Bài học

Diện tích xung quanh hình chóp đều — từ hình khai triển đến công thức

Mục tiêu bài học

Sau bài này em tự dựng ra được công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng cách mở phẳng các mặt bên, thay vì học thuộc một công thức có sẵn, và áp dụng đúng công thức đó cho cả hình chóp tam giác đều lẫn tứ giác đều.

Kiến thức cần nhớ

Trước khi vào bài

Em cần nhớ công thức diện tích tam giác: $S=\dfrac{1}{2}\times \text{đáy}\times \text{chiều cao}$ , và khái niệm trung đoạn vừa học ở hai bài trước — đoạn nối đỉnh chóp với trung điểm một cạnh đáy, vuông góc với cạnh đáy đó.

Em cần nhớ công thức diện tích tam giác: $S=\dfrac{1}{2}\times \text{đáy}\times \text{chiều cao}$, và khái niệm trung đoạn vừa học ở hai bài trước — đoạn nối đỉnh chóp với trung điểm một cạnh đáy, vuông góc với cạnh đáy đó.

Khởi động

Trước khi gấp một hộp quà hình chóp bằng bìa cứng, người thợ thủ công cắt bìa thành một miếng phẳng — đáy ở giữa, các mặt bên xòe ra xung quanh — rồi mới gấp từng mặt bên lên và dán lại. Miếng bìa phẳng đó gọi là hình khai triển của hình chóp. Diện tích xung quanh chính là tổng diện tích các mặt bên trên miếng bìa phẳng ấy, trước khi gấp — nên ta hoàn toàn có thể tính nó bằng hình học phẳng, không cần tưởng tượng hình không gian.

Kiến thức trọng tâm

Diện tích xung quanh, ký hiệu $S_{xq}$ , là tổng diện tích của tất cả các mặt bên. Xét hình chóp tứ giác đều cạnh đáy $a$ , trung đoạn $d$ . Mỗi mặt bên là một tam giác cân có cạnh đáy $a$ và chiều cao chính là trung đoạn $d$ (theo định nghĩa trung đoạn ở hai bài trước), nên diện tích một mặt bên là $\dfrac{1}{2}ad$ .

Diện tích xung quanh, ký hiệu $S_{xq}$, là tổng diện tích của tất cả các mặt bên. Xét hình chóp tứ giác đều cạnh đáy $a$, trung đoạn $d$. Mỗi mặt bên là một tam giác cân có cạnh đáy $a$ và chiều cao chính là trung đoạn $d$ (theo định nghĩa trung đoạn ở hai bài trước), nên diện tích một mặt bên là $\dfrac{1}{2}ad$.

Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt bên bằng nhau, nên $S_{xq}=4\times \dfrac{1}{2}ad=\dfrac{1}{2}(4a)d$ . Nhưng $4a$ chính là chu vi đáy — chu vi của hình vuông cạnh $a$ . Viết lại: $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$ , với $C_{đáy}$ là chu vi đáy và $d$ là trung đoạn.

Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt bên bằng nhau, nên $S_{xq}=4\times \dfrac{1}{2}ad=\dfrac{1}{2}(4a)d$. Nhưng $4a$ chính là chu vi đáy — chu vi của hình vuông cạnh $a$. Viết lại: $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$, với $C_{đáy}$ là chu vi đáy và $d$ là trung đoạn.

Vì sao lại có phép chia đôi

Phép chia đôi trong công thức không phải một mẹo cần học thuộc — nó đến thẳng từ công thức diện tích tam giác $\dfrac{1}{2}\times$ đáy $\times$ chiều cao mà em đã quen từ lớp 6. Mỗi mặt bên là một tam giác riêng, mỗi tam giác tự mang phép chia đôi của chính nó; khi cộng $n$ tam giác lại, phép chia đôi vẫn giữ nguyên vì nó xuất hiện ở từng số hạng, nên nhân tử chung $\dfrac{1}{2}$ được đưa ra ngoài đúng một lần.

Lập luận này không hề dùng đến việc đáy có đúng 4 cạnh — nó chỉ dựa vào việc mỗi mặt bên có diện tích $\dfrac{1}{2}\times (\text{cạnh đáy tương ứng})\times d$ rồi cộng tất cả lại. Vì vậy công thức $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$ đúng cho MỌI hình chóp đều, kể cả hình chóp tam giác đều: với đáy tam giác đều cạnh $a$ , chu vi đáy là $3a$ , và $S_{xq}=3\times \dfrac{1}{2}ad=\dfrac{1}{2}(3a)d$ — đúng là nửa chu vi nhân trung đoạn. Không cần nhớ hai công thức riêng cho hai loại đáy, chỉ cần nhớ một công thức và đúng chu vi của đáy đang xét.

Lập luận này không hề dùng đến việc đáy có đúng 4 cạnh — nó chỉ dựa vào việc mỗi mặt bên có diện tích $\dfrac{1}{2}\times (\text{cạnh đáy tương ứng})\times d$ rồi cộng tất cả lại. Vì vậy công thức $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$ đúng cho MỌI hình chóp đều, kể cả hình chóp tam giác đều: với đáy tam giác đều cạnh $a$, chu vi đáy là $3a$, và $S_{xq}=3\times \dfrac{1}{2}ad=\dfrac{1}{2}(3a)d$ — đúng là nửa chu vi nhân trung đoạn. Không cần nhớ hai công thức riêng cho hai loại đáy, chỉ cần nhớ một công thức và đúng chu vi của đáy đang xét.

Lời giải có hình

Hình khai triển của hình chóp tứ giác đều — vì sao Sxq = ½ chu vi đáy × trung đoạn

Bước 1

Vẽ đáy hình vuông ABCD cạnh a — phần ở giữa hình khai triển không thay đổi khi gấp.

Quy trình tính

S_{xq}

áp dụng được cho mọi hình chóp đều, không riêng đáy vuông.Quy trình tính $S_{xq}$ áp dụng được cho mọi hình chóp đều, không riêng đáy vuông.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều

1
Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=6$ cm, trung đoạn $d=5$ cm. Tính diện tích xung quanh.
Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=6$ cm, trung đoạn $d=5$ cm. Tính diện tích xung quanh.
2
Đáy là hình vuông cạnh 6 cm nên $C_{đáy}=4\times 6=24$ cm.
Đáy là hình vuông cạnh 6 cm nên $C_{đáy}=4\times 6=24$ cm.
3
$S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d=\dfrac{1}{2}\times 24\times 5=60\text{ cm}^2$ .
$S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d=\dfrac{1}{2}\times 24\times 5=60\text{ cm}^2$.
4
Đáy hình chóp là hình vuông cạnh $a=6$ cm nên chu vi đáy $C_{đáy}=4a=4\times 6=24$ cm. (1)

Theo công thức diện tích xung quanh hình chóp đều: $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$ . (2)

Thay $C_{đáy}=24$ cm và $d=5$ cm từ (1) vào (2): $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times 24\times 5=60\text{ cm}^2$ .

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp là $60\text{ cm}^2$ .
Đáy hình chóp là hình vuông cạnh $a=6$ cm nên chu vi đáy $C_{đáy}=4a=4\times 6=24$ cm. (1) Theo công thức diện tích xung quanh hình chóp đều: $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$. (2) Thay $C_{đáy}=24$ cm và $d=5$ cm từ (1) vào (2): $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times 24\times 5=60\text{ cm}^2$. Vậy diện tích xung quanh của hình chóp là $60\text{ cm}^2$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Diện tích xung quanh hình chóp tam giác đều, bài toán làm mô hình bằng bìa

1
Bạn Minh làm một mô hình hình chóp tam giác đều bằng bìa cứng, cạnh đáy $a=4$ cm, trung đoạn $d=6$ cm. Diện tích bìa cần dùng cho phần xung quanh (không tính đáy) là bao nhiêu?
Bạn Minh làm một mô hình hình chóp tam giác đều bằng bìa cứng, cạnh đáy $a=4$ cm, trung đoạn $d=6$ cm. Diện tích bìa cần dùng cho phần xung quanh (không tính đáy) là bao nhiêu?
2
Đáy là tam giác đều nên chu vi đáy $C_{đáy}=3\times 4=12$ cm; công thức $S_{xq}$ dùng chung cho mọi hình chóp đều, không riêng đáy vuông.
Đáy là tam giác đều nên chu vi đáy $C_{đáy}=3\times 4=12$ cm; công thức $S_{xq}$ dùng chung cho mọi hình chóp đều, không riêng đáy vuông.
3
$S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times 12\times 6=36\text{ cm}^2$ .
$S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times 12\times 6=36\text{ cm}^2$.
4
Đáy hình chóp là tam giác đều cạnh $a=4$ cm nên chu vi đáy $C_{đáy}=3a=3\times 4=12$ cm. (1)

Công thức $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$ đúng cho mọi hình chóp đều, không phụ thuộc đáy có bao nhiêu cạnh. (2)

Thay $C_{đáy}=12$ cm và $d=6$ cm từ (1) vào (2): $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times 12\times 6=36\text{ cm}^2$ .

Vậy bạn Minh cần $36\text{ cm}^2$ bìa cho phần xung quanh của mô hình.
Đáy hình chóp là tam giác đều cạnh $a=4$ cm nên chu vi đáy $C_{đáy}=3a=3\times 4=12$ cm. (1) Công thức $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$ đúng cho mọi hình chóp đều, không phụ thuộc đáy có bao nhiêu cạnh. (2) Thay $C_{đáy}=12$ cm và $d=6$ cm từ (1) vào (2): $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times 12\times 6=36\text{ cm}^2$. Vậy bạn Minh cần $36\text{ cm}^2$ bìa cho phần xung quanh của mô hình.

Sai lầm phổ biến

Lỗi hay gặp nhất là dùng nhầm cạnh bên $l$ (từ đỉnh chóp đến một đỉnh đáy) thay cho trung đoạn $d$ (từ đỉnh chóp đến trung điểm một cạnh đáy) — hai đoạn này không bằng nhau và công thức chỉ đúng với $d$ . Lỗi thứ hai là quên nhân chu vi đáy trước khi chia đôi, tức tính nhầm thành $\dfrac{1}{2}\times a\times d$ (diện tích một mặt bên) rồi coi đó là cả $S_{xq}$ .

Lỗi hay gặp nhất là dùng nhầm cạnh bên $l$ (từ đỉnh chóp đến một đỉnh đáy) thay cho trung đoạn $d$ (từ đỉnh chóp đến trung điểm một cạnh đáy) — hai đoạn này không bằng nhau và công thức chỉ đúng với $d$. Lỗi thứ hai là quên nhân chu vi đáy trước khi chia đôi, tức tính nhầm thành $\dfrac{1}{2}\times a\times d$ (diện tích một mặt bên) rồi coi đó là cả $S_{xq}$.

Một dạng đề hay gặp trong bài kiểm tra không cho sẵn cả $a$ lẫn $d$ cùng lúc, mà cho $S_{xq}$ cùng một trong hai đại lượng rồi hỏi ngược đại lượng còn lại — như câu luyện tập độc lập thứ hai bên dưới. Cách xử lý không đổi: viết đúng công thức $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$ , thay các số đã biết vào, rồi giải phương trình một ẩn để tìm số còn thiếu.

Một dạng đề hay gặp trong bài kiểm tra không cho sẵn cả $a$ lẫn $d$ cùng lúc, mà cho $S_{xq}$ cùng một trong hai đại lượng rồi hỏi ngược đại lượng còn lại — như câu luyện tập độc lập thứ hai bên dưới. Cách xử lý không đổi: viết đúng công thức $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$, thay các số đã biết vào, rồi giải phương trình một ẩn để tìm số còn thiếu.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Ghi nhớ

Diện tích xung quanh hình chóp đều: $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$ , với $C_{đáy}$ là chu vi đáy và $d$ là trung đoạn. Công thức này đến từ việc cộng diện tích các mặt bên trên hình khai triển, đúng cho mọi hình chóp đều.

Diện tích xung quanh hình chóp đều: $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$, với $C_{đáy}$ là chu vi đáy và $d$ là trung đoạn. Công thức này đến từ việc cộng diện tích các mặt bên trên hình khai triển, đúng cho mọi hình chóp đều.

Diện tích xung quanh mới chỉ tính phần "áo" bao quanh hình chóp, chưa tính đáy. Bài tiếp theo cộng thêm diện tích đáy để có diện tích toàn phần — con số cần khi mô hình cần bọc kín cả bốn (hoặc năm) mặt, không chỉ riêng các mặt bên.