Bài học

Tìm BCNN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tìm được $BCNN$ của hai hay ba số bằng cách phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố, và dùng $BCNN$ để quy đồng mẫu số hai phân số.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã biết $BCNN(a,b)$ là số nhỏ nhất khác 0 trong tập bội chung của $a$ và $b$ . Em cũng vừa học cách tìm $ƯCLN$ bằng phân tích thừa số nguyên tố — $BCNN$ dùng đúng cách phân tích đó, chỉ khác ở bước chọn thừa số và số mũ.

Bài trước em đã biết $BCNN(a,b)$ là số nhỏ nhất khác 0 trong tập bội chung của $a$ và $b$. Em cũng vừa học cách tìm $ƯCLN$ bằng phân tích thừa số nguyên tố — $BCNN$ dùng đúng cách phân tích đó, chỉ khác ở bước chọn thừa số và số mũ.

Khởi động

Muốn tìm $BCNN(18,24)$ bằng liệt kê, em phải liệt kê bội của 18 và của 24 cho tới tận số 72 mới gặp số chung đầu tiên — khá dài. Dựa vào cách phân tích thừa số nguyên tố em vừa học ở chương $ƯCLN$ , có cách nào tìm $BCNN$ nhanh hơn không?

Kiến thức trọng tâm

Chú ý điểm khác với $ƯCLN$ : $ƯCLN$ chỉ lấy thừa số CHUNG với số mũ NHỎ nhất, còn $BCNN$ lấy CẢ thừa số chung LẪN thừa số riêng, với số mũ LỚN nhất.

Muốn tìm $BCNN$ bằng phân tích ra thừa số nguyên tố, em làm theo quy trình: phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố; chọn ra TẤT CẢ các thừa số nguyên tố CHUNG và RIÊNG (mọi thừa số xuất hiện ở ít nhất một số); với mỗi thừa số đó, lấy số mũ LỚN NHẤT trong các số mũ đã xuất hiện; rồi nhân các thừa số đã chọn lại với nhau. Chú ý điểm khác với $ƯCLN$: $ƯCLN$ chỉ lấy thừa số CHUNG với số mũ NHỎ nhất, còn $BCNN$ lấy CẢ thừa số chung LẪN thừa số riêng, với số mũ LỚN nhất.

Vì sao phải lấy CẢ thừa số riêng chứ không chỉ thừa số chung? Xét lại $18 = 2 \times 3^2$ và $24 = 2^3 \times 3$ . Nếu chỉ nhân các thừa số chung (2 và 3) với số mũ lớn nhất mà bỏ qua phần riêng, ta vẫn được đúng $2^3 \times 3^2 = 72$ trong ví dụ này — nhưng nếu một trong hai số có thừa số mà số kia hoàn toàn không có (như 5 trong $BCNN(4,6,10)$ , chỉ 10 mới có thừa số 5), bỏ qua nó sẽ khiến kết quả không còn là bội của số chứa thừa số riêng đó nữa. Kết quả $BCNN$ phải là bội của TẤT CẢ các số ban đầu, nên phải giữ đủ mọi thừa số nguyên tố đã xuất hiện, dù chung hay riêng.

Vì sao phải lấy CẢ thừa số riêng chứ không chỉ thừa số chung? Xét lại $18 = 2 \times 3^2$ và $24 = 2^3 \times 3$. Nếu chỉ nhân các thừa số chung (2 và 3) với số mũ lớn nhất mà bỏ qua phần riêng, ta vẫn được đúng $2^3 \times 3^2 = 72$ trong ví dụ này — nhưng nếu một trong hai số có thừa số mà số kia hoàn toàn không có (như 5 trong $BCNN(4,6,10)$, chỉ 10 mới có thừa số 5), bỏ qua nó sẽ khiến kết quả không còn là bội của số chứa thừa số riêng đó nữa. Kết quả $BCNN$ phải là bội của TẤT CẢ các số ban đầu, nên phải giữ đủ mọi thừa số nguyên tố đã xuất hiện, dù chung hay riêng.

Ví dụ

Tìm

BCNN(18,24)

bằng phân tích nhân tửTìm $BCNN(18,24)$ bằng phân tích nhân tử

1
Tìm $BCNN(18,24)$ bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố.
Tìm $BCNN(18,24)$ bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố.
2
$18 = 2 \times 3^2$ . $24 = 2^3 \times 3$ .
$18 = 2 \times 3^2$. $24 = 2^3 \times 3$.
3
Cả hai thừa số 2 và 3 đều xuất hiện ở ít nhất một số nên đều được giữ lại. Với 2: số mũ lớn nhất giữa $2^1$ và $2^3$ là 3. Với 3: số mũ lớn nhất giữa $3^2$ và $3^1$ là 2.
Cả hai thừa số 2 và 3 đều xuất hiện ở ít nhất một số nên đều được giữ lại. Với 2: số mũ lớn nhất giữa $2^1$ và $2^3$ là 3. Với 3: số mũ lớn nhất giữa $3^2$ và $3^1$ là 2.
4
$BCNN(18,24) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$ .
$BCNN(18,24) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$.

Ví dụ

Tìm

BCNN

của ba số

4, 6, 10

Tìm $BCNN$ của ba số $4, 6, 10$

1
Tìm $BCNN(4,6,10)$ .
Tìm $BCNN(4,6,10)$.
2
$4 = 2^2$ . $6 = 2 \times 3$ . $10 = 2 \times 5$ .
$4 = 2^2$. $6 = 2 \times 3$. $10 = 2 \times 5$.
3
Thừa số xuất hiện: 2, 3, 5. Số mũ lớn nhất của 2 là $2^2$ (ở số 4); của 3 là $3^1$ ; của 5 là $5^1$ .
Thừa số xuất hiện: 2, 3, 5. Số mũ lớn nhất của 2 là $2^2$ (ở số 4); của 3 là $3^1$; của 5 là $5^1$.
4
$BCNN(4,6,10) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$ .
$BCNN(4,6,10) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.

Ứng dụng — quy đồng mẫu số

Quy đồng mẫu số hai phân số nghĩa là đưa chúng về cùng một mẫu số chung, và mẫu số chung NHỎ NHẤT chính là $BCNN$ của hai mẫu số ban đầu — dùng mẫu số chung nhỏ nhất giúp các số trong phép tính sau đó gọn hơn.

Ví dụ

Quy đồng mẫu số

\frac{1}{4}

và

\frac{1}{6}

Quy đồng mẫu số $\frac{1}{4}$ và $\frac{1}{6}$

1
Quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{1}{4}$ và $\frac{1}{6}$ .
Quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{1}{4}$ và $\frac{1}{6}$.
2
$4 = 2^2$ , $6 = 2 \times 3$ . $BCNN(4,6) = 2^2 \times 3 = 12$ .
$4 = 2^2$, $6 = 2 \times 3$. $BCNN(4,6) = 2^2 \times 3 = 12$.
3
Mẫu 4 cần nhân với $12 : 4 = 3$ để thành 12, nên $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$ . Mẫu 6 cần nhân với $12 : 6 = 2$ , nên $\frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$ .
Mẫu 4 cần nhân với $12 : 4 = 3$ để thành 12, nên $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$. Mẫu 6 cần nhân với $12 : 6 = 2$, nên $\frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$.
4
$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ và $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$ — hai phân số nay đã cùng mẫu số 12.
$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ và $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$ — hai phân số nay đã cùng mẫu số 12.

Luyện có hướng dẫn

Luyện độc lập

Ví dụ

Luyện thêm — kiểm tra kết quả bằng thương số

1
Tìm $BCNN(16,20)$ bằng phân tích ra thừa số nguyên tố, rồi kiểm tra lại kết quả.
Tìm $BCNN(16,20)$ bằng phân tích ra thừa số nguyên tố, rồi kiểm tra lại kết quả.
2
$16 = 2^4$ . $20 = 2^2 \times 5$ .
$16 = 2^4$. $20 = 2^2 \times 5$.
3
Thừa số xuất hiện: 2 và 5. Số mũ lớn nhất của 2 giữa $2^4$ và $2^2$ là 4. Thừa số 5 chỉ có ở 20 nên vẫn giữ nguyên số mũ 1.
Thừa số xuất hiện: 2 và 5. Số mũ lớn nhất của 2 giữa $2^4$ và $2^2$ là 4. Thừa số 5 chỉ có ở 20 nên vẫn giữ nguyên số mũ 1.
4
$BCNN(16,20) = 2^4 \times 5 = 16 \times 5 = 80$ .
$BCNN(16,20) = 2^4 \times 5 = 16 \times 5 = 80$.
5
$80 : 16 = 5$ và $80 : 20 = 4$ , cả hai đều là số nguyên nên 80 đúng là bội chung của 16 và 20; đồng thời không có bội chung nào nhỏ hơn 80 (bước phân tích thừa số nguyên tố đã đảm bảo điều này), nên 80 chính là $BCNN(16,20)$ .
$80 : 16 = 5$ và $80 : 20 = 4$, cả hai đều là số nguyên nên 80 đúng là bội chung của 16 và 20; đồng thời không có bội chung nào nhỏ hơn 80 (bước phân tích thừa số nguyên tố đã đảm bảo điều này), nên 80 chính là $BCNN(16,20)$.

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: nhầm quy tắc $ƯCLN$ (chỉ thừa số chung, mũ nhỏ nhất) với quy tắc $BCNN$ (thừa số chung và riêng, mũ lớn nhất) — hai quy tắc chỉ khác nhau vài chữ nên rất dễ lẫn khi làm bài nhanh. Trước khi tính, hãy tự hỏi: đề cần số CHIA HẾT các số đã cho ( $ƯCLN$ ) hay số ĐƯỢC CHIA HẾT bởi các số đã cho ( $BCNN$ )? Ví dụ nếu nhầm bỏ sót thừa số riêng khi tính $BCNN(18,24)$ ( $18=2\times3^2$ , $24=2^3\times3$ ) và chỉ giữ thừa số chung 2, 3 với mũ nhỏ nhất như quy tắc $ƯCLN$ , em sẽ tính nhầm ra $2 \times 3 = 6$ — nhưng 6 nhỏ hơn cả 18 lẫn 24 nên không thể là bội của chúng, một dấu hiệu chắc chắn cho thấy đã áp dụng sai quy tắc.

Sai lầm thường gặp: nhầm quy tắc $ƯCLN$ (chỉ thừa số chung, mũ nhỏ nhất) với quy tắc $BCNN$ (thừa số chung và riêng, mũ lớn nhất) — hai quy tắc chỉ khác nhau vài chữ nên rất dễ lẫn khi làm bài nhanh. Trước khi tính, hãy tự hỏi: đề cần số CHIA HẾT các số đã cho ($ƯCLN$) hay số ĐƯỢC CHIA HẾT bởi các số đã cho ($BCNN$)? Ví dụ nếu nhầm bỏ sót thừa số riêng khi tính $BCNN(18,24)$ ($18=2\times3^2$, $24=2^3\times3$) và chỉ giữ thừa số chung 2, 3 với mũ nhỏ nhất như quy tắc $ƯCLN$, em sẽ tính nhầm ra $2 \times 3 = 6$ — nhưng 6 nhỏ hơn cả 18 lẫn 24 nên không thể là bội của chúng, một dấu hiệu chắc chắn cho thấy đã áp dụng sai quy tắc.

Ghi nhớ

Tìm $BCNN$ bằng phân tích ra thừa số nguyên tố: phân tích từng số, giữ thừa số chung VÀ riêng, mỗi thừa số lấy số mũ lớn nhất, rồi nhân lại. $BCNN$ của hai mẫu số cũng chính là mẫu số chung nhỏ nhất khi quy đồng phân số.

Bài tiếp theo dùng $BCNN$ để giải các bài toán chu kỳ: khi nào nhiều hiện tượng lặp lại cùng xảy ra lần tiếp theo.