Bài học

Ứng dụng BCNN trong bài toán chu kỳ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra được khi nào một bài toán thực tế cần dùng $BCNN$ , và giải đúng dạng bài hai hay ba hiện tượng lặp lại theo chu kỳ, hỏi thời điểm cùng xảy ra lần tiếp theo.

Sau bài này, em nhận ra được khi nào một bài toán thực tế cần dùng $BCNN$, và giải đúng dạng bài hai hay ba hiện tượng lặp lại theo chu kỳ, hỏi thời điểm cùng xảy ra lần tiếp theo.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã biết cách tìm $BCNN$ nhanh bằng phân tích ra thừa số nguyên tố, và dùng nó để quy đồng mẫu số. Bài này dùng lại đúng công thức đó cho một loại bài toán khác: thời gian.

Khởi động

Hai tuyến xe buýt cùng xuất phát từ bến lúc 6 giờ sáng. Xe A cứ mỗi 15 phút lại quay về bến một lần, xe B cứ mỗi 20 phút lại quay về bến một lần. Hỏi lần tiếp theo cả hai xe cùng có mặt tại bến là mấy giờ?

Kiến thức trọng tâm

Khi một hiện tượng lặp lại đều đặn theo chu kỳ (cứ sau bao nhiêu phút, giờ, ngày lại xảy ra một lần), và đề hỏi thời điểm NHIỀU hiện tượng CÙNG xảy ra lần TIẾP THEO (không phải một lần cụ thể nào đó), thời điểm đó chính là $BCNN$ của các chu kỳ. Lý do: thời điểm cùng xảy ra phải là bội của mỗi chu kỳ, và đề muốn lần gần nhất — nên đó đúng là định nghĩa của $BCNN$ .

Cách nhận diện nhanh trong phòng thi: nếu đề chỉ nói một hiện tượng lặp lại và hỏi lần thứ mấy nó xảy ra ở một thời điểm cho trước, đó là bài toán bội số đơn giản, không cần $BCNN$ . Nhưng nếu đề nói HAI (hoặc BA) hiện tượng khác nhau, mỗi hiện tượng có chu kỳ riêng, và hỏi khi nào chúng CÙNG xảy ra — đó luôn là dấu hiệu của $BCNN$ , dù ngữ cảnh là xe cộ, đèn tín hiệu, ca trực, hay dây chuyền sản xuất. Ngữ cảnh có thể thay đổi nhưng phép tính phía sau luôn giống nhau.

Cách nhận diện nhanh trong phòng thi: nếu đề chỉ nói một hiện tượng lặp lại và hỏi lần thứ mấy nó xảy ra ở một thời điểm cho trước, đó là bài toán bội số đơn giản, không cần $BCNN$. Nhưng nếu đề nói HAI (hoặc BA) hiện tượng khác nhau, mỗi hiện tượng có chu kỳ riêng, và hỏi khi nào chúng CÙNG xảy ra — đó luôn là dấu hiệu của $BCNN$, dù ngữ cảnh là xe cộ, đèn tín hiệu, ca trực, hay dây chuyền sản xuất. Ngữ cảnh có thể thay đổi nhưng phép tính phía sau luôn giống nhau.

Trên cùng trục thời gian: xe A về bến ở phút 15, 30, 45, 60; xe B về bến ở phút 20, 40, 60. Phút 60 là mốc hai xe cùng về bến, đúng bằng BCNN(15,20).

Ví dụ

Hai xe buýt cùng xuất phát

1
Xe A quay lại bến sau mỗi 15 phút, xe B sau mỗi 20 phút, cùng xuất phát lúc 6 giờ. Hỏi lần tiếp theo cả hai xe cùng có mặt tại bến là mấy giờ?
2
Thời điểm hai xe cùng về bến là bội chung của 15 và 20; đề hỏi lần GẦN NHẤT nên cần $BCNN(15,20)$ .
Thời điểm hai xe cùng về bến là bội chung của 15 và 20; đề hỏi lần GẦN NHẤT nên cần $BCNN(15,20)$.
3
$15 = 3 \times 5$ . $20 = 2^2 \times 5$ . $BCNN(15,20) = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$ .
$15 = 3 \times 5$. $20 = 2^2 \times 5$. $BCNN(15,20) = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$.
4
Sau 60 phút, tức 1 giờ, hai xe cùng về bến lần tiếp theo. Vì xuất phát lúc 6 giờ, thời điểm đó là 7 giờ.

Ví dụ

Ba bạn cùng trực nhật

1
An trực nhật mỗi 4 ngày một lần, Bình mỗi 6 ngày, Chi mỗi 8 ngày. Hôm nay cả ba cùng trực. Hỏi sau bao nhiêu ngày cả ba lại cùng trực?
2
Số ngày cần tìm là $BCNN(4,6,8)$ .
Số ngày cần tìm là $BCNN(4,6,8)$.
3
$4 = 2^2$ . $6 = 2 \times 3$ . $8 = 2^3$ . Số mũ lớn nhất của 2 là $2^3$ (ở số 8); của 3 là $3^1$ . $BCNN(4,6,8) = 2^3 \times 3 = 24$ .
$4 = 2^2$. $6 = 2 \times 3$. $8 = 2^3$. Số mũ lớn nhất của 2 là $2^3$ (ở số 8); của 3 là $3^1$. $BCNN(4,6,8) = 2^3 \times 3 = 24$.
4
Sau 24 ngày, cả ba bạn lại cùng trực nhật.

Ví dụ

Dạng thi — đổi đơn vị thời gian

1
Trạm bơm A mở van kiểm tra mỗi 12 giờ một lần, trạm bơm B mỗi 18 giờ một lần, cả hai cùng mở van kiểm tra lúc 0 giờ ngày thứ Hai. Hỏi lần tiếp theo cả hai trạm cùng mở van kiểm tra là vào lúc mấy giờ, ngày nào?
2
Số giờ cần tìm là $BCNN(12,18)$ .
Số giờ cần tìm là $BCNN(12,18)$.
3
$12 = 2^2 \times 3$ . $18 = 2 \times 3^2$ . $BCNN(12,18) = 2^2 \times 3^2 = 36$ .
$12 = 2^2 \times 3$. $18 = 2 \times 3^2$. $BCNN(12,18) = 2^2 \times 3^2 = 36$.
4
36 giờ bằng 1 ngày 12 giờ (vì $36 = 24 + 12$ ). Từ 0 giờ thứ Hai, cộng 24 giờ là 0 giờ thứ Ba, cộng thêm 12 giờ nữa là 12 giờ trưa thứ Ba.
36 giờ bằng 1 ngày 12 giờ (vì $36 = 24 + 12$). Từ 0 giờ thứ Hai, cộng 24 giờ là 0 giờ thứ Ba, cộng thêm 12 giờ nữa là 12 giờ trưa thứ Ba.
5
Lần tiếp theo cả hai trạm cùng mở van kiểm tra là vào lúc 12 giờ trưa thứ Ba.

Ví dụ

Luyện thêm — hai chuyến phà

1
Bến sông có hai chuyến phà, phà A quay lại bến sau mỗi 25 phút, phà B sau mỗi 35 phút, cả hai cùng rời bến lúc 0 phút. Hỏi lần tiếp theo cả hai phà cùng có mặt tại bến là sau bao nhiêu phút?
2
Thời điểm hai phà cùng về bến là bội chung của 25 và 35; đề hỏi lần gần nhất nên cần $BCNN(25,35)$ .
Thời điểm hai phà cùng về bến là bội chung của 25 và 35; đề hỏi lần gần nhất nên cần $BCNN(25,35)$.
3
$25 = 5^2$ . $35 = 5 \times 7$ . $BCNN(25,35) = 5^2 \times 7 = 175$ .
$25 = 5^2$. $35 = 5 \times 7$. $BCNN(25,35) = 5^2 \times 7 = 175$.
4
Sau 175 phút, hai phà lại cùng có mặt tại bến.
5
$175 : 25 = 7$ và $175 : 35 = 5$ , cả hai đều là số nguyên nên kết quả hợp lí.
$175 : 25 = 7$ và $175 : 35 = 5$, cả hai đều là số nguyên nên kết quả hợp lí.

Luyện có hướng dẫn

Luyện độc lập

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: tính đúng $BCNN$ nhưng quên đổi ra đơn vị đề bài hỏi (phút, giờ, ngày), hoặc quên cộng vào mốc thời gian xuất phát ban đầu. Khi bài toán cho thời điểm bắt đầu (như 6 giờ, thứ Hai), câu trả lời cuối cùng luôn phải cộng thêm mốc đó, không chỉ dừng ở số phút/giờ vừa tính. Chẳng hạn với đề hai xe buýt (xuất phát lúc 6 giờ, $BCNN(15,20) = 60$ phút), nếu chỉ trả lời "60 phút" mà không cộng vào mốc 6 giờ để ra "7 giờ", câu trả lời vẫn đúng về mặt tính toán nhưng chưa trả lời đúng câu hỏi của đề — đề hỏi MẤY GIỜ chứ không hỏi BAO NHIÊU PHÚT.

Ghi nhớ

Dấu hiệu nhận biết bài toán dùng $BCNN$ : đề nói về các hiện tượng lặp lại theo chu kỳ và hỏi thời điểm CÙNG xảy ra lần TIẾP THEO. Số cần tìm luôn là $BCNN$ của các chu kỳ; nhớ cộng thêm mốc thời gian bắt đầu và đổi đúng đơn vị đề yêu cầu.

Dấu hiệu nhận biết bài toán dùng $BCNN$: đề nói về các hiện tượng lặp lại theo chu kỳ và hỏi thời điểm CÙNG xảy ra lần TIẾP THEO. Số cần tìm luôn là $BCNN$ của các chu kỳ; nhớ cộng thêm mốc thời gian bắt đầu và đổi đúng đơn vị đề yêu cầu.

Bài ôn tập cuối cùng của khóa sẽ giúp em phân biệt nhanh khi nào dùng $ƯCLN$ , khi nào dùng $BCNN$ trong cùng một đề bài.

Bài ôn tập cuối cùng của khóa sẽ giúp em phân biệt nhanh khi nào dùng $ƯCLN$, khi nào dùng $BCNN$ trong cùng một đề bài.