn nhất được gọi là **ước chung lớn nhất**, viết tắt $ƯCLN(a,b)$. Muốn tìm $ƯCLN(a,b)$ bằng liệt kê, em làm ba bước: liệt kê $Ư(a)$, liệt kê $Ư(b)$, rồi tìm những số xuất hiện ở cả hai danh sách và chọn số lớn nhất trong đó. Số 1 luôn có mặt trong mọi $ƯC$, vì 1 là ước của bất kì số nào — đừng bỏ sót khi liệt kê.

Một điều đáng nhớ: nếu $a$ chia hết cho $b$ (chẳng hạn 20 chia hết cho 5), thì $b$ chính là $ƯCLN(a,b)$ , vì $b$ vừa là ước của chính nó vừa là ước của $a$ , và không số nào lớn hơn $b$ lại có thể là ước của $b$ . Nhớ điều này giúp em nhận ra ngay một số trường hợp mà không cần liệt kê đầy đủ.

Có một cách nhìn giúp em hiểu bản chất thay vì chỉ học thuộc quy trình: ước của một số chính là những cách chia số đó thành các phần bằng nhau, không dư. 12 chia hết cho 3 nghĩa là 12 chấm xếp gọn thành 3 hàng đều nhau (mỗi hàng 4 chấm); 12 chia hết cho 4 nghĩa là cũng 12 chấm đó xếp gọn thành 4 hàng đều nhau (mỗi hàng 3 chấm). Ước chung của 12 và 18 vì vậy là những cách chia MÀ CẢ HAI số đều xếp gọn được — và $ƯCLN$ là cách chia gọn nhất, tức chia thành ít hàng nhất mà mỗi hàng vẫn đông nhất có thể. Một điều đáng nhớ: nếu $a$ chia hết cho $b$ (chẳng hạn 20 chia hết cho 5), thì $b$ chính là $ƯCLN(a,b)$, vì $b$ vừa là ước của chính nó vừa là ước của $a$, và không số nào lớn hơn $b$ lại có thể là ước của $b$. Nhớ điều này giúp em nhận ra ngay một số trường hợp mà không cần liệt kê đầy đủ.

12 chấm xếp thành 3 hàng đều 4 cột: vì phép chia này chẵn (không dư), 3 và 4 đều là ước của 12.

Ví dụ

Tìm

ƯCLN(12,18)

bằng liệt kêTìm $ƯCLN(12,18)$ bằng liệt kê

1
Tìm ước chung lớn nhất của 12 và 18.
2
$Ư(12) = \{1;2;3;4;6;12\}$ . $Ư(18) = \{1;2;3;6;9;18\}$ .
$Ư(12) = \{1;2;3;4;6;12\}$. $Ư(18) = \{1;2;3;6;9;18\}$.
3
So sánh hai danh sách, các số xuất hiện ở cả hai là $1, 2, 3, 6$ . Vậy $ƯC(12,18) = \{1;2;3;6\}$ .
So sánh hai danh sách, các số xuất hiện ở cả hai là $1, 2, 3, 6$. Vậy $ƯC(12,18) = \{1;2;3;6\}$.
4
Số lớn nhất trong $ƯC(12,18)$ là 6. Vậy $ƯCLN(12,18) = 6$ .
Số lớn nhất trong $ƯC(12,18)$ là 6. Vậy $ƯCLN(12,18) = 6$.

Ví dụ

Tìm

ƯCLN(15,20)

Tìm $ƯCLN(15,20)$

1
Tìm ước chung lớn nhất của 15 và 20.
2
$Ư(15) = \{1;3;5;15\}$ . $Ư(20) = \{1;2;4;5;10;20\}$ .
$Ư(15) = \{1;3;5;15\}$. $Ư(20) = \{1;2;4;5;10;20\}$.
3
$ƯC(15,20) = \{1;5\}$ . Số lớn nhất là 5.
$ƯC(15,20) = \{1;5\}$. Số lớn nhất là 5.
4
$ƯCLN(15,20) = 5$ .
$ƯCLN(15,20) = 5$.

Ví dụ

Dạng thi — chia đội hội trại

1
Một lớp có 20 bạn nam và 15 bạn nữ tham gia hội trại, muốn chia thành các nhóm sao cho số nam ở mỗi nhóm bằng nhau và số nữ ở mỗi nhóm bằng nhau. Hỏi chia được nhiều nhất bao nhiêu nhóm, mỗi nhóm khi đó có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ?
2
Vì mỗi nhóm phải nhận số nam bằng nhau, số nhóm phải là ước của 20. Tương tự số nhóm cũng phải là ước của 15. Số nhóm nhiều nhất chính là $ƯCLN(20,15)$ .
Vì mỗi nhóm phải nhận số nam bằng nhau, số nhóm phải là ước của 20. Tương tự số nhóm cũng phải là ước của 15. Số nhóm nhiều nhất chính là $ƯCLN(20,15)$.
3
$Ư(20) = \{1;2;4;5;10;20\}$ . $Ư(15) = \{1;3;5;15\}$ . Suy ra $ƯC(20,15) = \{1;5\}$ .
$Ư(20) = \{1;2;4;5;10;20\}$. $Ư(15) = \{1;3;5;15\}$. Suy ra $ƯC(20,15) = \{1;5\}$.
4
$ƯCLN(20,15) = 5$ . Chia được nhiều nhất 5 nhóm, mỗi nhóm có $20 : 5 = 4$ bạn nam và $15 : 5 = 3$ bạn nữ.
$ƯCLN(20,15) = 5$. Chia được nhiều nhất 5 nhóm, mỗi nhóm có $20 : 5 = 4$ bạn nam và $15 : 5 = 3$ bạn nữ.

Luyện có hướng dẫn

Luyện độc lập

Ví dụ

Luyện thêm — dạng thi xếp kệ sách

1
Một câu lạc bộ có 14 quyển sách Toán và 21 quyển sách Văn, muốn xếp đều lên các kệ, mỗi kệ có số sách Toán bằng nhau và số sách Văn bằng nhau. Hỏi xếp được nhiều nhất bao nhiêu kệ, mỗi kệ có bao nhiêu sách Toán, bao nhiêu sách Văn?
2
Vì mỗi kệ nhận số sách Toán bằng nhau nên số kệ phải là ước của 14; vì mỗi kệ nhận số sách Văn bằng nhau nên số kệ cũng phải là ước của 21. Số kệ nhiều nhất chính là $ƯCLN(14,21)$ .
Vì mỗi kệ nhận số sách Toán bằng nhau nên số kệ phải là ước của 14; vì mỗi kệ nhận số sách Văn bằng nhau nên số kệ cũng phải là ước của 21. Số kệ nhiều nhất chính là $ƯCLN(14,21)$.
3
$Ư(14) = \{1;2;7;14\}$ . $Ư(21) = \{1;3;7;21\}$ . Suy ra $ƯC(14,21) = \{1;7\}$ .
$Ư(14) = \{1;2;7;14\}$. $Ư(21) = \{1;3;7;21\}$. Suy ra $ƯC(14,21) = \{1;7\}$.
4
$ƯCLN(14,21) = 7$ . Xếp được nhiều nhất 7 kệ, mỗi kệ có $14 : 7 = 2$ quyển Toán và $21 : 7 = 3$ quyển Văn.
$ƯCLN(14,21) = 7$. Xếp được nhiều nhất 7 kệ, mỗi kệ có $14 : 7 = 2$ quyển Toán và $21 : 7 = 3$ quyển Văn.
5
$7 \times 2 = 14$ và $7 \times 3 = 21$ , đúng bằng số sách ban đầu, nên kết quả hợp lí.
$7 \times 2 = 14$ và $7 \times 3 = 21$, đúng bằng số sách ban đầu, nên kết quả hợp lí.

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: liệt kê xong lại chọn nhầm số NHỎ nhất trong $ƯC$ thay vì số lớn nhất, hoặc quên rằng 1 luôn là một ước chung nên bỏ sót nó khi liệt kê. Luôn đọc lại đề: $ƯCLN$ là số LỚN NHẤT trong tập ước chung, không phải số đầu tiên em viết ra. Ví dụ với $Ư(12) = \{1;2;3;4;6;12\}$ và $Ư(18) = \{1;2;3;6;9;18\}$ , một số bạn dừng lại ở số 1 hoặc số 2 vì thấy chúng xuất hiện trước trong danh sách, nhưng 6 mới là số lớn nhất trong $ƯC(12,18) = \{1;2;3;6\}$ — phải rà soát hết danh sách rồi mới chọn.

Sai lầm thường gặp: liệt kê xong lại chọn nhầm số NHỎ nhất trong $ƯC$ thay vì số lớn nhất, hoặc quên rằng 1 luôn là một ước chung nên bỏ sót nó khi liệt kê. Luôn đọc lại đề: $ƯCLN$ là số LỚN NHẤT trong tập ước chung, không phải số đầu tiên em viết ra. Ví dụ với $Ư(12) = \{1;2;3;4;6;12\}$ và $Ư(18) = \{1;2;3;6;9;18\}$, một số bạn dừng lại ở số 1 hoặc số 2 vì thấy chúng xuất hiện trước trong danh sách, nhưng 6 mới là số lớn nhất trong $ƯC(12,18) = \{1;2;3;6\}$ — phải rà soát hết danh sách rồi mới chọn.

Ghi nhớ

$ƯCLN(a,b)$ là số lớn nhất trong tập hợp ước chung của $a$ và $b$ . Cách tìm bằng liệt kê: viết $Ư(a)$ , viết $Ư(b)$ , lấy phần giao, chọn số lớn nhất. Cách này chắc chắn đúng nhưng chậm khi $a$ , $b$ lớn — đó là điều bài học sau sẽ khắc phục.

$ƯCLN(a,b)$ là số lớn nhất trong tập hợp ước chung của $a$ và $b$. Cách tìm bằng liệt kê: viết $Ư(a)$, viết $Ư(b)$, lấy phần giao, chọn số lớn nhất. Cách này chắc chắn đúng nhưng chậm khi $a$, $b$ lớn — đó là điều bài học sau sẽ khắc phục.

Bài tiếp theo giữ nguyên khái niệm $ƯCLN$ nhưng đổi cách tìm: thay vì liệt kê toàn bộ ước, em sẽ phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố rồi đọc thẳng ra $ƯCLN$ — nhanh hơn nhiều với số lớn.