Bài học

Hình chóp tam giác đều — các yếu tố và trung đoạn

Mục tiêu bài học

Sau bài này em gọi đúng tên từng bộ phận của một hình chóp tam giác đều — đỉnh, đáy, mặt bên, cạnh bên, trung đoạn, đường cao — và giải thích được vì sao một hình chóp cụ thể có đều hay không, thay vì chỉ nhìn hình rồi đoán.

Kiến thức cần nhớ

Trước khi vào bài

Em cần nhớ lại tam giác đều (ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng nhau và đều bằng $60^\circ$ ) và tam giác cân (hai cạnh bên bằng nhau, đường cao từ đỉnh cân đồng thời là đường trung tuyến). Cả hai kiến thức này đã học ở lớp 7, và bài hôm nay dùng lại chúng ngay lập tức.

Em cần nhớ lại tam giác đều (ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng nhau và đều bằng $60^\circ$) và tam giác cân (hai cạnh bên bằng nhau, đường cao từ đỉnh cân đồng thời là đường trung tuyến). Cả hai kiến thức này đã học ở lớp 7, và bài hôm nay dùng lại chúng ngay lập tức.

Khởi động

Dựng một cái lều trại nhỏ bằng ba thanh tre chụm lại ở đỉnh, chân ba thanh tre cắm xuống đất tạo thành một tam giác. Nếu ba thanh tre dài bằng nhau và ba chân cắm cách đều nhau, khối lều đó có hình dạng rất đặc biệt trong hình học — một hình chóp tam giác đều. Còn nếu một thanh tre ngắn hơn hai thanh kia, khối lều vẫn đứng được, nhưng nó không còn "đều" nữa. Bài học hôm nay chỉ ra chính xác điều gì làm nên chữ "đều" đó.

Kiến thức trọng tâm

Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là một tam giác đều, còn đỉnh $S$ nằm ngay phía trên tâm của tam giác đó — điểm cách đều ba đỉnh $A$ , $B$ , $C$ . Chính vì đỉnh nằm đúng vị trí cân đối này mà ba cạnh bên $SA$ , $SB$ , $SC$ luôn bằng nhau, dù ta không đo riêng từng cạnh. Đây là điểm khác cốt lõi so với một hình chóp tam giác bất kỳ: đáy không nhất thiết đều và đỉnh có thể nằm lệch hẳn sang một phía.

Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là một tam giác đều, còn đỉnh $S$ nằm ngay phía trên tâm của tam giác đó — điểm cách đều ba đỉnh $A$, $B$, $C$. Chính vì đỉnh nằm đúng vị trí cân đối này mà ba cạnh bên $SA$, $SB$, $SC$ luôn bằng nhau, dù ta không đo riêng từng cạnh. Đây là điểm khác cốt lõi so với một hình chóp tam giác bất kỳ: đáy không nhất thiết đều và đỉnh có thể nằm lệch hẳn sang một phía.

Hình chóp có bốn mặt: một mặt đáy (tam giác $ABC$ ) và ba mặt bên (các tam giác $SAB$ , $SBC$ , $SCA$ ). Vì $SA=SB=SC$ và $AB=BC=CA$ , ba mặt bên là ba tam giác cân bằng nhau. Bốn đỉnh của hình gồm ba đỉnh đáy $A$ , $B$ , $C$ và đỉnh chóp $S$ ; sáu cạnh gồm ba cạnh đáy và ba cạnh bên. Khi một đề bài hỏi "hình chóp tam giác đều có bao nhiêu mặt, cạnh, đỉnh?", em chỉ cần đếm đúng ba nhóm này — 4 mặt, 6 cạnh, 4 đỉnh — không cần vẽ hình mới trả lời được.

Hình chóp có bốn mặt: một mặt đáy (tam giác $ABC$) và ba mặt bên (các tam giác $SAB$, $SBC$, $SCA$). Vì $SA=SB=SC$ và $AB=BC=CA$, ba mặt bên là ba tam giác cân bằng nhau. Bốn đỉnh của hình gồm ba đỉnh đáy $A$, $B$, $C$ và đỉnh chóp $S$; sáu cạnh gồm ba cạnh đáy và ba cạnh bên. Khi một đề bài hỏi "hình chóp tam giác đều có bao nhiêu mặt, cạnh, đỉnh?", em chỉ cần đếm đúng ba nhóm này — 4 mặt, 6 cạnh, 4 đỉnh — không cần vẽ hình mới trả lời được.

Bộ phận quan trọng nhất cho hai bài tiếp theo là trung đoạn. Xét một mặt bên, chẳng hạn tam giác cân $SAB$ . Vì $SA=SB$ , đường cao kẻ từ $S$ xuống $AB$ đồng thời là đường trung tuyến — nó rơi đúng vào trung điểm $M$ của $AB$ và vuông góc với $AB$ tại đó. Đoạn $SM$ ấy gọi là trung đoạn của hình chóp. Ba mặt bên có ba trung đoạn, nhưng vì ba mặt bên bằng nhau nên ba trung đoạn cũng dài bằng nhau — chỉ cần tính một trung đoạn là đủ dùng cho cả hình. Bài tới sẽ dùng ngay đại lượng này để tính diện tích xung quanh.

Bộ phận quan trọng nhất cho hai bài tiếp theo là trung đoạn. Xét một mặt bên, chẳng hạn tam giác cân $SAB$. Vì $SA=SB$, đường cao kẻ từ $S$ xuống $AB$ đồng thời là đường trung tuyến — nó rơi đúng vào trung điểm $M$ của $AB$ và vuông góc với $AB$ tại đó. Đoạn $SM$ ấy gọi là trung đoạn của hình chóp. Ba mặt bên có ba trung đoạn, nhưng vì ba mặt bên bằng nhau nên ba trung đoạn cũng dài bằng nhau — chỉ cần tính một trung đoạn là đủ dùng cho cả hình. Bài tới sẽ dùng ngay đại lượng này để tính diện tích xung quanh.

Lời giải có hình

Mặt bên SAB — nhận ra trung đoạn SM

Bước 1

Một mặt bên của hình chóp tam giác đều là tam giác cân SAB, với AB là một cạnh đáy.

Đáy tam giác đều

ABC

, tâm là điểm cách đều ba đỉnh — chân đường cao

SO

của hình chóp rơi đúng vào đó.Đáy tam giác đều $ABC$, tâm là điểm cách đều ba đỉnh — chân đường cao $SO$ của hình chóp rơi đúng vào đó.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Đếm mặt, cạnh, đỉnh và chỉ ra trung đoạn

1
Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy cạnh 5 cm, cạnh bên 6 cm. Hình có bao nhiêu mặt, cạnh, đỉnh? Trung đoạn là đoạn nào?
Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy cạnh 5 cm, cạnh bên 6 cm. Hình có bao nhiêu mặt, cạnh, đỉnh? Trung đoạn là đoạn nào?
2
Hình có 1 mặt đáy + 3 mặt bên = 4 mặt; 3 cạnh đáy + 3 cạnh bên = 6 cạnh; 3 đỉnh đáy + 1 đỉnh chóp = 4 đỉnh.
3
Xét mặt bên $SAB$ : gọi $M$ là trung điểm $AB$ . Vì $SA=SB=6$ cm, tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SM \perp AB$ — $SM$ là trung đoạn của hình chóp này.
Xét mặt bên $SAB$: gọi $M$ là trung điểm $AB$. Vì $SA=SB=6$ cm, tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SM \perp AB$ — $SM$ là trung đoạn của hình chóp này.
4
Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có 1 mặt đáy và 3 mặt bên, tổng cộng 4 mặt. (1)

Hình có 3 cạnh đáy và 3 cạnh bên, tổng cộng 6 cạnh; có 4 đỉnh gồm $A, B, C, S$ . (2)

Xét mặt bên $SAB$ : vì $SA=SB$ (hình chóp đều có các cạnh bên bằng nhau) nên tam giác $SAB$ cân tại $S$ ; gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì $SM$ vừa là đường cao vừa là trung tuyến của tam giác cân này, do đó $SM \perp AB$ tại $M$ . (3)

Từ (1), (2), (3): hình chóp có 4 mặt, 6 cạnh, 4 đỉnh, và $SM$ là trung đoạn.

Vậy $S.ABC$ có 4 mặt, 6 cạnh, 4 đỉnh; trung đoạn là đoạn $SM$ .
Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có 1 mặt đáy và 3 mặt bên, tổng cộng 4 mặt. (1) Hình có 3 cạnh đáy và 3 cạnh bên, tổng cộng 6 cạnh; có 4 đỉnh gồm $A, B, C, S$. (2) Xét mặt bên $SAB$: vì $SA=SB$ (hình chóp đều có các cạnh bên bằng nhau) nên tam giác $SAB$ cân tại $S$; gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì $SM$ vừa là đường cao vừa là trung tuyến của tam giác cân này, do đó $SM \perp AB$ tại $M$. (3) Từ (1), (2), (3): hình chóp có 4 mặt, 6 cạnh, 4 đỉnh, và $SM$ là trung đoạn. Vậy $S.ABC$ có 4 mặt, 6 cạnh, 4 đỉnh; trung đoạn là đoạn $SM$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Vì sao một hình chóp không phải là hình chóp tam giác đều

1
Một khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 4 cm, nhưng $SA=5$ cm, $SB=SC=6$ cm. Khối chóp này có phải là hình chóp tam giác đều không? Vì sao?
Một khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 4 cm, nhưng $SA=5$ cm, $SB=SC=6$ cm. Khối chóp này có phải là hình chóp tam giác đều không? Vì sao?
2
Hình chóp tam giác đều đòi hỏi ba cạnh bên bằng nhau. Ở đây $SA=5$ cm còn $SB=SC=6$ cm, tức $SA \ne SB$ .
Hình chóp tam giác đều đòi hỏi ba cạnh bên bằng nhau. Ở đây $SA=5$ cm còn $SB=SC=6$ cm, tức $SA \ne SB$.
3
Vì ba cạnh bên không bằng nhau nên đỉnh $S$ không cách đều ba đỉnh đáy, tức $S$ không nằm phía trên tâm của tam giác đáy — nó bị lệch về phía đỉnh $A$ .
Vì ba cạnh bên không bằng nhau nên đỉnh $S$ không cách đều ba đỉnh đáy, tức $S$ không nằm phía trên tâm của tam giác đáy — nó bị lệch về phía đỉnh $A$.
4
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 4 cm nên đáy đã thỏa điều kiện thứ nhất. (1)

Hình chóp tam giác đều đòi hỏi thêm ba cạnh bên bằng nhau, tức $SA=SB=SC$ . (2)

Theo đề, $SA=5$ cm còn $SB=SC=6$ cm, nên $SA \ne SB$ , không thỏa (2). (3)

Từ (1) và (3), khối chóp có đáy đều nhưng cạnh bên không bằng nhau nên đỉnh $S$ không nằm phía trên tâm đáy.

Vậy $S.ABC$ không phải là hình chóp tam giác đều, dù đáy của nó là tam giác đều.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 4 cm nên đáy đã thỏa điều kiện thứ nhất. (1) Hình chóp tam giác đều đòi hỏi thêm ba cạnh bên bằng nhau, tức $SA=SB=SC$. (2) Theo đề, $SA=5$ cm còn $SB=SC=6$ cm, nên $SA \ne SB$, không thỏa (2). (3) Từ (1) và (3), khối chóp có đáy đều nhưng cạnh bên không bằng nhau nên đỉnh $S$ không nằm phía trên tâm đáy. Vậy $S.ABC$ không phải là hình chóp tam giác đều, dù đáy của nó là tam giác đều.

Sai lầm phổ biến

Nhiều bạn chỉ nhìn đáy: thấy đáy là tam giác đều liền kết luận ngay đó là hình chóp tam giác đều. Đáy đều chỉ là điều kiện thứ nhất — còn phải kiểm tra đỉnh có nằm phía trên tâm đáy hay không, tức ba cạnh bên có bằng nhau hay không, như Ví dụ 2 vừa chỉ ra.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Ghi nhớ

Hình chóp tam giác đều = đáy là tam giác đều + đỉnh nằm phía trên tâm đáy (ba cạnh bên bằng nhau). Trung đoạn là đường cao của một mặt bên, luôn vuông góc với cạnh đáy tại trung điểm của cạnh đó.

Bài tiếp theo giữ nguyên cách suy luận này nhưng đổi đáy từ tam giác đều sang hình vuông — hình chóp tứ giác đều. Em sẽ thấy trung đoạn vẫn được xác định theo đúng cách vừa học, chỉ khác đáy có thêm một điểm đặc biệt nữa: tâm của hình vuông, nơi hai đường chéo cắt nhau.