Bài học

Diện tích toàn phần hình chóp đều

Mục tiêu bài học

Sau bài này em tính được diện tích toàn phần của hình chóp đều bằng cách cộng thêm diện tích đáy vào diện tích xung quanh đã học, và biết phân biệt khi nào một bài toán thực tế chỉ cần $S_{xq}$ , khi nào cần cả $S_{tp}$ .

Kiến thức cần nhớ

Trước khi vào bài

Em cần nhớ công thức $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$ vừa học ở bài trước, và diện tích hình vuông cạnh $a$ là $a^2$ . Với đáy tam giác đều, diện tích đáy sẽ được cho sẵn trong đề (hoặc tính bằng công cụ khác của lớp 8) — bài này tập trung vào cách cộng ghép hai phần diện tích, không tập trung vào công thức diện tích tam giác đều.

Em cần nhớ công thức $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$ vừa học ở bài trước, và diện tích hình vuông cạnh $a$ là $a^2$. Với đáy tam giác đều, diện tích đáy sẽ được cho sẵn trong đề (hoặc tính bằng công cụ khác của lớp 8) — bài này tập trung vào cách cộng ghép hai phần diện tích, không tập trung vào công thức diện tích tam giác đều.

Khởi động

Một mái nhà hình chóp không cần "bọc" mặt đáy — đáy chính là trần nhà bên dưới, không ai lợp ngói ở đó. Nhưng một hộp quà hình chóp bằng giấy thì khác: cả đáy lẫn các mặt bên đều cần giấy bọc, nếu không hộp sẽ hở một mặt. Hai tình huống cùng là hình chóp nhưng cần hai phép tính khác nhau — đó chính là phân biệt giữa diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.

Kiến thức trọng tâm

Diện tích toàn phần, ký hiệu $S_{tp}$ , là tổng diện tích tất cả các mặt của hình chóp — cả mặt bên lẫn mặt đáy. Vì diện tích xung quanh $S_{xq}$ đã là tổng diện tích các mặt bên, công thức chỉ còn một bước cộng: $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}$ .

Diện tích toàn phần, ký hiệu $S_{tp}$, là tổng diện tích tất cả các mặt của hình chóp — cả mặt bên lẫn mặt đáy. Vì diện tích xung quanh $S_{xq}$ đã là tổng diện tích các mặt bên, công thức chỉ còn một bước cộng: $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}$.

Diện tích đáy $S_{đáy}$ phụ thuộc hình dạng đáy: với hình chóp tứ giác đều đáy hình vuông cạnh $a$ , $S_{đáy}=a^2$ . Với hình chóp tam giác đều đáy tam giác đều, $S_{đáy}$ thường được cho sẵn trong đề — vì công thức chính xác của nó chứa căn bậc hai ( $S_{đáy}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ ), một kết quả em sẽ gặp kỹ hơn ở bài căn bậc hai của chương trình. Trong khóa này, khi đáy là tam giác đều, ta dùng giá trị diện tích đáy đã cho hoặc đã tính từ bài trước, không yêu cầu tự suy ra công thức chứa căn.

Diện tích đáy $S_{đáy}$ phụ thuộc hình dạng đáy: với hình chóp tứ giác đều đáy hình vuông cạnh $a$, $S_{đáy}=a^2$. Với hình chóp tam giác đều đáy tam giác đều, $S_{đáy}$ thường được cho sẵn trong đề — vì công thức chính xác của nó chứa căn bậc hai ($S_{đáy}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$), một kết quả em sẽ gặp kỹ hơn ở bài căn bậc hai của chương trình. Trong khóa này, khi đáy là tam giác đều, ta dùng giá trị diện tích đáy đã cho hoặc đã tính từ bài trước, không yêu cầu tự suy ra công thức chứa căn.

Quyết định dùng $S_{xq}$ hay $S_{tp}$ luôn xuất phát từ tình huống thực tế trong đề bài, không phải một quy tắc cố định: nếu vật thể hở đáy (mái nhà, lều trại không sàn, cái phễu) thì chỉ cần $S_{xq}$ ; nếu vật thể kín hoàn toàn (hộp quà, khối trang trí đặc, kim tự tháp mô hình) thì cần $S_{tp}$ . Đọc kỹ đề để biết đáy có "được tính" hay không, trước khi chọn công thức.

Quyết định dùng $S_{xq}$ hay $S_{tp}$ luôn xuất phát từ tình huống thực tế trong đề bài, không phải một quy tắc cố định: nếu vật thể hở đáy (mái nhà, lều trại không sàn, cái phễu) thì chỉ cần $S_{xq}$; nếu vật thể kín hoàn toàn (hộp quà, khối trang trí đặc, kim tự tháp mô hình) thì cần $S_{tp}$. Đọc kỹ đề để biết đáy có "được tính" hay không, trước khi chọn công thức.

Vì sao không nhân đôi Sxq cho nhanh

Một số bạn thấy hình chóp có nhiều mặt bên rồi nghĩ có thể "nhân đôi" $S_{xq}$ để ra $S_{tp}$ cho nhanh, như thể đáy cũng lớn ngang các mặt bên gộp lại. Điều đó chỉ đúng một cách tình cờ trong vài bài toán cụ thể, không phải một quy luật hình học — diện tích đáy và diện tích xung quanh phụ thuộc vào hai đại lượng khác nhau (đáy phụ thuộc cạnh $a$ , còn $S_{xq}$ phụ thuộc cả $a$ lẫn trung đoạn $d$ ), nên chúng có thể lớn hơn, nhỏ hơn, hoặc gần bằng nhau tùy hình cụ thể. Luôn tính riêng từng phần rồi cộng lại, không đoán tỉ lệ.

Một số bạn thấy hình chóp có nhiều mặt bên rồi nghĩ có thể "nhân đôi" $S_{xq}$ để ra $S_{tp}$ cho nhanh, như thể đáy cũng lớn ngang các mặt bên gộp lại. Điều đó chỉ đúng một cách tình cờ trong vài bài toán cụ thể, không phải một quy luật hình học — diện tích đáy và diện tích xung quanh phụ thuộc vào hai đại lượng khác nhau (đáy phụ thuộc cạnh $a$, còn $S_{xq}$ phụ thuộc cả $a$ lẫn trung đoạn $d$), nên chúng có thể lớn hơn, nhỏ hơn, hoặc gần bằng nhau tùy hình cụ thể. Luôn tính riêng từng phần rồi cộng lại, không đoán tỉ lệ.

Quy trình tính

S_{tp}

luôn bắt đầu từ

S_{xq}

đã tính được ở bài trước.Quy trình tính $S_{tp}$ luôn bắt đầu từ $S_{xq}$ đã tính được ở bài trước.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Diện tích toàn phần hình chóp tứ giác đều

1
Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=6$ cm, trung đoạn $d=5$ cm (như Ví dụ 1 bài trước, $S_{xq}=60\text{ cm}^2$ ). Tính diện tích toàn phần.
Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=6$ cm, trung đoạn $d=5$ cm (như Ví dụ 1 bài trước, $S_{xq}=60\text{ cm}^2$). Tính diện tích toàn phần.
2
Đáy là hình vuông cạnh 6 cm: $S_{đáy}=a^2=6^2=36\text{ cm}^2$ .
Đáy là hình vuông cạnh 6 cm: $S_{đáy}=a^2=6^2=36\text{ cm}^2$.
3
$S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}=60+36=96\text{ cm}^2$ .
$S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}=60+36=96\text{ cm}^2$.
4
Theo Ví dụ 1 của bài trước, $S_{xq}=60\text{ cm}^2$ . (1)

Đáy là hình vuông cạnh $a=6$ cm nên $S_{đáy}=a^2=36\text{ cm}^2$ . (2)

Theo công thức diện tích toàn phần: $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}$ . (3)

Thay (1) và (2) vào (3): $S_{tp}=60+36=96\text{ cm}^2$ .

Vậy diện tích toàn phần của hình chóp là $96\text{ cm}^2$ .
Theo Ví dụ 1 của bài trước, $S_{xq}=60\text{ cm}^2$. (1) Đáy là hình vuông cạnh $a=6$ cm nên $S_{đáy}=a^2=36\text{ cm}^2$. (2) Theo công thức diện tích toàn phần: $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}$. (3) Thay (1) và (2) vào (3): $S_{tp}=60+36=96\text{ cm}^2$. Vậy diện tích toàn phần của hình chóp là $96\text{ cm}^2$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Hộp quà hình chóp tam giác đều cần bọc kín

1
Bạn Lan gấp một hộp quà hình chóp tam giác đều, cạnh đáy $a=4$ cm, trung đoạn $d=6$ cm (như Ví dụ 2 bài trước, $S_{xq}=36\text{ cm}^2$ ); diện tích đáy tam giác đều cạnh 4 cm đã tính sẵn là $6,9\text{ cm}^2$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). Hộp cần bọc kín cả đáy. Tính diện tích giấy cần dùng.
Bạn Lan gấp một hộp quà hình chóp tam giác đều, cạnh đáy $a=4$ cm, trung đoạn $d=6$ cm (như Ví dụ 2 bài trước, $S_{xq}=36\text{ cm}^2$); diện tích đáy tam giác đều cạnh 4 cm đã tính sẵn là $6,9\text{ cm}^2$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). Hộp cần bọc kín cả đáy. Tính diện tích giấy cần dùng.
2
Hộp quà cần kín hoàn toàn, kể cả đáy — nên cần $S_{tp}$ , không chỉ $S_{xq}$ .
Hộp quà cần kín hoàn toàn, kể cả đáy — nên cần $S_{tp}$, không chỉ $S_{xq}$.
3
$S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}=36+6,9=42,9\text{ cm}^2$ .
$S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}=36+6,9=42,9\text{ cm}^2$.
4
Vì hộp quà cần bọc kín hoàn toàn kể cả đáy, đại lượng cần tìm là diện tích toàn phần $S_{tp}$ , không phải $S_{xq}$ . (1)

Theo Ví dụ 2 của bài trước, $S_{xq}=36\text{ cm}^2$ ; theo đề, $S_{đáy}=6,9\text{ cm}^2$ . (2)

Theo công thức $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}$ , thay (2) vào: $S_{tp}=36+6,9=42,9\text{ cm}^2$ .

Vậy bạn Lan cần $42,9\text{ cm}^2$ giấy để bọc kín hộp quà.
Vì hộp quà cần bọc kín hoàn toàn kể cả đáy, đại lượng cần tìm là diện tích toàn phần $S_{tp}$, không phải $S_{xq}$. (1) Theo Ví dụ 2 của bài trước, $S_{xq}=36\text{ cm}^2$; theo đề, $S_{đáy}=6,9\text{ cm}^2$. (2) Theo công thức $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}$, thay (2) vào: $S_{tp}=36+6,9=42,9\text{ cm}^2$. Vậy bạn Lan cần $42,9\text{ cm}^2$ giấy để bọc kín hộp quà.

Sai lầm phổ biến

Lỗi phổ biến nhất là cộng nhầm cả diện tích các mặt bên LẪN diện tích đáy vào $S_{xq}$ ngay từ đầu (tức nhân trung đoạn với chu vi rồi cộng thêm đáy mà quên chia đôi) — luôn tính $S_{xq}$ trước bằng đúng công thức đã học, rồi mới cộng $S_{đáy}$ ở bước riêng. Lỗi thứ hai là cộng $S_{đáy}$ dù đề bài mô tả một vật hở đáy (mái nhà, lều trại) — khi đó chỉ cần $S_{xq}$ .

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Ghi nhớ

Diện tích toàn phần: $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}$ . Luôn tính $S_{xq}$ trước bằng công thức trung đoạn đã học, rồi cộng $S_{đáy}$ — và luôn đối chiếu với tình huống thực tế của đề để biết có cần cộng đáy hay không.

Diện tích toàn phần: $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}$. Luôn tính $S_{xq}$ trước bằng công thức trung đoạn đã học, rồi cộng $S_{đáy}$ — và luôn đối chiếu với tình huống thực tế của đề để biết có cần cộng đáy hay không.

Đáng chú ý là cả hai công thức $S_{xq}$ và $S_{tp}$ đều không cần biết chiều cao thật của hình chóp — chỉ cần cạnh đáy và trung đoạn (một đại lượng đo trên mặt bên, không đâm xuyên qua khối hình). Đây là lý do hai bài diện tích được xếp trước bài thể tích: thể tích buộc phải dùng chiều cao thật, còn diện tích thì không.

Hai công thức diện tích vừa học chỉ đo bề mặt bên ngoài, chưa nói gì về "sức chứa" bên trong hình chóp. Chương tiếp theo chuyển sang thể tích — nhưng trước khi dùng công thức thể tích, em cần biết cách tìm chiều cao của hình chóp, đại lượng mà cả hai bài Sxq và Stp vừa rồi chưa hề cần đến.