Bài học

Tìm chiều cao hình chóp đều bằng định lý Pythagore

Mục tiêu bài học

Sau bài này em tìm được chiều cao thật $SO$ của hình chóp đều — đoạn từ đỉnh chóp vuông góc xuống tâm đáy — bằng định lý Pythagore, khi đề chỉ cho trung đoạn hoặc cạnh bên chứ không cho thẳng chiều cao.

Kiến thức cần nhớ — cầu nối cùng lớp

Trước khi vào bài

Em cần dùng lại định lý Pythagore đã học ở khóa Định lý Pythagore lớp 8 (cùng năm học, một cầu nối cùng lớp chứ không phải kiến thức mới): trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Em cũng cần nhớ hai đoạn đã giới thiệu ở bài Nhận biết hình chóp tứ giác đều: $OM$ (từ tâm đáy tới trung điểm một cạnh đáy) và $OA$ (từ tâm đáy tới một đỉnh đáy, tức nửa đường chéo).

Khởi động

Hai bài trước tính $S_{xq}$ và $S_{tp}$ mà không cần biết chiều cao thật của hình chóp — trung đoạn là đủ. Nhưng nếu ai đó hỏi khối chóp này "cao bao nhiêu" theo đúng nghĩa từ đỉnh thẳng xuống mặt đất, trung đoạn không trả lời được câu đó, vì trung đoạn nằm nghiêng trên một mặt bên chứ không đâm thẳng xuống đáy. Cần một đại lượng khác — chiều cao thật $SO$ — và bài này chỉ ra cách tìm nó.

Kiến thức trọng tâm

Chiều cao của hình chóp đều là đoạn $SO$ nối đỉnh chóp $S$ với tâm đáy $O$ , vuông góc với toàn bộ mặt phẳng đáy. Vì vuông góc với cả mặt phẳng đáy, $SO$ vuông góc với MỌI đường thẳng nằm trong đáy đi qua $O$ — trong đó có đoạn $OM$ (tới trung điểm một cạnh đáy) và đoạn $OA$ (tới một đỉnh đáy). Đây là chỗ hai đại lượng tưởng chỉ để "nhận biết hình" ở bài trước quay lại phục vụ tính toán.

Chiều cao của hình chóp đều là đoạn $SO$ nối đỉnh chóp $S$ với tâm đáy $O$, vuông góc với toàn bộ mặt phẳng đáy. Vì vuông góc với cả mặt phẳng đáy, $SO$ vuông góc với MỌI đường thẳng nằm trong đáy đi qua $O$ — trong đó có đoạn $OM$ (tới trung điểm một cạnh đáy) và đoạn $OA$ (tới một đỉnh đáy). Đây là chỗ hai đại lượng tưởng chỉ để "nhận biết hình" ở bài trước quay lại phục vụ tính toán.

Vì $SO \perp OM$ , tam giác $SOM$ vuông tại $O$ ; cạnh huyền của nó là trung đoạn $SM$ (đường cao một mặt bên). Theo Pythagore: $SO^2=SM^2-OM^2$ . Cách này dùng khi đề cho trung đoạn.

Vì $SO \perp OM$, tam giác $SOM$ vuông tại $O$; cạnh huyền của nó là trung đoạn $SM$ (đường cao một mặt bên). Theo Pythagore: $SO^2=SM^2-OM^2$. Cách này dùng khi đề cho trung đoạn.

Tương tự, vì $SO \perp OA$ , tam giác $SOA$ vuông tại $O$ ; cạnh huyền của nó là cạnh bên $SA$ . Theo Pythagore: $SO^2=SA^2-OA^2$ . Cách này dùng khi đề cho cạnh bên và nửa đường chéo thay vì trung đoạn. Hai công thức chỉ khác nhau ở việc dùng cặp đoạn nào — trung đoạn với $OM$ , hay cạnh bên với $OA$ — tuyệt đối không được trộn lẫn, ví dụ lấy $SA$ ghép với $OM$ , vì $SA$ không phải cạnh huyền của tam giác chứa $OM$ .

Tương tự, vì $SO \perp OA$, tam giác $SOA$ vuông tại $O$; cạnh huyền của nó là cạnh bên $SA$. Theo Pythagore: $SO^2=SA^2-OA^2$. Cách này dùng khi đề cho cạnh bên và nửa đường chéo thay vì trung đoạn. Hai công thức chỉ khác nhau ở việc dùng cặp đoạn nào — trung đoạn với $OM$, hay cạnh bên với $OA$ — tuyệt đối không được trộn lẫn, ví dụ lấy $SA$ ghép với $OM$, vì $SA$ không phải cạnh huyền của tam giác chứa $OM$.

Lời giải có hình

Tam giác vuông SOM — chiều cao từ trung đoạn

Bước 1

OM nối tâm đáy O tới trung điểm M của một cạnh đáy — một nửa cạnh đáy.

Lời giải có hình

Tam giác vuông SOA — chiều cao từ cạnh bên

Bước 1

OA nối tâm đáy O tới đỉnh A của đáy — nửa đường chéo hình vuông.

Không được trộn trung đoạn với OA hay cạnh bên với OM — mỗi cặp thuộc một tam giác vuông riêng.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Chiều cao từ trung đoạn

1
Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=6$ cm, trung đoạn $d=5$ cm (như hai bài Sxq, Stp trước). Tính chiều cao $SO$ .
Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=6$ cm, trung đoạn $d=5$ cm (như hai bài Sxq, Stp trước). Tính chiều cao $SO$.
2
Vì đáy là hình vuông cạnh 6 cm, $OM$ (từ tâm tới trung điểm một cạnh) bằng nửa cạnh đáy: $OM=\dfrac{6}{2}=3$ cm.
Vì đáy là hình vuông cạnh 6 cm, $OM$ (từ tâm tới trung điểm một cạnh) bằng nửa cạnh đáy: $OM=\dfrac{6}{2}=3$ cm.
3
Tam giác $SOM$ vuông tại $O$ , cạnh huyền $SM=d=5$ cm: $SO^2=5^2-3^2=16$ , suy ra $SO=4$ cm.
Tam giác $SOM$ vuông tại $O$, cạnh huyền $SM=d=5$ cm: $SO^2=5^2-3^2=16$, suy ra $SO=4$ cm.
4
Đáy là hình vuông cạnh $a=6$ cm nên $OM=\dfrac{a}{2}=3$ cm (khoảng cách từ tâm đáy tới trung điểm một cạnh đáy). (1)

$SO$ vuông góc với mặt đáy tại $O$ nên $SO \perp OM$ , tức tam giác $SOM$ vuông tại $O$ với cạnh huyền $SM=d=5$ cm. (2)

Theo định lý Pythagore (đã học ở khóa Định lý Pythagore lớp 8): $SO^2=SM^2-OM^2$ . (3)

Thay (1) và $SM=5$ cm vào (3): $SO^2=5^2-3^2=25-9=16$ , suy ra $SO=4$ cm.

Vậy chiều cao của hình chóp là $SO=4$ cm.
Đáy là hình vuông cạnh $a=6$ cm nên $OM=\dfrac{a}{2}=3$ cm (khoảng cách từ tâm đáy tới trung điểm một cạnh đáy). (1) $SO$ vuông góc với mặt đáy tại $O$ nên $SO \perp OM$, tức tam giác $SOM$ vuông tại $O$ với cạnh huyền $SM=d=5$ cm. (2) Theo định lý Pythagore (đã học ở khóa Định lý Pythagore lớp 8): $SO^2=SM^2-OM^2$. (3) Thay (1) và $SM=5$ cm vào (3): $SO^2=5^2-3^2=25-9=16$, suy ra $SO=4$ cm. Vậy chiều cao của hình chóp là $SO=4$ cm.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Chiều cao từ cạnh bên và nửa đường chéo, dạng thi

1
Hình chóp tứ giác đều có nửa đường chéo đáy $OA=4$ cm, cạnh bên $SA=5$ cm. Tính chiều cao $SO$ .
Hình chóp tứ giác đều có nửa đường chéo đáy $OA=4$ cm, cạnh bên $SA=5$ cm. Tính chiều cao $SO$.
2
Đề cho cạnh bên $SA$ , không cho trung đoạn — phải dùng tam giác vuông $SOA$ (không phải $SOM$ ).
Đề cho cạnh bên $SA$, không cho trung đoạn — phải dùng tam giác vuông $SOA$ (không phải $SOM$).
3
Tam giác $SOA$ vuông tại $O$ , cạnh huyền $SA=5$ cm: $SO^2=5^2-4^2=9$ , suy ra $SO=3$ cm.
Tam giác $SOA$ vuông tại $O$, cạnh huyền $SA=5$ cm: $SO^2=5^2-4^2=9$, suy ra $SO=3$ cm.
4
Đề cho cạnh bên $SA=5$ cm và nửa đường chéo đáy $OA=4$ cm, nên tam giác cần dùng là $SOA$ , không phải $SOM$ . (1)

$SO$ vuông góc với mặt đáy tại $O$ nên $SO \perp OA$ , tức tam giác $SOA$ vuông tại $O$ với cạnh huyền $SA$ . (2)

Theo định lý Pythagore: $SO^2=SA^2-OA^2$ . (3)

Thay $SA=5$ cm và $OA=4$ cm vào (3): $SO^2=5^2-4^2=25-16=9$ , suy ra $SO=3$ cm.

Vậy chiều cao của hình chóp là $SO=3$ cm.
Đề cho cạnh bên $SA=5$ cm và nửa đường chéo đáy $OA=4$ cm, nên tam giác cần dùng là $SOA$, không phải $SOM$. (1) $SO$ vuông góc với mặt đáy tại $O$ nên $SO \perp OA$, tức tam giác $SOA$ vuông tại $O$ với cạnh huyền $SA$. (2) Theo định lý Pythagore: $SO^2=SA^2-OA^2$. (3) Thay $SA=5$ cm và $OA=4$ cm vào (3): $SO^2=5^2-4^2=25-16=9$, suy ra $SO=3$ cm. Vậy chiều cao của hình chóp là $SO=3$ cm.

Sai lầm phổ biến

Lỗi nặng nhất là trộn hai tam giác vuông — lấy cạnh bên $SA$ ghép với $OM$ , hoặc trung đoạn $SM$ ghép với $OA$ . Hai cặp này không cùng một tam giác vuông nên phép trừ bình phương sẽ cho một con số vô nghĩa. Luôn xác định trước: đề cho trung đoạn thì dùng $OM$ , đề cho cạnh bên thì dùng $OA$ . Lỗi thứ hai là quên lấy căn bậc hai ở bước cuối, dừng lại ở $SO^2$ rồi coi đó là chiều cao.

Lỗi nặng nhất là trộn hai tam giác vuông — lấy cạnh bên $SA$ ghép với $OM$, hoặc trung đoạn $SM$ ghép với $OA$. Hai cặp này không cùng một tam giác vuông nên phép trừ bình phương sẽ cho một con số vô nghĩa. Luôn xác định trước: đề cho trung đoạn thì dùng $OM$, đề cho cạnh bên thì dùng $OA$. Lỗi thứ hai là quên lấy căn bậc hai ở bước cuối, dừng lại ở $SO^2$ rồi coi đó là chiều cao.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Ghi nhớ

Chiều cao hình chóp đều tìm bằng Pythagore trong một trong hai tam giác vuông tại tâm đáy O: $SOM$ (dùng trung đoạn, cạnh huyền $SM$ ) hoặc $SOA$ (dùng cạnh bên, cạnh huyền $SA$ ) — không bao giờ trộn lẫn hai cặp.

Chiều cao hình chóp đều tìm bằng Pythagore trong một trong hai tam giác vuông tại tâm đáy O: $SOM$ (dùng trung đoạn, cạnh huyền $SM$) hoặc $SOA$ (dùng cạnh bên, cạnh huyền $SA$) — không bao giờ trộn lẫn hai cặp.

Có chiều cao thật trong tay, bài cuối cùng của chương dùng nó cho đúng việc nó sinh ra để làm: tính thể tích, con số đo "sức chứa" bên trong hình chóp mà diện tích không bao giờ đo được.