Bài học

Tìm ƯCLN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tìm được $ƯCLN$ của hai hay ba số bằng cách phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố, và dùng $ƯCLN$ để rút gọn một phân số về dạng tối giản.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã biết $ƯCLN(a,b)$ là số lớn nhất trong tập ước chung của $a$ và $b$ . Em cũng đã học cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố ở chương trước, ví dụ $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ .

Bài trước em đã biết $ƯCLN(a,b)$ là số lớn nhất trong tập ước chung của $a$ và $b$. Em cũng đã học cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố ở chương trước, ví dụ $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.

Khởi động

Muốn tìm $ƯCLN(180,240)$ bằng cách liệt kê hết ước của 180 rồi hết ước của 240 thì rất mất công — 180 có tới 18 ước. Có cách nào nhanh hơn không, dựa vào việc phân tích ra thừa số nguyên tố mà em vừa học?

Kiến thức trọng tâm

Muốn tìm $ƯCLN$ của hai hay nhiều số bằng phân tích ra thừa số nguyên tố, em làm theo quy trình: phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố; chọn ra các thừa số nguyên tố CHUNG (có mặt ở tất cả các số); với mỗi thừa số chung đó, lấy số mũ NHỎ NHẤT trong các số mũ đã xuất hiện; rồi nhân các thừa số đã chọn lại với nhau.

Ví dụ

Tìm

ƯCLN(36,60)

bằng phân tích nhân tửTìm $ƯCLN(36,60)$ bằng phân tích nhân tử

1
Tìm $ƯCLN(36,60)$ bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố.
Tìm $ƯCLN(36,60)$ bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố.
2
$36 = 2^2 \times 3^2$ . $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ .
$36 = 2^2 \times 3^2$. $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.
3
Thừa số chung của 36 và 60 là 2 và 3 (5 chỉ có ở 60 nên bỏ qua). Với 2: số mũ nhỏ nhất giữa $2^2$ và $2^2$ là 2. Với 3: số mũ nhỏ nhất giữa $3^2$ và $3^1$ là 1.
Thừa số chung của 36 và 60 là 2 và 3 (5 chỉ có ở 60 nên bỏ qua). Với 2: số mũ nhỏ nhất giữa $2^2$ và $2^2$ là 2. Với 3: số mũ nhỏ nhất giữa $3^2$ và $3^1$ là 1.
4
$ƯCLN(36,60) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$ — đúng bằng kết quả bài trước tìm bằng liệt kê.
$ƯCLN(36,60) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$ — đúng bằng kết quả bài trước tìm bằng liệt kê.

Ví dụ

Tìm

ƯCLN

của ba số

48, 60, 72

Tìm $ƯCLN$ của ba số $48, 60, 72$

1
Tìm $ƯCLN(48,60,72)$ .
Tìm $ƯCLN(48,60,72)$.
2
$48 = 2^4 \times 3$ . $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ . $72 = 2^3 \times 3^2$ .
$48 = 2^4 \times 3$. $60 = 2^2 \times 3 \times 5$. $72 = 2^3 \times 3^2$.
3
Cả ba số đều có thừa số 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 trong ba số là $2^2$ (ở số 60); số mũ nhỏ nhất của 3 là $3^1$ (ở số 48 và 60).
Cả ba số đều có thừa số 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 trong ba số là $2^2$ (ở số 60); số mũ nhỏ nhất của 3 là $3^1$ (ở số 48 và 60).
4
$ƯCLN(48,60,72) = 2^2 \times 3 = 12$ .
$ƯCLN(48,60,72) = 2^2 \times 3 = 12$.

Ứng dụng — rút gọn phân số

Rút gọn một phân số về dạng tối giản chính là chia cả tử và mẫu cho $ƯCLN$ của chúng. Đây là lí do $ƯCLN$ xuất hiện lại ở mọi bài toán liên quan đến phân số trong các chương sau.

Ví dụ

Rút gọn

\frac{36}{60}

Rút gọn $\frac{36}{60}$

1
Rút gọn phân số $\frac{36}{60}$ về dạng tối giản.
Rút gọn phân số $\frac{36}{60}$ về dạng tối giản.
2
Theo ví dụ trên, $ƯCLN(36,60) = 12$ .
Theo ví dụ trên, $ƯCLN(36,60) = 12$.
3
$\frac{36}{60} = \frac{36 : 12}{60 : 12} = \frac{3}{5}$ .
$\frac{36}{60} = \frac{36 : 12}{60 : 12} = \frac{3}{5}$.
4
$\frac{36}{60} = \frac{3}{5}$ , và $\frac{3}{5}$ là phân số tối giản vì $ƯCLN(3,5) = 1$ .
$\frac{36}{60} = \frac{3}{5}$, và $\frac{3}{5}$ là phân số tối giản vì $ƯCLN(3,5) = 1$.

\frac{36}{60}

sau khi chia cả tử và mẫu cho

ƯCLN(36,60)=12

trở thành

\frac{3}{5}

.$\frac{36}{60}$ sau khi chia cả tử và mẫu cho $ƯCLN(36,60)=12$ trở thành $\frac{3}{5}$.

Luyện có hướng dẫn

Luyện độc lập

Ví dụ

Luyện thêm — kiểm tra kết quả bằng thương số

1
Tìm $ƯCLN(108,144)$ bằng phân tích ra thừa số nguyên tố, rồi kiểm tra lại kết quả.
Tìm $ƯCLN(108,144)$ bằng phân tích ra thừa số nguyên tố, rồi kiểm tra lại kết quả.
2
$108 = 2^2 \times 3^3$ . $144 = 2^4 \times 3^2$ .
$108 = 2^2 \times 3^3$. $144 = 2^4 \times 3^2$.
3
Số mũ nhỏ nhất của 2 giữa $2^2$ và $2^4$ là 2. Số mũ nhỏ nhất của 3 giữa $3^3$ và $3^2$ là 2.
Số mũ nhỏ nhất của 2 giữa $2^2$ và $2^4$ là 2. Số mũ nhỏ nhất của 3 giữa $3^3$ và $3^2$ là 2.
4
$ƯCLN(108,144) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$ .
$ƯCLN(108,144) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
5
Chia cả hai số cho 36: $108 : 36 = 3$ và $144 : 36 = 4$ . Vì $ƯCLN(3,4) = 1$ (3 và 4 không còn ước chung nào khác 1), hai thương này không thể rút gọn thêm — điều đó xác nhận 36 đúng là ước chung LỚN NHẤT, không phải một ước chung nhỏ hơn còn rút gọn được nữa.
Chia cả hai số cho 36: $108 : 36 = 3$ và $144 : 36 = 4$. Vì $ƯCLN(3,4) = 1$ (3 và 4 không còn ước chung nào khác 1), hai thương này không thể rút gọn thêm — điều đó xác nhận 36 đúng là ước chung LỚN NHẤT, không phải một ước chung nhỏ hơn còn rút gọn được nữa.

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: khi chọn số mũ, học sinh dễ lấy nhầm số mũ LỚN NHẤT thay vì nhỏ nhất — đó lại là quy tắc của $BCNN$ ở chương sau, không phải $ƯCLN$ . Ghi nhớ: $ƯCLN$ chỉ lấy thừa số CHUNG với số mũ NHỎ nhất; $BCNN$ mới lấy cả thừa số riêng với số mũ lớn nhất. Ví dụ nếu nhầm lấy số mũ lớn nhất trong $ƯCLN(36,60)$ ( $36=2^2\times3^2$ , $60=2^2\times3\times5$ ), em sẽ tính ra $2^2 \times 3^2 = 36$ — nhưng 36 không phải ước của 60 (vì $60 : 36$ không phải số nguyên), nên đáp số đó chắc chắn sai; đáp số đúng vẫn là 12 như đã tính ở trên.

Sai lầm thường gặp: khi chọn số mũ, học sinh dễ lấy nhầm số mũ LỚN NHẤT thay vì nhỏ nhất — đó lại là quy tắc của $BCNN$ ở chương sau, không phải $ƯCLN$. Ghi nhớ: $ƯCLN$ chỉ lấy thừa số CHUNG với số mũ NHỎ nhất; $BCNN$ mới lấy cả thừa số riêng với số mũ lớn nhất. Ví dụ nếu nhầm lấy số mũ lớn nhất trong $ƯCLN(36,60)$ ($36=2^2\times3^2$, $60=2^2\times3\times5$), em sẽ tính ra $2^2 \times 3^2 = 36$ — nhưng 36 không phải ước của 60 (vì $60 : 36$ không phải số nguyên), nên đáp số đó chắc chắn sai; đáp số đúng vẫn là 12 như đã tính ở trên.

Một câu hỏi em có thể tự đặt ra: vì sao lại lấy số mũ NHỎ nhất chứ không phải lớn nhất? Xét lại ví dụ $36 = 2^2 \times 3^2$ và $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ . Nếu lấy số mũ 2 của thừa số 3 (theo số 36) thay vì số mũ 1, ta được $2^2 \times 3^2 = 36$ — nhưng 36 không phải là ước của 60, vì 60 chỉ có đúng một lần thừa số 3 nên không đủ chia hết cho $3^2$ . Chỉ khi lấy số mũ nhỏ nhất, kết quả mới chắc chắn là ước của TẤT CẢ các số ban đầu — đó là lý do quy tắc luôn chọn số mũ nhỏ nhất chứ không phải một lựa chọn tùy ý.

Một câu hỏi em có thể tự đặt ra: vì sao lại lấy số mũ NHỎ nhất chứ không phải lớn nhất? Xét lại ví dụ $36 = 2^2 \times 3^2$ và $60 = 2^2 \times 3 \times 5$. Nếu lấy số mũ 2 của thừa số 3 (theo số 36) thay vì số mũ 1, ta được $2^2 \times 3^2 = 36$ — nhưng 36 không phải là ước của 60, vì 60 chỉ có đúng một lần thừa số 3 nên không đủ chia hết cho $3^2$. Chỉ khi lấy số mũ nhỏ nhất, kết quả mới chắc chắn là ước của TẤT CẢ các số ban đầu — đó là lý do quy tắc luôn chọn số mũ nhỏ nhất chứ không phải một lựa chọn tùy ý.

Ghi nhớ

So với bài trước, hai cách tìm $ƯCLN$ luôn cho cùng một kết quả — liệt kê chỉ chậm hơn khi số lớn, chứ không sai. Khi làm bài kiểm tra với số nhỏ (dưới 20), liệt kê vẫn là cách nhanh và ít nhầm lẫn nhất; khi số lớn hơn hoặc đề cho ba số trở lên, phân tích thừa số nguyên tố mới thực sự tiết kiệm thời gian. Em có thể tự chọn cách phù hợp với từng bài, miễn là hiểu rõ vì sao cả hai đều đúng.

Tìm $ƯCLN$ bằng phân tích ra thừa số nguyên tố: phân tích từng số, giữ thừa số chung, mỗi thừa số lấy số mũ nhỏ nhất, rồi nhân lại. Cách này nhanh hơn liệt kê rất nhiều khi số đã cho lớn, và là công cụ chính để rút gọn phân số về dạng tối giản. So với bài trước, hai cách tìm $ƯCLN$ luôn cho cùng một kết quả — liệt kê chỉ chậm hơn khi số lớn, chứ không sai. Khi làm bài kiểm tra với số nhỏ (dưới 20), liệt kê vẫn là cách nhanh và ít nhầm lẫn nhất; khi số lớn hơn hoặc đề cho ba số trở lên, phân tích thừa số nguyên tố mới thực sự tiết kiệm thời gian. Em có thể tự chọn cách phù hợp với từng bài, miễn là hiểu rõ vì sao cả hai đều đúng.

Bài tiếp theo dùng chính công thức này để giải các bài toán thực tế: chia đều đồ vật thành nhiều phần bằng nhau nhất có thể.