Bài học

Ôn tập tổng hợp ƯCLN và BCNN

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân biệt nhanh một bài toán cần dùng $ƯCLN$ hay $BCNN$ chỉ qua cách đề bài diễn đạt, và giải được các bài toán tổng hợp phối hợp cả hai công cụ.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không dạy kĩ thuật tính toán nào mới — toàn bộ nội dung đã học ở sáu bài trước: liệt kê và phân tích thừa số nguyên tố để tìm $ƯCLN$ , $BCNN$ ; ứng dụng $ƯCLN$ vào chia đều; ứng dụng $BCNN$ vào bài toán chu kỳ. Việc cần luyện lại là chọn ĐÚNG công cụ khi đọc đề.

Bài này không dạy kĩ thuật tính toán nào mới — toàn bộ nội dung đã học ở sáu bài trước: liệt kê và phân tích thừa số nguyên tố để tìm $ƯCLN$, $BCNN$; ứng dụng $ƯCLN$ vào chia đều; ứng dụng $BCNN$ vào bài toán chu kỳ. Việc cần luyện lại là chọn ĐÚNG công cụ khi đọc đề.

Khởi động

Hai đề bài sau trông giống nhau vì đều cho hai số 45 và 60, nhưng cách giải hoàn toàn khác nhau. Đề 1: "Chia đều 45 quyển vở và 60 cây bút cho nhiều bạn nhất" — dùng $ƯCLN$ hay $BCNN$ ? Đề 2: "Hai đèn nhấp nháy chu kỳ 45 giây và 60 giây, hỏi khi nào cùng nhấp nháy lần tiếp theo" — dùng cái nào? Đọc kĩ từ khóa trong mỗi đề trước khi trả lời.

Hai đề bài sau trông giống nhau vì đều cho hai số 45 và 60, nhưng cách giải hoàn toàn khác nhau. Đề 1: "Chia đều 45 quyển vở và 60 cây bút cho nhiều bạn nhất" — dùng $ƯCLN$ hay $BCNN$? Đề 2: "Hai đèn nhấp nháy chu kỳ 45 giây và 60 giây, hỏi khi nào cùng nhấp nháy lần tiếp theo" — dùng cái nào? Đọc kĩ từ khóa trong mỗi đề trước khi trả lời.

Kiến thức trọng tâm

Bảng từ khóa giúp em chọn đúng công cụ trong lúc làm bài:

Đề nói "chia đều", "nhiều nhóm/phần/người NHẤT", "mỗi phần bằng nhau" → dùng $ƯCLN$ .
Đề nói "cùng xảy ra", "gặp lại", "lặp lại", "lần TIẾP THEO" của các chu kỳ khác nhau → dùng $BCNN$ .

Quy tắc tính cũng đối xứng nhau: $ƯCLN$ chỉ lấy thừa số CHUNG với số mũ NHỎ nhất; $BCNN$ lấy thừa số CHUNG VÀ RIÊNG với số mũ LỚN nhất.

Bảng từ khóa giúp em chọn đúng công cụ trong lúc làm bài: - Đề nói "chia đều", "nhiều nhóm/phần/người NHẤT", "mỗi phần bằng nhau" → dùng $ƯCLN$. - Đề nói "cùng xảy ra", "gặp lại", "lặp lại", "lần TIẾP THEO" của các chu kỳ khác nhau → dùng $BCNN$. Quy tắc tính cũng đối xứng nhau: $ƯCLN$ chỉ lấy thừa số CHUNG với số mũ NHỎ nhất; $BCNN$ lấy thừa số CHUNG VÀ RIÊNG với số mũ LỚN nhất.

Xét lại hai đề ở phần khởi động: đề 1 hỏi "chia đều... nhiều bạn nhất" nên số bạn cần tìm là $ƯCLN(45,60) = 15$ ; đề 2 hỏi "khi nào cùng nhấp nháy lần tiếp theo" nên thời điểm cần tìm là $BCNN(45,60)$ . Vì $45 = 3^2 \times 5$ và $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ , ta có $BCNN(45,60) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$ giây. Cùng hai con số 45 và 60, chỉ một từ khóa khác nhau trong đề đã dẫn tới hai phép tính và hai đáp số hoàn toàn khác nhau (15 và 180) — đó là lý do đọc kĩ đề luôn quan trọng hơn việc nhớ công thức.

Xét lại hai đề ở phần khởi động: đề 1 hỏi "chia đều... nhiều bạn nhất" nên số bạn cần tìm là $ƯCLN(45,60) = 15$; đề 2 hỏi "khi nào cùng nhấp nháy lần tiếp theo" nên thời điểm cần tìm là $BCNN(45,60)$. Vì $45 = 3^2 \times 5$ và $60 = 2^2 \times 3 \times 5$, ta có $BCNN(45,60) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$ giây. Cùng hai con số 45 và 60, chỉ một từ khóa khác nhau trong đề đã dẫn tới hai phép tính và hai đáp số hoàn toàn khác nhau (15 và 180) — đó là lý do đọc kĩ đề luôn quan trọng hơn việc nhớ công thức.

Ví dụ

Ôn tập ƯCLN — chia phần quà

1
45 viên kẹo và 60 chiếc bánh chia đều thành các phần quà giống nhau, nhiều phần nhất. Hỏi chia được bao nhiêu phần, mỗi phần có bao nhiêu kẹo, bao nhiêu bánh?
2
Đề nói "chia đều", "nhiều phần nhất" nên dùng $ƯCLN(45,60)$ .
Đề nói "chia đều", "nhiều phần nhất" nên dùng $ƯCLN(45,60)$.
3
$45 = 3^2 \times 5$ . $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ . $ƯCLN(45,60) = 3 \times 5 = 15$ .
$45 = 3^2 \times 5$. $60 = 2^2 \times 3 \times 5$. $ƯCLN(45,60) = 3 \times 5 = 15$.
4
Chia được nhiều nhất 15 phần, mỗi phần có $45 : 15 = 3$ viên kẹo và $60 : 15 = 4$ chiếc bánh.
Chia được nhiều nhất 15 phần, mỗi phần có $45 : 15 = 3$ viên kẹo và $60 : 15 = 4$ chiếc bánh.

Ví dụ

Ôn tập BCNN — hai xe đạp đua vòng sân

1
Hai bạn đua xe đạp vòng quanh sân trường, cùng xuất phát tại một điểm cùng lúc. Một xe đi hết một vòng trong 8 phút, xe kia trong 12 phút. Hỏi sau bao lâu cả hai lại cùng gặp nhau đúng tại điểm xuất phát?
2
Đề hỏi "cùng gặp nhau" tại một chu kỳ lặp lại nên dùng $BCNN(8,12)$ .
Đề hỏi "cùng gặp nhau" tại một chu kỳ lặp lại nên dùng $BCNN(8,12)$.
3
$8 = 2^3$ . $12 = 2^2 \times 3$ . $BCNN(8,12) = 2^3 \times 3 = 24$ .
$8 = 2^3$. $12 = 2^2 \times 3$. $BCNN(8,12) = 2^3 \times 3 = 24$.
4
Sau 24 phút, cả hai bạn lại cùng gặp nhau tại điểm xuất phát.

Ví dụ

Dạng thi tổng hợp — dùng cả hai công cụ trong một đề

1
Một cửa hàng có 90 quyển vở và 60 quyển truyện, muốn đóng thành các gói giống nhau, mỗi gói có cùng số vở và cùng số truyện, nhiều gói nhất có thể. Đồng thời, dây chuyền đóng gói thứ nhất cứ mỗi 6 phút ra một mẻ, dây chuyền thứ hai cứ mỗi 9 phút ra một mẻ, cả hai cùng bắt đầu lúc 8 giờ. Hỏi đóng được nhiều nhất bao nhiêu gói, và hai dây chuyền cùng ra mẻ lần tiếp theo lúc mấy giờ?
Một cửa hàng có 90 quyển vở và 60 quyển truyện, muốn đóng thành các gói giống nhau, mỗi gói có cùng số vở và cùng số truyện, nhiều gói nhất có thể. Đồng thời, dây chuyền đóng gói thứ nhất cứ mỗi 6 phút ra một mẻ, dây chuyền thứ hai cứ mỗi 9 phút ra một mẻ, cả hai cùng bắt đầu lúc 8 giờ. Hỏi đóng được nhiều nhất bao nhiêu gói, và hai dây chuyền cùng ra mẻ lần tiếp theo lúc mấy giờ?
2
Đề nói "chia đều", "nhiều gói nhất" nên dùng $ƯCLN(90,60)$ . $90 = 2 \times 3^2 \times 5$ , $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ . $ƯCLN(90,60) = 2 \times 3 \times 5 = 30$ . Đóng được nhiều nhất 30 gói.
Đề nói "chia đều", "nhiều gói nhất" nên dùng $ƯCLN(90,60)$. $90 = 2 \times 3^2 \times 5$, $60 = 2^2 \times 3 \times 5$. $ƯCLN(90,60) = 2 \times 3 \times 5 = 30$. Đóng được nhiều nhất 30 gói.
3
Đề nói "cùng ra mẻ lần tiếp theo" nên dùng $BCNN(6,9)$ . $6 = 2 \times 3$ , $9 = 3^2$ . $BCNN(6,9) = 2 \times 3^2 = 18$ . Sau 18 phút kể từ 8 giờ, tức lúc 8 giờ 18 phút, hai dây chuyền cùng ra mẻ lần tiếp theo.
Đề nói "cùng ra mẻ lần tiếp theo" nên dùng $BCNN(6,9)$. $6 = 2 \times 3$, $9 = 3^2$. $BCNN(6,9) = 2 \times 3^2 = 18$. Sau 18 phút kể từ 8 giờ, tức lúc 8 giờ 18 phút, hai dây chuyền cùng ra mẻ lần tiếp theo.
4
Cửa hàng đóng được nhiều nhất 30 gói, và hai dây chuyền cùng ra mẻ lần tiếp theo vào lúc 8 giờ 18 phút.

Ví dụ

Luyện thêm — dạng thi tổng hợp thứ hai

1
Một xưởng có 56 cây bút và 84 quyển vở, muốn đóng thành các bộ dụng cụ giống nhau, mỗi bộ có cùng số bút và cùng số vở, nhiều bộ nhất có thể. Đồng thời, hai dây chuyền đóng gói khác cùng khởi động lúc 7 giờ, dây thứ nhất cứ 14 phút khởi động lại, dây thứ hai cứ 21 phút khởi động lại. Hỏi đóng được nhiều nhất bao nhiêu bộ, và hai dây chuyền cùng khởi động lại lần tiếp theo lúc mấy giờ?
Một xưởng có 56 cây bút và 84 quyển vở, muốn đóng thành các bộ dụng cụ giống nhau, mỗi bộ có cùng số bút và cùng số vở, nhiều bộ nhất có thể. Đồng thời, hai dây chuyền đóng gói khác cùng khởi động lúc 7 giờ, dây thứ nhất cứ 14 phút khởi động lại, dây thứ hai cứ 21 phút khởi động lại. Hỏi đóng được nhiều nhất bao nhiêu bộ, và hai dây chuyền cùng khởi động lại lần tiếp theo lúc mấy giờ?
2
Đề nói "chia đều", "nhiều bộ nhất" nên dùng $ƯCLN(56,84)$ . $56 = 2^3 \times 7$ , $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ . $ƯCLN(56,84) = 2^2 \times 7 = 28$ . Đóng được nhiều nhất 28 bộ.
Đề nói "chia đều", "nhiều bộ nhất" nên dùng $ƯCLN(56,84)$. $56 = 2^3 \times 7$, $84 = 2^2 \times 3 \times 7$. $ƯCLN(56,84) = 2^2 \times 7 = 28$. Đóng được nhiều nhất 28 bộ.
3
Đề nói "cùng khởi động lại lần tiếp theo" nên dùng $BCNN(14,21)$ . $14 = 2 \times 7$ , $21 = 3 \times 7$ . $BCNN(14,21) = 2 \times 3 \times 7 = 42$ . Sau 42 phút kể từ 7 giờ, tức lúc 7 giờ 42 phút, hai dây chuyền cùng khởi động lại.
Đề nói "cùng khởi động lại lần tiếp theo" nên dùng $BCNN(14,21)$. $14 = 2 \times 7$, $21 = 3 \times 7$. $BCNN(14,21) = 2 \times 3 \times 7 = 42$. Sau 42 phút kể từ 7 giờ, tức lúc 7 giờ 42 phút, hai dây chuyền cùng khởi động lại.
4
Xưởng đóng được nhiều nhất 28 bộ, và hai dây chuyền cùng khởi động lại lần tiếp theo vào lúc 7 giờ 42 phút.

Luyện có hướng dẫn

Luyện độc lập

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất khi ôn tập: đọc lướt đề rồi áp dụng nhầm công cụ, ví dụ thấy hai số là vội tính $BCNN$ dù đề đang hỏi chia đều. Luôn dừng lại đọc kĩ câu hỏi cuối cùng của đề trước khi chọn $ƯCLN$ hay $BCNN$ , đừng chỉ nhìn vào con số. Ví dụ cùng cặp số 56 và 84: nếu đề hỏi "chia đều thành nhiều bộ nhất" mà lại tính $BCNN(56,84) = 168$ thay vì $ƯCLN(56,84) = 28$ , đáp số 168 sẽ lớn hơn cả hai số ban đầu — một dấu hiệu chắc chắn cho thấy đã nhầm công cụ, vì số bộ chia ra không thể nhiều hơn số đồ vật đang có.

Sai lầm thường gặp nhất khi ôn tập: đọc lướt đề rồi áp dụng nhầm công cụ, ví dụ thấy hai số là vội tính $BCNN$ dù đề đang hỏi chia đều. Luôn dừng lại đọc kĩ câu hỏi cuối cùng của đề trước khi chọn $ƯCLN$ hay $BCNN$, đừng chỉ nhìn vào con số. Ví dụ cùng cặp số 56 và 84: nếu đề hỏi "chia đều thành nhiều bộ nhất" mà lại tính $BCNN(56,84) = 168$ thay vì $ƯCLN(56,84) = 28$, đáp số 168 sẽ lớn hơn cả hai số ban đầu — một dấu hiệu chắc chắn cho thấy đã nhầm công cụ, vì số bộ chia ra không thể nhiều hơn số đồ vật đang có.

Ghi nhớ

Cả khóa học xoay quanh hai công cụ đối xứng nhau: $ƯCLN$ (thừa số chung, mũ nhỏ nhất — dùng cho chia đều nhiều nhất) và $BCNN$ (thừa số chung và riêng, mũ lớn nhất — dùng cho cùng xảy ra lần tiếp theo). Nhận diện đúng từ khóa trong đề là bước quyết định trước khi bắt tay vào tính toán.

Khóa học tiếp theo mở rộng tập số tự nhiên sang tập số nguyên, nơi các phép tính có thêm dấu âm.